2021届中考数学一轮复习专题15:二次函数及其应用(知识点总结+例题讲解)
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1、20212021 年中考数学年中考数学 专题专题 15 15 二次函数及其应用二次函数及其应用 (知识点总结(知识点总结+ +例题讲解)例题讲解) 一、一、二次函数的概念:二次函数的概念: 1.1.二次函数的概念:二次函数的概念: (1)一般地,如果 y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数,a0),那么 y 叫做 x 的二次函数; (2)抛物线 y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数,a0)叫做二次函数的一般式。 2 2. .二次函数的解析式二次函数的解析式( 二次函数的解析式有三种形式三种形式): (1)一般式:y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数,a0) (2)顶点式:y=a
2、(x-h) 2+k(a,h,k 是常数,a0) (3)两根式(交点式):y=a(x-x1)(x-x2); 已知图像与 x 轴的交点坐标 x1、x2,通常选用交点式; 即对应二次方程 ax 2+bx+c=0 有实根 x 1和 x2存在; 如果没有交点,则不能这样表示。 3.3.用待定系数法求二次函数的解析式:用待定系数法求二次函数的解析式: (1)若已知抛物线上三点坐标,可设二次函数表达式为 yax 2bxc; (2)若已知抛物线上顶点坐标或对称轴方程,则可设顶点式: ya(xh) 2k,其中对称轴为 xh,顶点坐标为(h,k); (3)若已知抛物线与 x 轴的交点坐标或交点的横坐标,则可采用两
3、根式(交点式): ya(xx1)(xx2),其中与 x 轴的交点坐标为(x1,0),(x2,0)。 【例题【例题 1 1】已知二次函数的图象经过(2,10)、(0,12)和(1,9)三点,求二次函数的解 析式. 【答案】y=2x 2-5x+12 【解析】设抛物线的解析式为 y=ax 2+bx+c,把(2,10)、(0,12)、(1,9)分别代入求出 a,b,c 即可 解:设抛物线的解析式为 y=ax 2+bx+c; y x O 把(2,10)、(0,12)、(1,9)分别代入得 9 12 1024 cba c cba ;解得 a=2,b=-5,c=12; 所以,二次函数的解析式为:y=2x 2
4、-5x+12。 【变式练习变式练习 1 1】已知二次函数图像顶点的坐标是(2,-3)且经过点(1,5);求二次函 数解析式. 【答案】y=8x 2-32x+29 【解析】已知抛物线上顶点坐标或对称轴方程,则可设顶点式:ya(xh) 2k,其中 对称轴为 xh,顶点坐标为(h,k) 解:设抛物线的解析式为 ya(x2) 2-3: 把点(1,5)代入 ya(x2) 2-3 得:5=a-3;a=8; 所以,二次函数的解析式为:y8(x2) 2-3;即 y=8x2-32x+29。 二、二次函数的图像和性质:二、二次函数的图像和性质: 1.1.二次函数的图象:二次函数的图象: 二次函数的图象是一条关于
5、2 b x a 对称的曲线,这条曲线叫抛物线; (1)对称轴是直线 2 b x a ; (2)顶点是( 2 b a , 2 4 4 acb a ); (3)c 表示抛物线与 y 轴的交点坐标:(0,c); (4)抛物线 ya(xh) 2k 与 yax2形状相同,位置不同; 把抛物线 yax 2向上(下)向左(右)平移,可以得到抛物线 ya(xh)2k。 2.2.二次函数图象的画法二次函数图象的画法(五点法五点法): (1)先根据函数解析式,求出顶点坐标: 在平面直角坐标系中描出顶点 M,并用虚线画出对称轴; (2)求抛物线 y=ax 2+bx+c 与坐标轴的交点: 当抛物线与 x 轴有两个交点
6、时,描出这两个交点 A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C, 再找到点 C 的对称 D; 将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并延伸,就得到二次函数的图象。 3.3.二次函数的性质:二次函数的性质: (1)当 a0 时,抛物线的开口向上,函数有最小值; (2)当 a0 时,图象与 x 轴有两个交点; 当=0 时,图象与 x 轴有一个交点; 当0 两个不相等的实数根 1 个 b 2-4ac=0 两个相等的实数根 没有 b 2-4ac0 的解集: 函数 y=ax 2+bx+c 的图象位于 x 轴上方对应的点的横坐标的取值范围; (2)ax 2+bx+c0 的解集: 函数 y=ax 2+bx+c 的图
7、象位于 x 轴下方对应的点的横坐标的取值范围。 【例题【例题 4 4】 (2020呼和浩特)已知二次函数 y=(a-2)x 2-(a+2)x+1, 当 x 取互为相反数的任 意两个实数值时, 对应的函数值 y 总相等, 则关于 x 的一元二次方程(a-2)x 2-(a+2)x+1=0 的两根之积为( ) A0 B-1 C 1 2 D 1 4 【答案】D 【解析】根据题意可得二次函数图象的对称轴为 y 轴,从而求出 a 值,再利用根与系数 的关系得出结果 解:二次函数 y=(a-2)x 2-(a+2)x+1, 当 x 取互为相反数的任意两个实数值时,对应的函数值 y 总相等, 可知二次函数图象的
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