2021届中考数学一轮复习专题23:菱形、矩形、正方形(知识点总结+例题讲解)
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1、菱形、矩形、正方形菱形、矩形、正方形 (知识点总结(知识点总结+ +例题讲解)例题讲解) 一、菱形:一、菱形: 1.1.菱形的概念:菱形的概念:有一组邻边相等的平行四边邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.2.菱形的性质:菱形的性质: (1)具有平行四边形的一切性质; (2)菱形的四条边相等; (3)菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角; (4)菱形既是轴对称图形,又是中心对称图形; 对称轴是两条对角线所在的直线,对称中心是 对角线的交点 。 3.3.菱菱形的判定:形的判定: (1)定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形; (2)定理 1:四边都相等的四边形是菱形; (3)定理 2
2、:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 4.菱形的有关计算:菱形的有关计算: (1)周长 C菱形=4a (其中 a 为边长); (2)面积 S菱形=ah=两条对角线乘积的一半;(其中 a 为边长,h 为此边上的高)。 【例题【例题 1 1】(2020牡丹江)如图,在平面直角坐标系中,O 是菱形 ABCD 对角线 BD 的中点,AD x 轴且 AD4,A60,将菱形 ABCD 绕点 O 旋转,使点 D 落在 x 轴上,则旋转后点 C 的 对应点的坐标是( ) A(0,23) B(2,4) C(23,0) D(0,23)或(0,23) 【答案】D 【解析】点 C 旋转到 y 轴正半轴和 y 轴负半轴
3、两种情况分别讨论,结合菱形的性质求解 解:根据菱形的对称性可得:当点 D 在 x 轴上时,A、B、C 均在坐标轴上,如图, BAD60,AD4, OAD30, OD2, AO= 42 22= 23 =OC, 点 C 的坐标为(0,23), 同理:当点 C 旋转到 y 轴正半轴时, 点 C 的坐标为(0,23), 点 C 的坐标为(0,23)或(0,23)。 【变式练习【变式练习 1 1】(2020营口)如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O,其中 OA1,OB 2,则菱形 ABCD 的面积为 【答案】4 【解析】根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答案 OA1,OB2,
4、AC2,BD4, 菱形 ABCD 的面积为1 2 244。 二、矩形:二、矩形: 1.1.矩形的概念:矩形的概念:有一个角是 直角 的平行四边形叫做矩形; 2.2.矩形的性质:矩形的性质: (1)具有平行四边形的一切性质; (2)矩形的四个角都是直角; (3)矩形的对角线相等; (4)矩形既是轴对称图形,它有两条对称轴; 又是中心对称图形,它的对称中心是 对角线的交点 。 3.3.矩形的判定:矩形的判定: (1)定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形; (2)定理 1:有三个角是直角的四边形是矩形; (3)定理 2:对角线相等的平行四边形是矩形。 4.4.矩形的有关计算:矩形的有关计算: (1
5、)周长 C矩形=2(a+b) (其中 a 为长,b 为宽); (2)面积 S矩形=长宽=ab (其中 a 为长,b 为宽)。 【例题【例题 2 2】(2020菏泽)如图,矩形 ABCD 中,AB5,AD12,点 P 在对角线 BD 上,且 BPBA, 连接 AP 并延长,交 DC 的延长线于点 Q,连接 BQ,则 BQ 的长为 【答案】317 【解析】根据矩形的性质可得 BD13,再根据 BPBA 可得 DQDP8,所以得 CQ3,在 Rt BCQ 中,根据勾股定理即可得 BQ 的长 矩形 ABCD 中,AB5,AD12,BADBCD90,BD= AB2+ AD2=13, BPBA5,PDBD
6、BP8, BABP,BAPBPADPQ, ABCD,BAPDQP, DPQDQP,DQDP8, CQDQCDDQAB853, 在 RtBCQ 中,根据勾股定理,得 BQ= BC2+ CQ2= 153 =317。 【变式练习【变式练习 2 2】(2020聊城)如图,在 ABCD 中,E 为 BC 的中点,连接 AE 并延长交 DC 的延长 线于点 F,连接 BF,AC,若 ADAF,求证:四边形 ABFC 是矩形 【答案】见解析。 【解析】根据平行四边形的性质得到两角一边对应相等,利用 AAS 判定ABEFCE,从而得 到 ABCF;由已知可得四边形 ABFC 是平行四边形,BCAF,根据对角线
7、相等的平行四边形是 矩形,可得到四边形 ABFC 是矩形 证明:四边形 ABCD 是平行四边形,ABCD,ABCD, BAECFE,ABEFCE, E 为 BC 的中点,EBEC, ABEFCE(AAS),ABCF ABCF,四边形 ABFC 是平行四边形, BCAF,四边形 ABFC 是矩形。 【例题【例题 3 3】(2020贵阳)如图,四边形 ABCD 是矩形,E 是 BC 边上一点,点 F 在 BC 的延长线上, 且 CFBE (1)求证:四边形 AEFD 是平行四边形; (2)连接 ED,若AED90,AB4,BE2,求四边形 AEFD 的面积 【答案】(1)见解析;(2)四边形 AE
8、FD 的面积20. 【解析】(1)先根据矩形的性质得到 ADBC,ADBC,然后证明 ADEF 可判断四边形 AEFD 是 平行四边形; (2)连接 DE,如图,先利用勾股定理计算出 AE25,再证明ABEDEA,利用相似比求出 AD,然后根据平行四边形的面积公式计算 解:(1)证明:四边形 ABCD 是矩形, ADBC,ADBC, BECF, BE+ECEC+EF,即 BCEF, ADEF, 四边形 AEFD 是平行四边形; (2)解:连接 DE,如图, 四边形 ABCD 是矩形, B90, 在 RtABE 中,AE= 42+ 22=25, ADBC,AEBEAD, BAED90, ABED
9、EA, AE:ADBE:AE, AD= 2525 2 =10, 四边形 AEFD 的面积ABAD21020 【变式练习【变式练习 3 3】(2020泸州)如图,在矩形 ABCD 中,E,F 分别为边 AB,AD 的中点,BF 与 EC、 ED 分别交于点 M,N已知 AB4,BC6,则 MN 的长为 【答案】4 3 【解析】延长 CE、DA 交于 Q,延长 BF 和 CD,交于 W,根据勾股定理求出 BF,根据矩形的性质 求出 AD,根据全等三角形的性质得出 AQBC,ABCW,根据相似三角形的判定得出QMF CMB,BNEWND,根据相似三角形的性质得出比例式,求出 BN 和 BM 的长,即
10、可得出答案 解:延长 CE、DA 交于 Q,如图 1, 四边形 ABCD 是矩形,BC6, BAD90,ADBC6,ADBC, F 为 AD 中点,AFDF3, 在 RtBAF 中,由勾股定理得:BF= AB2+ AF2= 42+ 32=5, ADBC,QECB, E 为 AB 的中点,AB4,AEBE2, 在QAE 和CBE 中 QEA = BEC Q = ECB AE = BE ;QAECBE(AAS), AQBC6,即 QF6+39, ADBC,QMFCMB,FM BM = QF BC = 9 6, BF5,BM2,FM3, 延长 BF 和 CD,交于 W,如图 2, 同理 ABDM4,
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