2019-2020学年江苏省苏州市高新区四校联考八年级下期中数学试卷（含答案解析）

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1、2019-2020 学年江苏省苏州市高新区四校联考八年级（下）期中数学试卷学年江苏省苏州市高新区四校联考八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（每题一、选择题（每题 2 分，共计分，共计 20 分）分） 1下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 2 “新冠病毒”的英语“NewCoronavirus”中，字母“o”出现的频率是（ ） A B C2 D1 3下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ） A了解一批灯泡的寿命 B考察人们保护环境的意识 C检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件 D了解全国八年级学生的睡眠时间 4今年某校有 2000 名学生参加线上学习，为了解这些

2、学生的数学成绩，从中抽取 100 名考生的数学成绩 进行统计分析，以下说法正确的是（ ） A2000 名学生是总体 B每位学生的数学成绩是个体 C这 100 名学生是总体的一个样本 D100 名学生是样本容量 5下列说法中，不正确的是（ ） A一组邻边相等的矩形是正方形 B一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 C一组邻边相等的平行四边形是菱形 D一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 6下列分式的运算正确的是（ ） A B C D 7已知ABCD 中，A+C200，则B 的度数是（ ） A100 B160 C80 D60 8如图，将矩形 ABCD 的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无

3、重叠的四边形 EFGH，EH6cm，EF 8cm，则边 AB 的长度等于（ ） A10cm B9.6cm C8.4cm D8cm 9如图，ABCD，E、F 分别为 AC、BD 的中点，若 AB6，CD4，则 EF 的长为（ ） A5 B3 C2 D1 10如图，正方形 ABCD 的边长为 2，点 E 从点 A 出发沿着线段 AD 向点 D 运动（不与点 A、D 重合） ，同 时点 F 从点 D 出发沿着线段 DC 向点 C 运动（不与点 D、C 重合） ，点 E 与点 F 的运动速度相同BE 与 AF 相交于点 G，H 为 BF 中点，则有下列结论： BGF 是定值； FB 平分AFC； 当

4、E 运动到 AD 中点时，GH； 当 AG+BG时，四边形 GEDF 的面积是 其中正确的是（ ） A B C D 二、填空题（每题二、填空题（每题 2 分，共计分，共计 16 分）分） 11 “抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是 事件（从“必然” 、 “随机” 、 “不可能”中选一个） 12一只不透明的袋子中有 1 个白球、1 个红球和 2 个黄球，这些球除颜色不同外其它都相同搅均后从中 任意摸出 1 个球，摸出白球可能性 摸出黄球可能性 （填“等于”或“小于”或“大于” ） 13分式，的最简公分母为 14分式的值为 0，则 x 15关于 x 的方程有增根，则 k 的值是 16已知一个对角

5、线长分别为 4cm 和 6cm 的菱形，则菱形的边长是 cm 17如图，在正方形 ABCD 中，顶点 A（2，0） ，B（2，0） ，将以 BC 为斜边的等腰直角BCE 与正方形 ABCD 组成的图形绕点 O 顺时针旋转，每次旋转 90，则第 10 次旋转结束时，点 E 的坐标为 18如图，在菱形 ABCD 中，点 A 的坐标为（0，10） ，点 C 的纵坐标为 2，直线 BD 的表达式为 yx+b， 交 y 轴于点 E，若 2BEBD，则菱形 ABCD 的面积为 三、解答题（共计三、解答题（共计 64 分）分） 19计算： （1）； （2） 20解方程： （1）； （2） 21先化简，然后从

6、2x2 的范围内选取一个合适的整数作为 x 的值求出代 数式的值 22在平面直角坐标系中，ABC 的位置如图所示： （每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形） （1）画出ABC 关于点 O 的中心对称图形A1B1C1； （2）将ABC 绕着点 O 逆时针旋转 90，画出旋转后得到的A2B2C2； （3）利用格点图，画出 AC 边上的高 BD，并求出 BD 的长，BD 23甲、乙两地相距 600 千米，一辆货车和一辆小汽车同时从甲地出发开往乙地，小汽车的速度是货车的 1.2 倍，结果小汽车比货车早 1 个小时到达乙地，求两辆车的速度 24某校随机抽取部分学生，对“学习习惯”进行问卷调查设计

7、的问题：对自己做错的题目进行整理、 分析、改正；答案选项为：A很少，B有时，C常常，D总是将调查结果的数据进行了整理、 绘制成部分统计图： 请根据图中信息，解答下列问题： （1）填空：a %，b %， “常常”对应扇形的圆心角度数为 ； （2）请你补全条形统计图； （3）若该校有 3000 名学生，请你估计其中“常常”和“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生各 有多少名？ 25已知：如图，平行四边形 ABCD 中，M、N 分别为 AB 和 CD 的中点 （1）求证：四边形 AMCN 是平行四边形； （2）若 ACBC5，AB6，求四边形 AMCN 的面积 26如图，在矩形 ABCD 中，连接

8、对角线 AC （1）利用直尺和圆规画出对角线 AC 的垂直平分线 l，垂足为点 O，交 AB、CD 于点 E、F； （2）求证：BEDF； （3）若 AD6，AB8，求四边形 COEB 的周长 27小明与同学们在数学动手实践操作活动中，将锐角为 45o的直角三角板 MPN 的一个锐角顶点 P 与正方 形 ABCD 的顶点 A 重合，正方形 ABCD 固定不动，然后将三角板绕着点 A 旋转，MPN 的两边分别与 正方形的边 CB、DC 或其延长线相交于点 E、F，连结 EF 【探究发现】 （1）在三角板旋转过程中，当MPN 的两边分别与正方形的边 CB、DC 相交时，如图（1）所示，请直 接写出

9、线段 BE、DF、EF 满足的数量关系： （2）在三角板旋转过程中，当MPN 的两边分别与正方形的边 CB、DC 的延长线相交时，如图（2）所 示，则线段 BE、DF、EF 又将满足怎样的数量关系： （请直接写出结果） 【拓展思考】 （3）若正方形的边长为 6，在三角板旋转过程中，当MPN 的一边恰好经过 BC 边的中点时，试求线段 EF 的长（请写出解答过程） 【创新应用】 （4）如图（3）所示，将三角板 MPN 的锐角顶点 P 与正方形 ABCD 的 AD 边中点重合，边 PM、PN 分 别与正方形 ABCD 的边 AB、BC 交于点 E、F若 AD6，AE2，则线段 FC （请直接写出结

10、 果） 2019-2020 学年江苏省苏州市高新区四校联考八年级（下）期中数学试卷学年江苏省苏州市高新区四校联考八年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形的定义旋转 180后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称 图形的定义即可判断出 【解答】 解： A、 此图形旋转 180后不能与原图形重合， 此图形不是中心对称图形， 是轴对称图形， 故此选项错误； B、此图形旋转 180后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对

11、称图形，故此选项错 误； C、 此图形旋转 180后能与原图形重合， 此图形是中心对称图形， 也是轴对称图形， 故此选项正确； D、 此图形旋转 180后能与原图形重合， 此图形是中心对称图形， 不是轴对称图形， 故此选项错误 故选：C 2 “新冠病毒”的英语“NewCoronavirus”中，字母“o”出现的频率是（ ） A B C2 D1 【分析】用字母“o”出现的个数除以总的字母个数即可得出答案 【解答】解：字母“o”出现的次数为 2， 该单词中字母“o”出现的频率为； 故选：B 3下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ） A了解一批灯泡的寿命 B考察人们保护环境的意识 C检查一枚用于发射

12、卫星的运载火箭的各零部件 D了解全国八年级学生的睡眠时间 【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果 比较近似 【解答】解：A、了解一批灯泡的寿命，适合抽样调查，故 A 不符合题意； B、考察人们保护环境的意识，调查范围广适合抽样调查，故 B 不符合题意； C、检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件，适合普查，故 C 符合题意； D、了解全国八年级学生的睡眠时间，调查范围广适合抽样调查，故 D 不符合题意； 故选：C 4今年某校有 2000 名学生参加线上学习，为了解这些学生的数学成绩，从中抽取 100 名考生的数学成绩 进行统计分析，以下说法

13、正确的是（ ） A2000 名学生是总体 B每位学生的数学成绩是个体 C这 100 名学生是总体的一个样本 D100 名学生是样本容量 【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部 分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目 【解答】解：A、2000 名学生的数学成绩是总体，故选项不合题意； B、每位学生的数学成绩是个体，故选项符合题意； C、这 100 名学生的数学成绩是总体的一个样本，故选项不合题意； D、样本容量是 100，故选项不合题意； 故选：B 5下列说法中，不正确的是（ ） A一组邻边相等的矩形是正方形 B一组对边相等且有一个角是直角的

14、四边形是矩形 C一组邻边相等的平行四边形是菱形 D一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【分析】根据各个选项中的说法，可以判断是否正确，从而可以解答本题 【解答】解：一组邻边相等的矩形是正方形，故选项 A 正确； 一组对边相等且有一个角是直角的四边形不一定是矩形， 如右图 ADBC， ABC90， 则四边形 ABCD 不是矩形，故选项 B 错误； 一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项 C 正确； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项 D 正确； 故选：B 6下列分式的运算正确的是（ ） A B C D 【分析】根据分式混合运算的法则对各选项进行逐一解答即可 【解答】解：A、左边右

15、边，故本选项错误； B、左边右边，故本选项正确； C、左边右边，故本选项错误； D、左边右边，故本选项错误 故选：B 7已知ABCD 中，A+C200，则B 的度数是（ ） A100 B160 C80 D60 【分析】由四边形 ABCD 是平行四边形，可得AC，ADBC，又由A+C200，即可求得 A 的度数，继而求得答案 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， AC，ADBC， A+C200， A100， B180A80 故选：C 8如图，将矩形 ABCD 的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形 EFGH，EH6cm，EF 8cm，则边 AB 的长度等于（ ） A10cm

16、 B9.6cm C8.4cm D8cm 【分析】利用翻折变换的性质得出EMH 为直角，AEHMEH，则HEAMEH，AEME，进 而得出 AEBE，再利用勾股定理得出 AE 的长，进而得出答案 【解答】解：如图所示：设 HF 上两个点分别为 M、Q， M 点是 A 点对折过去的， EMH 为直角，AEHMEH， HEAMEH，AEEM， 同理MEFBEF， MEH+MEF90， HEF90， M 点也是 B 点对折过去的， BEEM， AEBE， EH6cm，EF8cm， FH10（cm） ， SHEFHFEM， AEEM（cm） ， ABAE+BE4.8+4.89.6（cm） 故选：B 9如

17、图，ABCD，E、F 分别为 AC、BD 的中点，若 AB6，CD4，则 EF 的长为（ ） A5 B3 C2 D1 【分析】连接 DE 并延长交 AB 于 H，由 ASA 证得DCEHAE，得出 DEHE，DCAH，则 EF 是 DHB 的中位线，再根据中位线的性质即可得出结果 【解答】解：连接 DE 并延长交 AB 于 H，如图所示： CDAB， CA， E 是 AC 中点， AECE， 在DCE 和HAE 中， ， DCEHAE（ASA） ， DEHE，DCAH， F 是 BD 中点， EF 是DHB 的中位线， EFBH， BHABAHABDC642， EF1， 故选：D 10如图，正

18、方形 ABCD 的边长为 2，点 E 从点 A 出发沿着线段 AD 向点 D 运动（不与点 A、D 重合） ，同 时点 F 从点 D 出发沿着线段 DC 向点 C 运动（不与点 D、C 重合） ，点 E 与点 F 的运动速度相同BE 与 AF 相交于点 G，H 为 BF 中点，则有下列结论： BGF 是定值； FB 平分AFC； 当 E 运动到 AD 中点时，GH； 当 AG+BG时，四边形 GEDF 的面积是 其中正确的是（ ） A B C D 【分析】根据全等三角形的判定与性质，正方形的性质、勾股定理逐一进行判断即可 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， ABCD，BAED90， 在B

19、AE 和ADF 中， ， BAEADF（SAS） ， ABEDAF， ABE+BAGDAF+BAG90， AGB90， BGF 是定值；故正确； 根据题意无法判断AFB 与CFB 的大小，FB 平分AFC； 故错误； 当 E 运动到 AD 中点时， 当 F 运动到 DC 中点， CFCD1， BF， H 为 BF 中点， GHBF；故正确； BAEADF， 四边形 GEDF 的面积ABG 的面积， 当 AG+BG时， （AG+BG）2AG2+2AGBG+BG26， AG2+BG2AB24， 2AGBG2， AGBG1， SABGAGBG， 四边形 GEDF 的面积是故正确 故其中正确的是 故选

20、：C 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 11 “抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是 随机 事件（从“必然” 、 “随机” 、 “不可能”中选一个） 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可 【解答】解： “抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是 随机事件， 故答案为：随机 12一只不透明的袋子中有 1 个白球、1 个红球和 2 个黄球，这些球除颜色不同外其它都相同搅均后从中 任意摸出 1 个球，摸出白球可能性 小于 摸出黄球可能性 （填“等于”或“小于”或“大于” ） 【分析】先分别求出摸出各种颜色球的概率，再进行比较即可得出答案 【解答】解：袋子中有 1 个白球、1

21、个红球和 2 个黄球，共有 4 个球， 摸到白球的概率是，摸到红球的概率是，摸到黄球的概率是， 摸出白球可能性摸出黄球的可能性； 故答案为：小于 13分式，的最简公分母为 6xy2 【分析】利用最简公分母的确定方法可得答案 【解答】解：分式，的最简公分母为 6xy2， 故答案为：6xy2 14分式的值为 0，则 x 2020 【分析】利用分式值为零的条件进行解答即可 【解答】解：由题意得：x20200，且 x+20190， 解得：x2020， 故答案为：2020 15关于 x 的方程有增根，则 k 的值是 2 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根应先确定增根的可能值，让最简公分

22、母（x 3）0，得到 x3，然后代入化为整式方程的方程算出 k 的值 【解答】解：原方程有增根， 最简公分母 x30， 解得 x3， 方程两边都乘（x3） ， 得：x12（x3）+k， 当 x3 时，312（33）+k， 解得 k2， 故答案为：2 16已知一个对角线长分别为 4cm 和 6cm 的菱形，则菱形的边长是 cm 【分析】由菱形的性质可求得 OA，OB 的长，然后由勾股定理即可求得边 AB 的长，继而求得答案 【解答】解：如图所示： 四边形 ABCD 是菱形，AC4cm，BD6cm， ABBCCDAD，OAAC2cm，OBBD3cm，ACBD， 在 RtOAB 中，由勾股定理得：A

23、B（cm） ； 即菱形的边长是cm， 故答案为： 17如图，在正方形 ABCD 中，顶点 A（2，0） ，B（2，0） ，将以 BC 为斜边的等腰直角BCE 与正方形 ABCD 组成的图形绕点 O 顺时针旋转，每次旋转 90，则第 10 次旋转结束时，点 E 的坐标为 （4， 2） 【分析】过点 E 作 EFx 轴于点 F，根据 A（2，0） ，B（2，0） ，四边形 ABCD 是正方形，可得 AB BC4，CBACBF90，根据BCE 是等腰直角三角形，可得EBF 是等腰直角三角形，可得 E （4，2） ，再根据旋转的性质可得每 4 次一个循环，进而可得第 10 次旋转结束时，点 E 的坐标

24、 【解答】解：如图，过点 E 作 EFx 轴于点 F， A（2，0） ，B（2，0） ，四边形 ABCD 是正方形， ABBC4，CBACBF90， BCE 是等腰直角三角形， CBEEBF45， EBF 是等腰直角三角形， BEBC2， EFBFBE2， OF4， E（4，2） ， 将以 BC 为斜边的等腰直角BCE 与正方形 ABCD 组成的图形绕点 O 顺时针旋转，每次旋转 90， 第 1 次旋转结束时，点 E 的坐标为（2，4） ； 第 2 次旋转结束时，点 E 的坐标为（4，2） ； 第 3 次旋转结束时，点 E 的坐标为（2，4） ； 第 4 次旋转结束时，点 E 的坐标为（4，2

25、） ； 每 4 次一个循环， 10422， 第 10 次旋转结束时，点 E 的坐标为（4，2） 故答案为： （4，2） 18如图，在菱形 ABCD 中，点 A 的坐标为（0，10） ，点 C 的纵坐标为 2，直线 BD 的表达式为 yx+b， 交 y 轴于点 E，若 2BEBD，则菱形 ABCD 的面积为 32 【分析】连接 AC 交 BD 与点 Q，根据菱形的性质得出 AC直线 l，且 BQDQ，AQCQ，即可求得直 线 AC 的解析式为 yx+10，进而求得 C 的坐标，从而求得 Q 的坐标以及 AC 的长，把 Q 的坐标代入 yx+b，求得 b 的值，即可求得 E 的坐标，根据勾股定理求

26、得 EQ，根据 2BEBD，即可得到 EQBD， 然后根据菱形的面积公式即可求得 【解答】解：连接 AC 交 BD 于点 Q，如图所示 四边形 ABCD 是菱形， AC直线 l，且 BQDQ，AQCQ， 点 A 的坐标为（0，10） ， 直线 AC 的解析式为 yx+10， 点 C 的纵坐标为 2， 把 y2 代入 yx+10 得 x8， C（8，2） ， Q（4，6） ， 把 Q 的坐标代入 yx+b 得，64+b，解得 b2， 直线 l 为 yx+2， E（0，2） ， EQ4， 2BEBD，2BQBD， BQBEEQ2， BD4， AC8， 菱形 ABCD 的面积为32， 故答案为 32

27、 三解答题三解答题 19计算： （1）； （2） 【分析】 （1）先根据同分母的分式相减法则进行计算，再化成最简分式即可； （2）先把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则求出即可 【解答】解： （1）原式 a1； （2）原式 1 20解方程： （1）； （2） 【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程 的解 【解答】解： （1）去分母得：x+12x， 解得：x1， 经检验 x1 是分式方程的解； （2）去分母得：x24x+416x24， 解得：x2， 经检验 x2 是增根，分式方程无解 21先化简，然后从2x2 的范围内选取一个合适的整数作为

28、 x 的值求出代 数式的值 【分析】直接利用分式的加减运算法则将括号里面通分运算，进而利用分式的混合运算法则计算得出答 案 【解答】解：原式 ， 从2x2 的范围内选取一个合适的整数， 当 x2 时， 原式 22在平面直角坐标系中，ABC 的位置如图所示： （每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形） （1）画出ABC 关于点 O 的中心对称图形A1B1C1； （2）将ABC 绕着点 O 逆时针旋转 90，画出旋转后得到的A2B2C2； （3）利用格点图，画出 AC 边上的高 BD，并求出 BD 的长，BD 【分析】 （1）分别作出 A，B，C 的对应点 A1，B1，C1即可 （2）分别作

29、出 A，B，C 的对应点 A2，B2，C2即可 （3）利用面积法求出 BD 即可 【解答】解： （1）A1B1C1如图所示 （2）A2B2C2如图所示 （3）如图线段 BD 即为所求 SABCACBD， BD 故答案为 23甲、乙两地相距 600 千米，一辆货车和一辆小汽车同时从甲地出发开往乙地，小汽车的速度是货车的 1.2 倍，结果小汽车比货车早 1 个小时到达乙地，求两辆车的速度 【分析】设货车的速度为 x 千米/时，则小汽车的速度为 1.2x 千米/时，根据时间路程速度结合小汽 车比货车少用 1 小时，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论 【解答】解：设货车的速度为 x

30、 千米/时，则小汽车的速度为 1.2x 千米/时， 依题意，得：1， 解得：x100， 经检验，x100 是原方程的解，且符合题意， 1.2x120 答：货车的速度为 100 千米/时，小汽车的速度为 120 千米/时 24某校随机抽取部分学生，对“学习习惯”进行问卷调查设计的问题：对自己做错的题目进行整理、 分析、改正；答案选项为：A很少，B有时，C常常，D总是将调查结果的数据进行了整理、 绘制成部分统计图： 请根据图中信息，解答下列问题： （1）填空：a 12 %，b 36 %， “常常”对应扇形的圆心角度数为 108 ； （2）请你补全条形统计图； （3）若该校有 3000 名学生，请你

31、估计其中“常常”和“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生各 有多少名？ 【分析】 （1） “有时”的有 44 人，占调查人数的 22%，可求出调查人数，进而求出 a、b 的值， “常常” 所对应的圆心角的度数为 360的 30%； （2）求出“常常”的人数，即可补全条形统计图； （3）根据“常常”和“总是”对错题进行整理、分析、改正所占的百分比，求出相应的人数即可 【解答】解： （1）4422%200（人） ， a2420012%， b7220036%， 36030%108， 故答案为：12，36，108； （2）20030%60（人） ，补全条形统计图如图所示： （3）300030%900

32、（人） ，300036%1080（人） ， 答： “常常”对错题进行整理、分析、改正的有 900 人， “总是”对错题进行整理、分析、改正的有 1080 人 25已知：如图，平行四边形 ABCD 中，M、N 分别为 AB 和 CD 的中点 （1）求证：四边形 AMCN 是平行四边形； （2）若 ACBC5，AB6，求四边形 AMCN 的面积 【分析】 （1）由题意可得 ABCD，ABCD，又由 M，N 分别是 AB 和 CD 的中点可得 AMCN，即 可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质可得 CMAB，AM3，根据勾股定理可得 CM4，则可求面积 【解答】解： （1）证明：四边形 ABCD

33、 是平行四边形， ABCD，ABCD， M，N 分别为 AB 和 CD 的中点， AMAB，CNCD， AMCN，且 ABCD， 四边形 AMCN 是平行四边形； （2）ACBC5，AB6，M 是 AB 中点， AMMB3，CMAM， CM， 四边形 AMCN 是平行四边形，且 CMAM， AMCN 是矩形， S四边形AMCN12 26如图，在矩形 ABCD 中，连接对角线 AC （1）利用直尺和圆规画出对角线 AC 的垂直平分线 l，垂足为点 O，交 AB、CD 于点 E、F； （2）求证：BEDF； （3）若 AD6，AB8，求四边形 COEB 的周长 【分析】 （1）根据要求画出图形即可

34、 （2）证明AOECOF（AAS） ，推出 AECF，可得结论 （3）连接 EC解直角三角形求出 AE，OE 即可解决问题 【解答】 （1）解：如图，直线 EF 即为所求 （2）证明：EF 垂直平分线段 AC， OAOC， AECF， AEOCFO， AOECOF， AOECOF（AAS） ， AECF， ABCD， BEDF （3）解：连接 EC 四边形 ABCD 是矩形， ADBC6，ABCD8，B90， AC10， OAOC5， 设 EAECx， 在 RtECB 中，则有 x262+（8x）2， x， AEEC， OE， BEADAE8 四边形 OEBC 的周长5+6 27小明与同学们在

35、数学动手实践操作活动中，将锐角为 45o的直角三角板 MPN 的一个锐角顶点 P 与正方 形 ABCD 的顶点 A 重合，正方形 ABCD 固定不动，然后将三角板绕着点 A 旋转，MPN 的两边分别与 正方形的边 CB、DC 或其延长线相交于点 E、F，连结 EF 【探究发现】 （1）在三角板旋转过程中，当MPN 的两边分别与正方形的边 CB、DC 相交时，如图（1）所示，请直 接写出线段 BE、DF、EF 满足的数量关系： EFBE+DF （2）在三角板旋转过程中，当MPN 的两边分别与正方形的边 CB、DC 的延长线相交时，如图（2）所 示，则线段 BE、DF、EF 又将满足怎样的数量关系

36、： EFDFBE （请直接写出结果） 【拓展思考】 （3）若正方形的边长为 6，在三角板旋转过程中，当MPN 的一边恰好经过 BC 边的中点时，试求线段 EF 的长（请写出解答过程） 【创新应用】 （4）如图（3）所示，将三角板 MPN 的锐角顶点 P 与正方形 ABCD 的 AD 边中点重合，边 PM、PN 分 别与正方形 ABCD 的边 AB、BC 交于点 E、F若 AD6，AE2，则线段 FC （请直接写出结 果） 【分析】 （1）如图（1）中，结论：EFBE+DF延长 FD 至 G，使 DGBE，连接 AG，先证ABE ADG，再证GAFEAF 即可 （2）如图（2）中，结论：EFDF

37、BE在 DC 上截取 DHBE，连接 AH，先证ADHABE，再 证HAFEAF 即可 （3）分两种情形：当 MA 经过 BC 的中点 E 时，设 FDx，当 NA 经过 BC 的中点 G 时，分别利用 勾股定理构建方程求解 （4）如图（3）中，取 BC 的中点 T，AB 的中点 G，CD 的中点 H，连接 PT，GH 交于点 O，设 PN 交 OG 于 J构造（1）中模型，利用结论求出 OJ，FT 即可解决问题 【解答】解： （1）结论：EFBE+DF 理由：如图（1）中，延长 FD 至 G，使 DGBE，连接 AG，如图， 四边形 ABCD 是正方形， ABAD，ABEADGDAB90，

38、在ABE 和ADG 中， ， ABEADG（SAS） ， AEAG，DAGEAB， EAF45， DAF+EAB45， DAF+DAG45， GAFEAF45， 在GAF 和EAF 中， ， GAFEAF（SAS） ， EFGF， GFDF+DGDF+BE， 即：EFDF+BE 故答案为：EFDF+BE （2）结论：EFDFBE 理由：如图（2）中，在 DC 上截取 DHBE，连接 AH，如图， 在ADH 和ABE 中， ， ADHABE（SAS） ， AHAE，DAHEAB， EAFEAB+BAF45， DAH+BAF45， HAF45EAF， 在HAF 和EAF 中， ， HAFEAF（S

39、AS） ， HFEF， DFDH+HF， EFDFBE 故答案为：EFDFBE （3）当 MA 经过 BC 的中点 E 时，设 FDx，则 FGEF3+x，FC6x 在 RtEFC 中， （x+3）2（6x）2+32， x2， EFx+35 当 NA 经过 BC 的中点 G 时，设 BEx，则 EC6+x，EF12x， CGBC3，CFAB6， 由勾股定理得到： （6+x）2+62（12x）2， x2， EF12210 （4）如图（3）中，取 BC 的中点 T，AB 的中点 G，CD 的中点 H，连接 PT，GH 交于点 O，设 PN 交 OG 于 J P，G，T，H 分别是正方形 ABCD 的四边中点， AGDH，AGDH， 四边形 ADHG 是平行四边形， 同法可证，四边形 ABTP 是平行四边形， OGAP，OPAG， 四边形 APOG 是平行四边形， APAG，A90， 四边形 APOG 是正方形， 由（1）可知，EJAE+OJ，设 OJx，则 GJ3x，EJx+2， 在 RtGJE 中，EG2+GJ2EJ2， 12+（3x）2（x+2）2， x， OJ， OJBC，OPOT， PJJF， TF2OJ， CFFT+CT+3 故答案为：