浙江省宁波市2021届中考数学高频题型(五)圆与函数综合问题(含答案)
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1、浙江省宁波市中考数学高频题型浙江省宁波市中考数学高频题型(五五) 圆与函数综合问题 【中考真题】 1.(2018 浙江宁波 26)如图 1,直线 l:y = 3 4x + b与 x 轴交于点A(4,0),与 y 轴交于点 B,点 C 是线段 OA 上一动点(0 AC 16 5 ).以点 A为圆心,AC 长为半径作 A交 x 轴于另一点 D,交线段 AB 于点 E,连 结 OE 并延长交 A于点 F (1)求直线 l 的函数表达式和tanBAO的值; (2)如图 2,连结 CE,当CE = EF时, 求证: OCE OEA; 求点 E 的坐标; (3)当点 C 在线段 OA 上运动时,求OE E
2、F的最大值 【答案】解:直线 l:y = 3 4x + b与 x 轴交于点A(4,0), 3 4 4 + b = 0, b = 3, 直线 l 的函数表达式y = 3 4x + 3, B(0,3), OA = 4,OB = 3, 在Rt AOB中,tanBAO = OB OA = 3 4; (2)如图 2,连接 DF, CE = EF, CDE = FDE, CDF = 2CDE, OAE = 2CDE, OAE = ODF, 四边形 CEFD 是 O的圆内接四边形, OEC = ODF, OEC = OAE, COE = EOA, COE EOA, 过点E OA于 M, 由知,tanOAB
3、= 3 4, 设EM = 3m,则AM = 4m, OM = 4 4m,AE = 5m, E(4 4m,3m),AC = 5m, OC = 4 5m, 由知, COE EOA, OC OE = OE OA, OE2= OA OC = 4(4 5m) = 16 20m, E(4 4m,3m), (4 4m)2+ 9m2= 25m2 32m + 16, 25m2 32m + 16 = 16 20m, m = 0(舍)或m = 12 25, 4 4m = 48 25,3m = 36 25, (48 25, 36 25), (3)如图,设 O的半径为 r,过点 O 作OG AB于 G, A(4,0),
4、B(0,3), OA = 4,OB = 3, AB = 5, 1 2AB OG = 1 2OA OB, OG = 12 5 , AG = OG tanAOB = 12 5 4 3 = 16 5 , EG = AG AE = 16 5 r, 连接 FH, EH是 O直径, EH = 2r,EFH = 90= EGO, OEG = HEF, OEG HEF, OE HE = EG EF, OE EF = HE EG = 2r(16 5 r) = 2(r 8 5) 2 + 128 25 , r = 8 5时,OE EF最大值为 128 25 2.(2019 浙江宁波 26)如图 1,圆 O 经过等边
5、ABC 的顶点 A,C(圆心 O 在ABC 内) ,分别与 AB,CB 的延 长线交于点 D,E,连接 DE,BFEC 交 AE 于点 F. (1)求证:BD=BE; (2)当 AF:EF=3:2,AC=6 时,求 AE 的长; (3)设yDAEx EF AF tan,. 求 y 关于 x 的函数表达式; 如图 2,连接 OF,OB,若AEC 的面积是OFB 面积的 10 倍,求 y 的值. 【答案】 (1)证明:ABC 为等边三角形, BAC=C=60 . DEB=BAC=60 ,D=C=60 DEB=D. BD=BE (2)解:如图,过点 A 作 AGEC 于点 G. ABC 为等边三角形
6、,AC=6, BG= 2 1 BC= 2 1 AC=3. 在 RtABG 中,AG= 3BG=33. BFEC, BFAG. AF:EF=3:2, BE= 3 2 BG=2. EG=BE+BG=3+2=5. 在 RtAEG 中,AE= . (3)解:如图,过点 E 作 EHAD 于点 H. EBD=ABC=60 , 在 RtBEH 中, BE EH =sin60= 2 3 . BG=xBE. AB=BC=2BG-2xBE. AH-AB+BH=2xBE+ 2 1 BE=(2x+ 2 1 )BE. 在 RtAHE 中,tan = y= 如图,过点 O 作 OMEC 于点 M. 设 BE=a. CG
7、=BG=xBE=x. EC=CG+BG+BE=a+2ax. AM= 2 1 EC= 2 1 a+ax. BM=EM-BE=ax- 2 1 a BFAG EBFEGA. AG= BG= ax BF= AG= OFB 的面积= AEC 的面积= AEC 的面积是OFB 的面积 10 倍 解得 【解题指导】 此类题型是学生最不喜欢的一类了,函数与几何结合,既要对函数的性质了如指掌,又要对几何的运用出 神入化,难度颇高。大多数学生在做到压轴题时,时间已经不太充裕了,同时很难静下心来审题,这也是 导致得分率不高的一个重要原因。想要拿到分数,关键在于:平心静气,耐心审题;抛开“这道题一 定很难,我不会”的
8、主观想法,尽量在第(1) 、 (2)小问上找得分点,争取把这两小问的分数搞到手,第 (3) 小问也不要直接抛弃, 可以看看从条件中能够得到哪些结论, 有时会有意外的得分; 当然对知识点、 重要模型、常规解题技巧也要做到了然于心。 【牛刀小试】 1如图 1,ABC 内接于圆,点 D 在劣弧AC上,AD 1 2 BC,DC 1 2 AB,Q 为 AC 中点,点 D 与点 P 关于 点 Q 对称 (1)求证:PADABC (2)求证:点 B,P,D 在一条直线上 (3)如图 2,记PAB,PCB,ABC,请用含 , 的代数式表示 (4)如图 3,设 E,F 分别为 AB,BC 的中点,EF 交 BD
9、 于点 H,求 PH AC 的值 【详解】 解: (1)点 Q 为 AC 中点,点 D 与点 P 关于点 Q 对称, AQQC,PQQD, 四边形 APCD 是平行四边形, APCD,APCD, PAD+ADC180, 四边形 ABCD 是圆内接四边形, ABC+ADC180, PADB, 又 1 2 ADAP BCAB , PADABC. (2)连接 BD,如图 2, PADABC, ACBADP, ACBADB, ADPADB 点 B,P,D 在一条直线上. (3)APDABP+BAP,CPDCBP+PCB, APD+CPDABP+BAP+CBP+PCB+, 四边形 APCD 是平行四边形
10、, ADCAPCAPD+CPD, 180ABC+, 2180, 90 2 2 . (4)连接 EP,FP, E,F 分别为 AB,BC 的中点, AEBE 1 2 AB,BFCF 1 2 BC, CD 1 2 AB,CDAP, AEAP, APE90 1 2 , 同理可得CPF90 1 2 , EPF360APECPFAPC180( 1 2 + 1 2 +) , 90 2 2 , EPF180( 1 2 + 1 2 +90 2 2 )90, E 是 AB 的中点,点 F 是 BC 的中点, EFAC,EF 1 2 AC, BEHBAQ,BFHBCQ, EHBHHF1 ABQCQ2Q , AQC
11、Q, EHHF, PH 1 2 EF 1 4 AC, 1 4 PH AC 2如图 1,直线 l:y 1 2 x+4 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B,以 AB 为直径作M,点 P 为线段 OA 上一动点(与点 O、A 不重合) ,作 PCAB 于 C,连结 BP 并延长交O 于点 D (1)求点 A,B 的坐标和 tanBAO 的值; (2)设 BC CA x,tanBPOy 当 x1 时,求 y 的值及点 D 的坐标; 求 y 关于 x 的函数表达式; (3)如图 2,连接 OC,当点 P 在线段 OA 上运动时,求 OCPD 的最大值 【详解】 解: (1)对于直线 l:y 1
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