浙江省宁波市2021届中考数学高频题型（一）整式的混合运算在几何图形面积、周长中的应用（含答案）

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1、浙江省宁波市中考数学高频题型浙江省宁波市中考数学高频题型（一一） 【中考真题】【中考真题】 1.（2017 浙江宁波 12）一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为和的两个小矩形为 正方形，在满足条件的所有分割中，若知道九个小矩形中个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面 积，则的最小值是( ) A3 B4 C5 D6 【答案】【答案】A 【详解】 解：如图所示：设的周长为：4x，的周长为 2y，的周长为 2b，即可得出的边长以及和的邻边 和， 设的周长为：4a，则的边长为 a，可得和中都有一条边为 a， 则和的另一条边长分别为：ya，ba， 故大矩形的边长分别为：baxabx，y

2、axayx， 故大矩形的面积为：（bx）（yx），其中 b，x，y都为已知数， 故 n的最小值是 3 故选：A 2（2018 浙江宁波 12）在矩形 ABCD 内，将两张边长分别为 a和b(ab)的正方形纸片按图 1，图 2两种 方式放置(图 1，图 2 中两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影 表示，设图 1中阴影部分的面积为 1 S，图 2 中阴影部分的面积为 2 S .当ADAB2时， 21 SS的值为( ) A2a B2b C2a2b D2b 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 【分析】利用面积的和差分别表示出 1 S和 2 S，然后利用整式的混合运

3、算计算它们的差 【详解】 1 SAB aaCDbAD aAB aaAB bAD a ， 2 SAB AD aabAB a， 21 SSAB AD aabAB aAB aaAB bAD a ， AD aAB ABbAB aaba ， b AD abb AB ab ， b ADAB， 2b， 故选 B 3 （2019 浙江宁波 12） 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一， 在我国古算书 周髀算经 中早有记载 如 图 1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图 2的方式放置在最大正 方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ） A直角三角形的面积 B最大正方形的

4、面积 C较小两个正方形重叠部分的面积 D最大正方形与直角三角形的面积和 【答案】【答案】C 【分析】 根据勾股定理得到 c2=a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可 【详解】 设直角三角形的斜边长为 c，较长直角边为 b，较短直角边为 a， 由勾股定理得，c2=a2+b2， 阴影部分的面积=c2-b2-a（c-b）=a2-ac+ab=a（a+b-c）， 较小两个正方形重叠部分的长=a-（c-b），宽=a， 则较小两个正方形重叠部分底面积=a（a+b-c）， 知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积， 故选 C 4（2020 浙江宁波 12）BDE 和

5、FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角 形 ABC内若求五边形 DECHF的周长，则只需知道（ ） AABC 的周长 BAFH 的周长 C四边形 FBGH的周长 D四边形 ADEC的周长 【分析】 由等边三角形的性质和三角形的内角和定理可得：FHGH，ACBA60 ，AHFHGC，进而 可根据 AAS证明AFHCHG，可得 AFCH，然后根据等量代换和线段间的和差关系即可推出五边形 DECHF的周长AB+BC，从而可得结论 【详解】 解：GFH 为等边三角形， FHGH，FHG60 ， AHF+GHC120 ， ABC为等边三角形， ABBCAC，ACBA60 ， GH

6、C+HGC120 ， AHFHGC， AFHCHG（AAS）， AFCH BDE和FGH 是两个全等的等边三角形， BEFH， 五边形 DECHF的周长DE+CE+CH+FH+DF BD+CE+AF+BE+DF （BD+DF+AF）+（CE+BE）， AB+BC 只需知道ABC的周长即可 故选：A 【解题指导解题指导】通过设未知数，表示所求几何图形的周长或面积，结合提给条件，快速得到结 论。 【牛刀小试牛刀小试】 1、如图，将矩形纸片 ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙，无重叠的四边形 EFGH,设 AB=a,BC=b,若 AH=1,则() A. a2=4b4 B. a2=4b+4

7、 C. a=2b1 D. a=2b+1 2、如图，O 与矩形 ABCD 相切，切点分别为 E、F、G，边 BC 与O 交于 M、N 两点。下列五组条件中， 能求出O 半径的有（ ） 已知 AB、MN 的长；已知 AB，BM 的长；已知 AB，BN 的长；已知 BE，BN 的长，已知 BM， BN 的长。 A. 2 组 B. 3 组 C. 4 组 D. 5 组 3、如图，四张大小不一的正方形纸片分别放置于长方形的四个角落，其中，和纸片既不重叠也无空隙， 在长方形 ABCD 的周长已知的情况下，知道下列哪个正方形的边长，就可以求得阴影部分的周长（ ） A. B. C. D. 4如图，已知大矩形 A

8、BCD由四个小矩形组成，其中 AECG，则只需要知道其中一个小矩形的 面积就可以求出图中阴影部分的面积，这个小矩形是（ ） A B C D 【答案】B 【分析】 由矩形的性质得出 AB=CD，FP=CG，则 BE=DG，求出阴影部分的面积=BFD 的面积-BFP 的面积= 1 2 BF BE= 1 2 矩形面积，即可得出答案 【详解】 解：如图所示： 四边形 ABCD和四边形是矩形， ABCD，FPCG， AECG， BEDG， 阴影部分的面积BFD的面积BFP 的面积 1 2 BF CD 1 2 BF FP 1 2 BF （CDCG） 1 2 BF DG 1 2 BF BE 1 2 矩形面积

9、， 故选：B 5如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成 3 个正方形和 2 个长方形后仍是中心对称图形若只 知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为（ ） A B C D 【答案】【答案】A 【解析】【解析】试题分析：如图， ， 长方形被分割成 3 个正方形和 2 个长方形后仍是中心对称图形，A 的对应点是 A，B 的对应点是 B， AB=AB，的长和的边长的和等于原长方形的长，的宽和的边长的和等于原长方形的宽， 的周长和等于原长方形的周长，分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为，其余的图 形的周长不用测量无法判断故选 A 6如图是一个由 5张纸片拼成的平

10、行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形 纸片的面积都为 S1，另两张直角三角形纸片的面积都为 S2，中间一张正方形纸片的面积为 S3，则这个平行 四边形的面积一定可以表示为（ ） A4S1 B4S2 C4S2+S3 D3S1+4S3 【答案】【答案】A 【详解】 设等腰直角三角形的直角边长为 a，中间小正方形的边长为 b，则另两个直角三角形的边长分别为 a-b，a+b， 2 1 1 S 2 a， 22 2 111 ()() 222 Sab abab， 2 3 1 2 Sb， 平行四边形的面积=2S1+2S2+S3 22222 1 24aabbaS， 故答案选 A. 7如

11、图，梯形 ABCD被分割成两个小梯形，和一个小正方形，去掉后，和可剪拼成一个新的 梯形，若 EFAD2，BCEF1，则 AB的长是（ ） A6 B3 5 C9 D3 10 【答案】C 【分析】 连接 AH交 EF于点 K，根据 EFAD2，BCEF1，可得 BCAD3，由图象剪拼观察可得，AD HC，四边形 AHCD是平行四边形，再证明AEKABH，可得 AB的长 【详解】 解：如图， 连接 AH交 EF于点 K， EFAD2，BCEF1， BCAD3， 由图象剪拼观察可知： ADHC， 四边形 AHCD是平行四边形， BCADBCHC3， KFAD，EK2， 为正方形， EBBH3， EKB

12、H， AEKABH， AEEK = ABBH ， 即 AB-32 = AB3 ， 解得 AB9 故选：C 8用线段 EG，FH 将正方形 ABCD 按如图 1所示的方式分割成 4个全等的四边形，且 AE=BF=CG=DH， tanHFC=2，再将这四个四边形按如图 2 所示的方式拼成一个大正方形 IJKL，若设正方形 ABCD 的面积为 S1，正方形 IJKL的面积为 S2小四边形 MNPQ的面积为 8，则 1 2 S S 的值为（ ） A 2 2 B 2 5 5 C 4 5 D 2 3 【答案】C 【分析】过点 H作 HH1BC 于点 H1，设 AE=BF=CG=DH=a，AB=CD=BC=

13、AD=b，用含 a，b 的代数式表 示出 FH1，H1H，利用解直角三角形求出 b=4a，可得到 S1；再利用 SAS 证明AEHDHG，利用全等三 角形的性质，可得到 EH=HG，AHE=DGH，就可推出EHG 是等腰直角三角形，利用解直角三角形可 得到 EG= 2EH，然后由勾股定理就可求出正方形 IJKL的边长，利用正方形的面积公式求出 S2，然后求 出两正方形的面积的比值. 【详解】 过点 H作 HH1BC 于点 H1， 设 AE=BF=CG=DH=a，AB=CD=BC=AD=b， FH1=b-2a，H1H=CD=b， 在 RtH1HF中， 1 1 H Hb tanHFC2 FHb2a

14、 ， b=4a， S1=16a2； AH=DG，A=D=90 ，AE=HD， AEHDHG（SAS）， EH=HG，AHE=DGH， DHG+DGH=90 =DHG+AHE， EHG=90 ， EHG是等腰直角三角形， EG= 2EH， 在 RtAEH中，AH=AD-DH=4a-a=3a， 2222 EHAEAHa9a10a ， 正方形 IJKL的边长为 EG= 210a2 5a . S2= 2 2 2 5a20a， 2 1 2 2 S16a4 S20a5 . 故选：C. 9如图，记图中阴影部分面积为S甲，图中阴影部分面积为S乙，设 (0) S kab S 甲 乙 ，则（ ） 图 图 A 1

15、0 2 k B 1 1 2 k C 3 1 2 k D 3 2 2 k 【答案】B 【解析】 【分析】 首先根据图象用含 a、b的代数式表示出 k，然后结合 ab0 可求出 k的取值范围 【详解】 解：由图可得， 22 () 1 22 Saabb k Saba 甲 乙 ， ab0， 1 1 2 k， 故选 B 10一个大平行四边形按如图方式分割成九个小平行四边形且只有标号为和的两个小平行四边形为菱 形，在满足条件的所有分割中，若知道九个小平行四边形中 n 个小平行四边形的周长，就一定能算出这个 大平行四边形的长，则 n的最小值是（ ） A2 B3 C4 D5 【答案】B 【分析】 设菱形的边长

16、为a， 菱形的周长为b， 平行四边形的周长为c 由题意易知大平行四边形的周长a+b+c， 由此即可判断 【详解】 如图所示： 设菱形的边长为 a，菱形的周长为 b，平行四边形的周长为 c 由题意易知大平行四边形的周长a+b+c， 知道九个小平行四边形中小平行四边形的周长，就一定能算出这个大平行四边形的周长， n的最小值为 3 故选 B 9如图，4张如图 1 的长为 a，宽为 b（ab）长方形纸片，按图 2 的方式放置，阴影部分的面积为 S1，空 白部分的面积为 S2，若 S22S1，则 a，b满足（ ） Aa 3 2 b Ba2b Ca 5 2 b Da3b 【答案】B 【分析】 从图形可知空

17、白部分的面积为 S2是中间边长为（ab）的正方形面积与上下两个直角边为（a+b）和 b 的直 角三角形的面积，再与左右两个直角边为 a和 b 的直角三角形面积的总和，阴影部分的面积为 S1是大正方 形面积与空白部分面积之差，再由 S22S1，便可得解 【详解】 由图形可知， S2=（a-b）2+b（a+b）+ab=a2+2b2， S1=（a+b）2-S2=2ab-b2， S22S1， a2+2b22（2abb2）， a24ab+4b20， 即（a2b）20， a2b， 故选 B 11如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成若直角三角形一 个锐角为 30 ，将各

18、三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图所示的“数学风车”设 ABa，则图中 阴影部分面积为_(用含 a的代数式表示) 【答案】(2 3 )a2 【分析】 设 ACx，则 BCADa+x，利用 30的正切得到 x 31 2 a ，即 AC 31 2 a ，得到阴影部分面 积为 4 1 2 AC24 13 ( 22 aa )2(2 3 )a2 【详解】 解：如图， 设 ACx，则 BCADa+x， ADC30 ， AD 3 AC， a+x 3 x， x 31 2 a ， AC 31 2 a ， 图中阴影部分面积4 1 2 AC24 13 ( 22 aa )2(2 3 )a2 故答案为(2 3 )a2