2021届陕西省西安市高三第一次质检（一模）数学试卷（理科）含答案解析

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1、2021 年陕西省西安市高考数学第一次质检试卷（理科）（一模）年陕西省西安市高考数学第一次质检试卷（理科）（一模） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知集合 Mx|x23x100，则（RN）M 为（ ） Ax|3x5 Bx|x3 或 x5 Cx|3x2 Dx|3x5 2i（2+3i）（ ） A32i B3+2i C32i D3+2i 3已知点 A（2，3）在抛物线 y22px 的准线上，则 p（ ） A1 B2 C4 D8 4 已知首项为最小正整数， 公差不为零的等差数列an中， a2， a8， a12依次成等比数列， 则 a4的值是 （ ） A B C26 D58 5从

2、点 P（m，3）向圆（x2）2+y21 引切线，则切线长的最小值（ ） A B5 C D 6 某 三 棱 锥 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 三 棱 锥 的 体 积 是 （ ） A6 B8 C12 D24 7已知函数 f（x）sin（2x+）其中 （0，2），若对于一切 xR 恒成立，则 f（x） 的单调递增区间是（ ） A B C D 8已知定义域为 R 的函数 f（x）满足 f（x+2）f（x），且当 0 x1 时，f（x）lg（x2+2），则 f（ 2021）（ ） Alg3 Blg9 Clg3 D0 9直线 ykx+1 与曲线 f（x）alnx+b 相切于点 P（1，2），

3、则 2a+b（ ） A4 B3 C2 D1 10 设图 F1、 F2分别为双曲线的左、 右焦点， 双曲线上存在一点 P 使得|PF1|+|PF2| 3b，|PF1|PF2 |ab，则该双曲线的离心率为（ ） A B C D3 11天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法天干有十，即： 甲、乙，丙、丁、戊、己、庚，辛，壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰，巳、午，未、申、 酉、戌、亥干支纪年法中，天干地支对应的规律如表： 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 干支 纪年 甲子 年

4、乙丑 年 丙寅 年 丁卯 年 戊辰 年 己巳 年 庚午 年 辛未 年 壬申 年 癸酉 年 甲戌 年 乙亥 年 丙子 年 2049 年是新中国成立 100 周年这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴使用干支纪年法，2049 年是己巳年，则 2058 年是（ ）年 A己巳 B甲申 C戊寅 D丙戌 12已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点 M、N，若线段 MN 的最小值为，则下列结论不正 确的是（ ） A正方体的外接球的表面积为 12 B正方体的内切球的体积为 C正方体的棱长为 2 D线段 MN 的最大值为 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题）小题）. 13已知向量，若 ，则 k 14在（

5、x）6展开式中，常数项为 （用数值表示） 15已知实数 x，y 满足约束条件，则 z3x+2y的最大值 16已知数列an的前 n 项和为 Sn，满足 a1+1，则数列an的前 16 项和 S16 三、解答题（第三、解答题（第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作题为选考题，考生根据要求作 答）（一）必考题：共答）（一）必考题：共 60 分分 17在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，a2 （1）若，求角 B； （2）若 c2b，当角 B 最大时，求ABC 的面积 18为了推进分级诊疗，实现

6、“基层首诊，双向转诊，急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自 2016 年起全面推行家庭医生签约服务 已知该地区居民约为 2000 万 从 1 岁到 101 岁的居民年龄结构的频率 分布直方图如图甲所示为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了 1000 名年满 18 周岁以上 的居民，各年龄段被访者签约率如图乙所示 （1）估计该地区年龄在 7180 岁且已签约家庭医生的居民人数； （2）若以图中年龄在 7180 岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，则从该 地区年龄在 7180 岁居民中随机抽取三人，以已签约家庭医生的居民为变量 X，求这三人中恰有二人已 签约家庭医

7、生的概率；并求变量 X 的数学期望和方差 19如图，AB 是半圆 O 的直径，C 是半圆 O 上除 A，B 外的一个动点，DC 垂直于半圆 O 所在的平面，DC EB，DCEB1，AB4 （1）证明：平面 ADE平面 ACD； （2）当 C 点为半圆的中点时，求二面角 DAEB 的余弦值 20已知椭圆离心率为，点 A，B，D，E 分别是 C 的左，右，上，下顶点， 且四边形 ADBE 的面积为 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）已知 F 是 C 的右焦点，过 F 的直线交椭圆 C 于 P，Q 两点，记直线 AP，BQ 的交点为 T，求证： 点 T 横坐标为定值 21已知函数 f（x）ex（

8、x+a），其中 e 是自然对数的底数，aR （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）设 g（x）f（xa）x2，讨论函数 g（x）零点的个数，并说明理由 （二）选考题：共（二）选考题：共 10请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆 C 的极坐标方程 为 2+12cos+110 （1）求圆心 C 的直角坐标； （2）若直线 l 的参数方程是（t 为参数），l 与 C

9、 交于 A， B 两点，求 l 的斜率 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）x2+1，g（x）|xa|2x1|，a （1）当 a时，解不等式 g（x2）； （2）对任意 x1，x2R若不等式 f（x1）g（x2）恒成立，求实数 a 的取值范围 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知集合 Mx|x23x100，则（RN）M 为（ ） Ax|3x5 Bx|x3 或 x5 Cx|3x2 Dx|3x5 解：集合 Mx|x23x100 x|2x5， x|3x3， RNx|x3 或 x3， （RN）Mx|3x5 故选：A 2i（2+3i）（

10、 ） A32i B3+2i C32i D3+2i 解：i（2+3i）2i+3i23+2i 故选：D 3已知点 A（2，3）在抛物线 y22px 的准线上，则 p（ ） A1 B2 C4 D8 解：由已知得，抛物线 y22px 的准线方程为，且过点 A（2，3）， 故，p4 故选：C 4 已知首项为最小正整数， 公差不为零的等差数列an中， a2， a8， a12依次成等比数列， 则 a4的值是 （ ） A B C26 D58 解：设公差不为零的等差数列an的公差为 d（d0）， a2，a8，a12依次成等比数列， a82a2a12，即（a1 +7d）2（a1+d）（a1+11d），可得 19d

11、 2a 1d， d0，a119d， 又由已知可得 a11，在， 因此， 故选：A 5从点 P（m，3）向圆（x2）2+y21 引切线，则切线长的最小值（ ） A B5 C D 解：设切线长为 d，由题设条件可得：d2（m2）2+（30）21（m2）2+88， ，当且仅当 m2 时取“， 故选：D 6 某 三 棱 锥 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 三 棱 锥 的 体 积 是 （ ） A6 B8 C12 D24 解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示： 所以，由于锥体的高为 4， 故 故选：B 7已知函数 f（x）sin（2x+）其中 （0，2），若对于一切 xR 恒成立，

12、则 f（x） 的单调递增区间是（ ） A B C D 解：函数 f（x）sin（2x+），其中 （0，2），若对于一切 xR 恒成立， 则 2+2k+，kZ， 所以 2k+，kZ， 由于 （0，2）， 所以 ， 即 f（x）sin（2x+）， 令 2k2x+2k+，kZ， 解得 kxk+，kZ， 即 f（x）的单调递增区间是 故选：B 8已知定义域为 R 的函数 f（x）满足 f（x+2）f（x），且当 0 x1 时，f（x）lg（x2+2），则 f（ 2021）（ ） Alg3 Blg9 Clg3 D0 解：根据题意，定义域为 R 的函数 f（x）满足 f（x+2）f（x）， 则 f（x）是

13、周期为 2 的周期函数， 则有 f（2021）f（121011）f（1）， 又由当 0 x1 时，f（x）lg（x2+2），则 f（1）lg3， 则 f（2021）f（1）lg3， 故选：C 9直线 ykx+1 与曲线 f（x）alnx+b 相切于点 P（1，2），则 2a+b（ ） A4 B3 C2 D1 解：直线 ykx+1 与曲线 f（x）alnx+b 相切于点 P（1，2）， 可得 k+12，即 k1，f（1）b2， f（x）的导数为 f（x），即有 a1， 则 2a+b2+24 故选：A 10 设图 F1、 F2分别为双曲线的左、 右焦点， 双曲线上存在一点 P 使得|PF1|+|P

14、F2| 3b，|PF1|PF2 |ab，则该双曲线的离心率为（ ） A B C D3 解：由双曲线的定义得：|PF1|PF2|2a，（不妨设该点在右支上） 又|PF1|+|PF2|3b，所以 ， 两式相乘得结合 c2a2+b2得 故 e 故选：B 11天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法天干有十，即： 甲、乙，丙、丁、戊、己、庚，辛，壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰，巳、午，未、申、 酉、戌、亥干支纪年法中，天干地支对应的规律如表： 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子

15、干支 纪年 甲子 年 乙丑 年 丙寅 年 丁卯 年 戊辰 年 己巳 年 庚午 年 辛未 年 壬申 年 癸酉 年 甲戌 年 乙亥 年 丙子 年 2049 年是新中国成立 100 周年这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴使用干支纪年法，2049 年是己巳年，则 2058 年是（ ）年 A己巳 B甲申 C戊寅 D丙戌 解：根据题意，列表如下： 2049 年是己巳年，往后数 9 年，可得 2058 年是戊寅 故选：C 12已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点 M、N，若线段 MN 的最小值为，则下列结论不正 确的是（ ） A正方体的外接球的表面积为 12 B正方体的内切球的体积为 C正方体的棱

16、长为 2 D线段 MN 的最大值为 解：设正方体的棱长为 a，则正方体外接球半径为体对角线长的一半，即， 内切球半径为棱长的一半，即 M、N 分别为外接球和内切球上动点， ， 解得：a2即正方体惨长为 2，C 正确； 正方体外接球表面积为，A 正确； 内切球体积为，B 正确； 线段 MN 的最大值为，D 错误 故选：D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13已知向量，若 ，则 k 12 解：根据题意，向量， 则， 若，则有， 解得 k12， 故答案为：12 14在（x）6展开式中，常数项为 20 （用数值表示） 解：二项式（x）6

17、x+（x 1）6， 其展开式的通项公式为： Tr+1 x 6r（x1）r（1）r x 62r， 当 62r0 时，得 r3， 所以展开式的常数项为： T4（1）320 故答案为：20 15已知实数 x，y 满足约束条件，则 z3x+2y的最大值 9 解：由约束条件直线可行域如图， 令 tx+2y，由图可知，当直线 tx+2y 过 A 时，t 有最大值为 t2， 此时 z3x+2y的最大值为 9 故答案为：9 16已知数列an的前 n 项和为 Sn，满足 a1+1，则数列an的前 16 项和 S16 84 解：2（Sn+2+Sn）4Sn+1+1，化为 ，即， ，an为等差数列，公差， 故答案为：

18、84 三、解答题（共三、解答题（共 7解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都题为必考题，每个试题考生都 必须作答第必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共 60 分分 17在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，a2 （1）若，求角 B； （2）若 c2b，当角 B 最大时，求ABC 的面积 解：（1）因为， 所以，整理可得 a2+c2b2ac， 可得 cosB， 因为 B（0，）， 可得 B （2）在ABC 中，b2a2

19、+c22accosB，c2b， 所以 cosB，当且仅当 b时取等号，此时 B，C， 所以ABC 的面积 Sab 18为了推进分级诊疗，实现“基层首诊，双向转诊，急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自 2016 年起全面推行家庭医生签约服务 已知该地区居民约为 2000 万 从 1 岁到 101 岁的居民年龄结构的频率 分布直方图如图甲所示为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了 1000 名年满 18 周岁以上 的居民，各年龄段被访者签约率如图乙所示 （1）估计该地区年龄在 7180 岁且已签约家庭医生的居民人数； （2）若以图中年龄在 7180 岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居

20、民签约家庭医生的概率，则从该 地区年龄在 7180 岁居民中随机抽取三人，以已签约家庭医生的居民为变量 X，求这三人中恰有二人已 签约家庭医生的概率；并求变量 X 的数学期望和方差 解：（1）由题知该地区居民约为 2000 万，由图 1 知， 该地区年龄在 7180 岁的居民人数为 0.00410200080 万 由图 2 知年龄在 7180 岁的居民签概率为 0.7 所以该地区年龄在 7180 岁且已签约家庭医生的居民人数为 800.756 万 （2）由题知此地区年龄段在 7180 的每个居民签约家庭医生的概率为 P0.7， 且每个居民之间是否签约是独立的， 所以设“从该地区年龄在 7180

21、 岁居民中随机抽取三人”为事件 B， 随机变量为 X，这三人中恰有二人已签约庭医生的概率为： 数学期望 E（X）30.72.1， 方差 D（X）30.70.30.63 19如图，AB 是半圆 O 的直径，C 是半圆 O 上除 A，B 外的一个动点，DC 垂直于半圆 O 所在的平面，DC EB，DCEB1，AB4 （1）证明：平面 ADE平面 ACD； （2）当 C 点为半圆的中点时，求二面角 DAEB 的余弦值 【解答】（1）证明：AB 是圆 O 的直径，ACBC， DC平面 ABC，BC平面 ABC， DCBC，又 DCACC， BC平面 ACD， DCEB，DCEB， 四边形 DCBE 是

22、平行四边形，DEBC， DE平面 ACD， 又 DE平面 ADE， 平面 ACD平面 ADE （2）当 C 点为半圆的中点时，ACBC2， 以 C 为原点，以 CA，CB，CD 为坐标轴建立空间坐标系如图所示： 则 D（0，0，1），E（0，2，1），A（2，0，0），B（0，2，0）， （2，2，0），（0，0，1），（0，2，0），（2，0，1）， 设平面 DAE 的法向量为 （x1，y1，z1），平面 ABE 的法向量为 （x2，y2，z2）， 则，即， 令 x11 得 （1，0，2 ），令 x21 得 （1，1，0） cos 二面角 DAEB 是钝二面角， 二面角 DAEB 的余弦值为

23、 20已知椭圆离心率为，点 A，B，D，E 分别是 C 的左，右，上，下顶点， 且四边形 ADBE 的面积为 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）已知 F 是 C 的右焦点，过 F 的直线交椭圆 C 于 P，Q 两点，记直线 AP，BQ 的交点为 T，求证： 点 T 横坐标为定值 解：（1）设椭圆 C 的半焦距为 c，根据题意， ，解得， 所以椭圆的方程为+1 （2）证明：由（1）知 A（3，0），B（3，0），F（2，0）， 设 T（x0，y0），P（x1，y1），Q（x2，y2）， 由 kTAkPA，得 ， kTBkQB，得， 两式相除得， 又+1， 故1， 故， 于是， 由于直线 PQ

24、 经过点 F，故设直线 PQ 的方程为 xmy+2， 联立椭圆的方程可得（5m2+9）y2+20my250， 所以， 所以 ， 解得 x0， 所以点 T 横坐标为定值 21已知函数 f（x）ex（x+a），其中 e 是自然对数的底数，aR （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）设 g（x）f（xa）x2，讨论函数 g（x）零点的个数，并说明理由 解：（1）因为 f（x）ex（x+a）， 所以 f（x）ex（x+a+1）（1 分） 由 f（x）0，得 xa1； 由 f（x）0，得 xa1 所以 f（x）的增区间是（a1，+），减区间是（，a1） （2）因为 g（x）f（xa）x2xexax2

25、x（exax） 由 g（x）0，得 x0 或 exax0 设 h（x）exax， 又 h（0）ea0，即 x0 不是 h（x）的零点， 故只需再讨论函数 h（x）零点的个数 因为 h（x）exa1， 所以当 x（，a）时，h（x）0，h（x）单调递减； 当 x（a，+）时，h（x）0，h（x）单调递增 所以当 xa 时，h（x）取得最小值 h（a）1a 当 h（a）0，即 a1 时，h（x）0，h（x）无零点； 当 h（a）0，即 a1 时，h（x）有唯一零点； 当 h（a）0，即 a1 时， 因为 h（0）ea0， 所以 h（x）在（，a）上有且只有一个零点 令 x2a，则 h（2a）ea2

26、a 设 （a）h（2a）ea2a（a1），则 （a）ea20， 所以 （a）在（1，+）上单调递增， 所以，a（1，+），都有 （a）（1）e20 所以 h（2a）（a）ea2a0 所以 h（x）在（a，+）上有且只有一个零点 所以当 a1 时，h（x）有两个零点 综上所述，当 a1 时，g（x）有一个零点； 当 a1 时，g（x）有两个零点； 当 a1 时，g（x）有三个零点 （二）选考题：共（二）选考题：共 10请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方

27、程 22在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆 C 的极坐标方程 为 2+12cos+110 （1）求圆心 C 的直角坐标； （2）若直线 l 的参数方程是（t 为参数），l 与 C 交于 A， B 两点，求 l 的斜率 解：（1）将 xcos，ysin，x2+y22代入 2+12cos+110， 得 x2+y2+12x+110，即（x+6）2+y225， 所以圆 C 的圆心坐标为（6，0）； （2）在极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 （R） 设 A，B 所对应的极径分别为 1，2， 将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得 2+12cos+

28、110 于是 1+212cos，1211， ， 由，得，tan， 所以 l 的斜率为或 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）x2+1，g（x）|xa|2x1|，a （1）当 a时，解不等式 g（x2）； （2）对任意 x1，x2R若不等式 f（x1）g（x2）恒成立，求实数 a 的取值范围 解：（1）当时， 不等式 g（x2），即 ，即， 解得 x24 或 x23（舍去）， 由 x24，解得 x2 或 x2， 所以不等式的解集是（，2）（2，+） （2）由题意知，只需满足 f（x）mixg（x）max即可， 因为 f（x）x2+1，所以 f（x）min1， 依题意，当时，g（x）， 得 f（x）ming（x）max，得，即， 所以， 即 a 的取值范围是，