第15讲 三角函数应用题-考点题型专项训练及答案（2021年广东省深圳市中考数学复习）

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1、 深圳中考专项复习第深圳中考专项复习第 1515 讲之三角函数应用题讲之三角函数应用题 【考点介绍】 在深圳中考卷的第 10 题位置、第 20 题位置，二三年中会出现一道考查三角函数应用的题目，难度中等偏下. 【最近五年深圳中考实题解题思路分析】 1.(2020 深圳)如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距 200 米的 P、Q 两点分别测定对岸一棵树 T 的位置，T 在 P 的正北方向，且 T 在 Q 的北偏西 70方向，则河宽（PT 的长）可以表示为（ ） A.200tan70米 B.米 C.200sin70米 D.米 【解析】由题意知PTQ=70，则在 RtPTQ 中，tan

2、70=PQ PT = 200 PT，PT= 200 tan70，故选 B 2.(2019 深圳)如图所示，某施工队要测量隧道长度 BC，AD=600 米，ADBC，施工队站在 D 点处看向 B，测得仰角 为 45， 再由 D 走到 E 处测量， DE/AC， ED=500 米， 测得仰角为 53， 求隧道 BC 长. （sin534 5,cos53 3 5,tan53 4 3） 解析：依三角形函数应用题总体解题思路“已知多少个角的度数，就找多少个 Rt，就用多少次三角函数”. 故过 E 作 EHAB 于点 H，则 EH/AD，又四边形 ADEH 是矩形，AH=DE=500 米，HE=AD=60

3、0 米，又ADB=45， ABD为 等 腰 , AB=AD=600米 ， 在Rt CHE中 ， CH=HE tan53 600 4 3 =800米 ， BC=CH+AH-AB=800+500-600=700 米，隧道 BC 的长为 700 米 3.(2017 深圳)如图， 学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度， 他们先在点C处测得树顶B的仰角为60， 然后在坡顶 D 测得树顶 B 的仰角为 30， 已知斜坡 CD 的长度为 20m， DE 的长为 10cm， 则树 AB 的高度是 （ ） m A203 B30 C303 D40 【解析】先根据 CD=20 米，DE=10m 得出DCE

4、=30，故可得出DCB=90，再由BDF=30可知DBE=60，由 DFAE 可得出BGF=BCA=60，故GBF=30，所以DBC=30，再由锐角三角函数的定义即可得出结论 解：在 RtCDE 中，CD=20m，DE=10m，sinDCE=10 20 = 1 2，DCE=30 ACB=60， DFAE， BGF=60ABC=30，DCB=90 BDF=30，DBF=60， DBC=30， BC= CD tan30= 20 3 3 =203m，AB=BCsin60=203 3 2 =30m故选 B 4.(2016 深圳)某兴趣小组借助无人飞机航拍校园，如图，无人飞机从 A 初飞行至 B 处需

5、8 秒，在地面 C 处同一方 向上分别测得 A 处的仰角为 75.B 处的仰角为 30.已知无人飞机的飞行速度为 4 米/秒，求这架无人飞机的飞行 高度.(结果保留根号) 【解析】如图，作 ADBC，BH水平线由题意ACH=75，BCH=30，ABCH,ABC=30, ACB=45 AB=48=32m,AD=CD=ABsin30=16m,BD=ABcos30=163m，BC=CD+BD=16+163m， BH=BCsin30=8+83m. 【针对练习巩固】 12020 年 3 月 20 日，深圳市民中心及周边楼宇为当日返回深圳的援鄂医疗队员亮灯，欢迎最美逆行者回家小洪 在欢迎英雄回家现场，如图

6、，若他观测到英雄画像电子屏顶端 A 和底端 C 的仰角分别为 和，小洪所站 位置 E 到电子屏边缘 AC 垂直地面的 B 点距离为 m 米，那么英雄画像电子屏高 AC 为（ ） A （）米 Bmtan（）米 Cm（tantan）米 D米 2.如图，一块矩形木板 ABCD 斜靠在墙边，OCOB，点 A,B,C,D,O 在同一平面内，已知 AB=a，AD=b，BCO=x，则点 A 到 OC 的距离等于( ) A. asinx+bsinx B. acosx+bcosx C. asinx+bcosx D. acosx+bsinx 3 如图， 一艘船由 A 港沿北偏东 65方向航行 302km 至B 港

7、， 然后再沿北偏 西 40方向航行至C港， C港在 A港北偏东 20 方向，则 A，C 两港之间的距离为 （ ）km A. 30 + 303 B. 30 + 103 C. 10 + 303 D. 303 4如图，一枚运载火箭从 O 处发射，当火箭到达点 A、B 时，在雷达站 C 处测得点 A、B 的仰角分别为34 、 45， 其中点O、A、B 在同一条直线上，A、B 两点间的距离是1.65km求发射地 O 距雷达站 C 的距离（结果保留整数） （参考数据：sin340.56，cos340.83，tan340.67） 5 小明想测量湿地公园内某池塘两端 A， B 两点间的距离 他沿着与直线 AB

8、 平行的道路 EF 行走， 当行走到点 C 处， 测得ACF40， 再向前行走 100 米到点 D 处， 测得BDF52.44， 若直线 AB 与 EF 之间的距离为 60 米， 求 A， B 两点的距离 （结果精确到 0.1） （参考数据： sin400.64， cos400.77， tan400.84， sin52.440.79， cos52.440.61，tan52.441.30） 6.如图，AB 是垂直于水平面的建筑物.为测量 AB 的高度，小红从建筑物底端 B 点出发，沿水平方向行走了 5.2 米到 达点 C，然后沿斜坡 CD 前进，到达坡顶 D 点处，DC=BC.在点 D 处放置测

9、角仪，测角仪支架 DE 高度为 0.8 米，在 E 点处测得建筑物顶端 A 点的仰角AEF 为 27(点 A， B， C， D， E 在同一平面内).斜坡 CD 的坡度(或坡比)i=1： 2.4， 求建筑物 AB 的高度.(参考数据 sin270.45，cos270.89，tan270.51) 7.港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥如图是港珠澳大桥的海豚塔部分效果图，为了测得海豚塔斜拉索顶端 A 距 离海平面的高度，先测出斜拉索底端 C 到桥塔的距离（CD 的长）约为 100 米，又在 C 点测得 A 点的仰角为 30， 测得 B 点的俯角为 20，求斜拉索顶端 A 点到海平面 B 点的距离（A

10、B 的长） （已知31.732，tan200.36， 结果精确到 0.1） 8. 如图，某人在山坡坡脚 C 处测得一座建筑物顶点 A 的仰角为 60，沿山坡向上走到 P 处再测得该建筑物顶点 A 的仰角为 45已知 BC=90 米，且 B、C、D 在同一条直线上，山坡坡度为1 2（即 tanPCD= 1 2） （1）求该建筑物的高度（即 AB 的长） （2）求此人所在位置点 P 的铅直高度 （测倾器的高度忽略不计，结果保留根号形式） 9. 如图，海面上一艘船由西向东航行，在 A 处测得正东方向上一座灯塔的最高点 C 的仰角为 31，再向东继续航 行 30m 到达 B 处， 测得该灯塔的最高点

11、C 的仰角为 45， 根据测得的数据， 计算这座灯塔的高度 CD （结果取整数） （参 考数据：sin310.52,cos310.86,tan310.60 ） 10如图，从地面上的点 A 看一山坡上的电线杆 PQ，测得杆顶端点 P 的仰角是 45，向前走 9m 到达 B 点，测得杆 顶端点 P 和杆底端点 Q 的仰角分别是 60和 30 （1）求BPQ 的度数； （2）求该电线杆 PQ 的高度 （结果保留根号） 11如图，航拍无人机从 A 处测得一幢建筑物顶部 B 的仰角为 45，测得底部 C 的俯角为 60，此时航拍无人机 与该建筑物的水平距离 AD 为 110 米，那么该建筑物的高度 BC

12、 约为多少米？（结果保留整数，1.73） 12为缓解交通压力，市郊某地正在修建地铁站，拟同步修建地下停车库如图是停车库坡道入口的设计图，其中 MN 是水平线，MNAD，ADDE，CFAB，垂足分别为 D，F，坡道 AB 的坡度1：3，AD9 米，点 C 在 DE 上，CD 0.5 米，CD 是限高标志牌的高度（标志牌上写有：限高 米）如果进入该车库车辆的高度不能超过线段 CF 的长，则该停车库限高多少米？（结果精确到 0.1 米，参考数据：1.41，1.73，3.16） 13在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图 51 是他 的电脑液晶显示器的侧面图，显示屏 AB 可以绕 点 O 旋转一

13、定的 角度 研究表明： 当眼睛 E 与显示屏顶端 A 在同一水平线上， 且 望向显示器屏幕形成一个 18 的俯角 （即望向屏幕中心 P 的视线 EP 与水平线 EA 的夹角AEP） 时， 对保护眼睛比较好， 而且显 示屏顶端 A 与 底座 C 的连线 AC 与水平线 CD 垂直时 （如图 52） 时， 观看屏幕最舒适 此时测得BCD30， APE90， 液晶 显示屏的宽 AB 为 32cm （1）求眼睛 E 与显示屏顶端 A 的水平距离 AE （结果精确到 1cm） （2）求显示屏顶端 A 与底座 C 的距离 AC （结果精确到 1cm） （参考数据：sin18 0.3，cos18 0.9，t

14、an18 0.3， 2 2 1.4 ，3 3 1.7 ） 14.如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48，测得底部 C处的俯角为58， 求甲、 乙建筑物的高度AB和DC（结果取整数） .参考数据：tan481.11，tan581.60. 15.如图，线段AB、CD表示两栋楼，某人站在A处测得D点的仰角51，当他站在B处时，测得点D的仰角是 37，已知AB的高度是 28 米，求CD的高度. （参考数据： 3 sin37 5 ， 3 tan37 4 ， 5 41 sin51 41 ， 5 tan51 4 ） 【答案详解】 1 【解析】根据题意得，DF

15、BEm 米， 在 RtADF 中，tan ，ADDFtanmtan， 在 RtCDF 中，tan ，CDDFtanmtan， ACADCDmtanmtanm（tantan） （米） ，故选：C 2.【解析】如图，过点 A 作 AEOC 于点 E，作 AFOB 于点 F，四边形 ABCD 是矩形，ABC=90，ABC= AEC，BCO=x，EAB=x，FBA=x，AB=a，BC=AD=b，FO=FB+BO=acosx+bsinx，故选 D 3【解析】作BEAC于点E，在RtABE中，CAB=65-20=45,AE=BE=sin45AB=30cm,在RtCBE中， ACB=40+20=60,CE=

16、tan30BE=103cm，AC=AE+CE=30+103cm，故选B 4【解析】由题意可得：AOC90，AB1.65km在RtAOC 中，tan34OA:OC，0.67 C;1.65 C ， CO5（km），答：发射地O 距雷达站C 的距离为5km 5 【解析】作 AMEF 于点 M，作 BNEF 于点 N，如图所示，由题意可得，AMBN60 米，CD100 米， ACF40， BDF52.44， CM71.43 （米） ， DN46.15 （米） ， ABCD+DNCM100+46.1571.4374.7（米） ，即 A、B 两点的距离是 74.7 米 6.【解析】过 E 作 EMAB 交

17、 AB 于 M，延长 ED 交 BC 于 G，如图： 在 RtCDG 中，tanDCG=i= = 1 2.4， 2 + 2= 2，CD=5.2,DG=4,CG=9.6， BG=BC+CG=ME=14.8， EG=ED+DG=MB=4.8,在 RtAEM 中，tanAEM=tan27= = 14.85.1，,AM=7.548,AB=AM+BM13.3 AB 约为 13.3 米 7.【解析】如图， 由题意得，在ABC 中，CD=100，ACD=30，DCB=20，CDAB， 在 RtACD 中，AD=CDtanACD=100 3 3 57.73(米)， 在 RtBCD 中，BD=CDtanBCD1

18、000.3636(米)， AB=AD+DB=57.73+36=93.7393.7(米)， 答：斜拉索顶端 A 点到海平面 B 点的距离 AB 约为 93.7 米 8. 【解析】 （1）过点 P 作 PEBD 于 E，PFAB 于 F，在 RtABC 中，求出 AB 的长度即可 （2）设 PE=x 米，则 BF=PE=x 米，根据山坡坡度为1 2，用 x 表示 CE 的长度，然后根据 AF=PF 列出等量关系式，求出 x 的值即可 解： （1）过点 P 作 PEBD 于 E，PFAB 于 F，又ABBC 于 B，四边形 BEPF 是矩形 PE=BF，PF=BE在 RtABC 中，BC=90 米，

19、ACB=60，AB=BCtan60=903（米） 建筑物的高度为 903米 （2）设 PE=x 米，则 BF=PE=x 米，在 RtPCE 中，tanPCD= = 1 2， CE=2x在 RtPAF 中，APF=45，AF=ABBF=903x，PF=BE=BC+CE=90+2x 又AF=PF，903x=90+2x，解得：x=30330， 答：人所在的位置点 P 的铅直高度为（30330）米 9. 【解析】 ：在 RtCAD 中，tanCAD= , 则 AD= 31 5 3，在 RtCBD 中，CBD=45,BD=CD,AD=AB+BD, 5 3=CD+30,CD=45 答：这座灯塔的高度 CD

20、 约为 45m 10 【解答】 （1）延长 PQ 交直线 AB 于点 E，根据直角三角形两锐角互余求得即可； （2）设 PEx 米，在直角APE 和直角BPE 中，根据三角函数利用 x 表示出 AE 和 BE，根据 ABAEBE 即可 列出方程求得 x 的值，再在直角BQE 中利用三角函数求得 QE 的长，则 PQ 的长度即可求解 解：延长 PQ 交直线 AB 于点 E，如图所示： （1）BPQ906030； （2）设 PEx 米在直角APE 中，A45，则 AEPEx 米；PBE60，BPE30， 在直角BPE 中，BE 3 3 PE 3 3 x 米，ABAEBE9 米，则 x 3 3 x9

21、，解得：x27:93 2 则 BE9:93 2 米 在直角BEQ 中，QE 3 3 BE9:33 2 米PQPEQE27:93 2 9:33 2 9+33（米） 答：电线杆 PQ 的高度为（9+33）米 11 【解析】根据题意可得 ADBC，再根据特殊角三角函数即可求出该建筑物的高度 BC 根据题意可知：ADBC，在 RtABD 中，BAD45，BDAD110，在 RtADC 中，DAC60， tan60 ，即3 = ;110 110 ，解得 BC110（3+1）300（米） 答：该建筑物的高度 BC 约为 300 米 12【解析】据题意得 tanB1 3，MNAD，AB，tanA 1 3，D

22、EAD，在 RtADE 中，tanA ， AD9，DE3，又DC0.5，CE2.5，CFAB，FCE+290，DEAD， A+CEF90，AFCE，tanFCE1 3, 在 RtCEF 中，CE 2EF2+CF2,设 EFx，CF3x（x0），CE2.5，代入得（5 2） 2x2+（3x）2 解得 x 10 4 （如果前面没有“设 x0”，则此处应“x 10 4 ，舍负”）， CF3x310 4 2.4，该停车库限高 2.4 米 13 【详解】 （1）由已知得 AP=BP=1 2AB=16m， ，在 RtAPE 中，sinAEP= ， AE= = 16 18 16 0.3 53， 答：眼睛 E

23、 与显示屏顶端 A 的水平距离 AE 约为 53km； （2）如图，过点 B 作 BFAC 于点 F，EAB+BAF90，EAB+AEP90，BAFAEP18， 在 RtABF 中，AFABcosBAF32cos18320.928.8， BFABsinBAF32sin18320.39.6， BFCD，CBFBCD30，CF=BFtanCBF=9.6tan305.44， ACAF+CF28.8+5.4434（cm） 答：显示屏顶端 A 与底座 C 的距离 AC 约为 34cm 14.【解析】如图，过点 D 作 DEAB，垂足为 E.则AED=BED=90.由题意可知，BC=78，ADE=48 ,

24、 ACB=59 , ABC=90， DCB=90.可得四边形BCDE为矩形.DE=BC=78， DC=EB.在RtABC中，tan AB ACB BC ， tan5878 1.60 125ABBC.在 RtAED 中，tan AE ADE ED ，tan48AEED. tan58EBABAEBC 78 1.60 78 1.11 38.38DCEB. 答：甲建筑物的高度AB约为125m，乙建筑物的高度DC约为38m. 15. 【解析】过B作BHCD于H,在Rt BDH中， 3 tan37 4 DH BH ,则可设3DHx米，4BHx米, 由题可得四边形ABHC是矩形，28CHAB米，4ACBHx米，则328CDx（）米, 在Rt ACD中， 3285 tan51 44 x x ,解得14x 570CDx（米）, 答：CD楼的高度是 70 米.