吉林省长春汽车经济技术开发区2020-2021学年九年级上第一次月考数学试卷（含答案解析）

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1、2020-2021 学年学年吉林省长春市朝阳区吉林省长春市朝阳区九年级（上）第一次月考数学试卷九年级（上）第一次月考数学试卷 一一.选择题（本大题共选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1一元二次方程 x2+3x+20 的两个根为（ ） A1，2 B1，2 C1，2 D1，2 2若 a：b2：3，则下列各式中正确的式子是（ ） A2a3b B3a2b C D 3如图，在地面上的点 A 处测得树顶 B 的仰角为 度，AC7 米，则树高 BC 为（ ）米 A7tan B C7sin D7cos 4如图利用标杆 BE 测量建筑物的高度已知标杆 BE 高 1

2、.2m，测得 AB1.6mBC12.4m则建筑物 CD 的高是（ ） A9.3m B10.5m C12.4m D14m 5为了研究特殊四边形，李老师制作了这样一个教具（如图 1） ：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框 架 ABCD，并在 A 与 C、B 与 D 两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定课上，李老师右手拿住木条 BC， 用左手向右推动框架至 ABBC（如图 2） 观察所得到的四边形，下列判断正确的是（ ） ABCA45 BBD 的长度变小 CACBD DACBD 6下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A B C D 7如图，以点 O 为位似中心，将ABC 放大得到DEF若 ADOA，

3、则ABC 与DEF 的面积之比为 （ ） A1：2 B1：4 C1：5 D1：6 8在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点 O 重合，顶点 A，B 恰好分别落在 函数 y（x0） ，y（x0）的图象上，则 sinABO 的值为（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9一元二次方程 x23x+10 的根的判别式的值是 10如图，在平面直角坐标系 xOy 中，ABC 与ABC顶点的横、纵坐标都是整数图中的小方格 都是边长为 1 的正方形，若ABC 与ABC是位似图形，则位似中心的坐标是

4、11已知两相似三角形对应高的比为 3：10，且这两个三角形的周长差为 56cm，则较小的三角形的周长 为 12如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点 A、B、 C 都在横格线上若线段 AB6cm，则线段 BC cm 13如图，在 54 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点 上，则 sinBAC 的值为 14如图，直线 y2x+4 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，以 OB 为边在 y 轴右侧作等边OBC，将点 C 向左平移，使其对应点 C恰好落在直线 AB 上，则点 C的坐标为 三、解答题（本大题共

5、三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 78 分）分） 15 （1）解方程： （2x5）29 （2）解方程： （x3）22（x3） 16如图所示，某幼儿园有一道长为 16 米的墙，计划用 32 米长的围栏靠墙围成一个面积为 120 平方米的 矩形草坪 ABCD求该矩形草坪 BC 边的长 17图、图均为 44 的正方形网格，线段 AB、BC 的端点均在格点上按要求在图、图中以 AB 和 BC 为边各画一个四边形 ABCD 要求：四边形 ABCD 的顶点 D 在格点上，且有两个角相等（一组或两组角相等均可） ；所画的两个四边 形不全等 18某校七、八年级各有学生 400 人，为了解这两个年级

6、普及安全教育的情况，进行了抽样调查，过程如 下 选择样本， 收集数据从七、 八年级各随机抽取 20 名学生， 进行安全教育考试， 测试成绩 （百分制） 如下： 七年级 85 79 89 83 89 98 68 89 79 59 99 87 85 89 97 86 89 90 89 77 八年级 71 94 87 92 55 94 98 78 86 94 62 99 94 51 88 97 94 98 85 91 分组整理，描述数据 （1）按如下频数分布直方图整理、描述这两组样本数据，请补全八年级 20 名学生安全教育频数分布直 方图； 分析数据，计算填空 （2）两组样本数据的平均数、中位数、众

7、数、优秀率如下表所示，请补充完整； 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 85.3 88 89 20% 八年级 85.4 得出结论，说明理由 （3）估计八年级成绩优秀的学生人数约为 人 （4）整体成绩较好的年级为 ，理由为 （至少从两个不同的角度说明合理性） 19如图，飞机 A 在地面目标 B 的正上方 1000 米处，飞行员测得另一地面目标 C 的俯角为 30，求 B，C 之间的距离（精确到 0.1 米） （参考数据：sin30，cos30，tan30，1.7321，sin60，cos60， tan60） 20如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E 是 AD 的中

8、点，点 F，G 在 AB 上，EFAB，OG EF （1）求证：四边形 OEFG 是矩形； （2）若 AD10，EF4，求 OE 和 BG 的长 21为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市对居民用水实行阶梯水价居民家庭每月用水量划分 为三个阶梯，一、二、三级阶梯用水的单价之比等于 1：1.5：2如图折线表示实行阶梯水价后每月水费 y（元）与用水量 x（m3）之间的函数关系其中线段 AB 表示第二级阶梯时 y 与 x 之间的函数关系 （1）写出点 B 的实际意义； （2）求线段 AB 所在直线的表达式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）某户 5 月份按照阶梯水价应缴水费 108 元，其相

9、应用水量为多少立方米？ 22 【操作发现】 （1）如图 1，在OAB 和OCD 中，OAOB，OCOD，AOBCOD40连接 AC，BD 交于点 M AC 和 BD 的数量关系： ； AMB 的度数为 【类比探究】 （2）如图 2，在OAB 和OCD 中，AOBCOD90，OABOCD30连 接 AC 交 BD 的延长线于点 M，计算的值； 【实际应用】 （3）在（2）的条件下，AMB 23如图，在ABC 中，CDAB 于点 D，ADCD2，BD4，点 E 是线段 BD 的中点，点 P 从点 A 出发，沿折线 ACCB 向终点 B 运动，点 P 在边 AC 上的速度为每秒个单位长度，点 P 在

10、边 BC 上的 速度为每秒个单位长度，设点 P 的运动时间为 t（秒） （1）PC （用含 t 的代数式表示） ； （2）求出点 P 到直线 AB 的距离（用含 t 的代数式表示） ； （3）当点 P 在边 BC 上时，在BCD 的边上（不包括顶点）存在点 H，使四边形 DEPH 为轴对称图形， 直接写出此时线段 CP 的长 24我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条 边叫做这个三角形的“等底” （1）概念理解： 如图 1， 在ABC 中， AC6， DC3， ACB30， 试判断ABC 是否是 “等高底” 三角形 （填 “是”或“否” ） （

11、2）问题探究： 如图 2， ABC 是 “等高底” 三角形， BC 是 “等底” ， 作ABC 关于 BC 所在直线的对称图形得到ABC， 连接 AA交直线 BC 于点 D若点 B 是AAC 的重心，求的值 （3）应用拓展： 如图 3，已知 11l2，11与 12之间的距离为 2， “等高底”ABC 的“等底”BC 在直线 l1上，点 A 在直 线 l2上，有一边的长是 BC 的倍将ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 45得到ABC，AC 所在 直线交 l2于点 D，直接写出 CD 的值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题） 1一元二次方程 x2+3

12、x+20 的两个根为（ ） A1，2 B1，2 C1，2 D1，2 【分析】利用因式分解法解方程 【解答】解： （x+1） （x+2）0， x+10 或 x+20， 所以 x11，x22 故选：B 2若 a：b2：3，则下列各式中正确的式子是（ ） A2a3b B3a2b C D 【分析】根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案 【解答】解：A、2a3ba：b3：2，故选项错误； B、3a2ba：b2：3，故选项正确； C、b：a2：3，故选项错误； D、a：b4：3，故选项错误 故选：B 3如图，在地面上的点 A 处测得树顶 B 的仰角为 度，AC7 米，则树高 BC 为（ ）米 A7t

13、an B C7sin D7cos 【分析】根据题意可知 BCAC，在 RtABC 中，AC7 米，BAC，利用三角函数即可求出 BC 的 高度 【解答】解：BCAC，AC7 米，BAC， tan， BCACtan7tan（米） 故选：A 4如图利用标杆 BE 测量建筑物的高度已知标杆 BE 高 1.2m，测得 AB1.6mBC12.4m则建筑物 CD 的高是（ ） A9.3m B10.5m C12.4m D14m 【分析】先证明ABEACD，则利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质求 出 CD 即可 【解答】解：EBCD， ABEACD， ，即， CD10.5（米） 故选：B 5为了研究特殊

14、四边形，李老师制作了这样一个教具（如图 1） ：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框 架 ABCD，并在 A 与 C、B 与 D 两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定课上，李老师右手拿住木条 BC， 用左手向右推动框架至 ABBC（如图 2） 观察所得到的四边形，下列判断正确的是（ ） ABCA45 BBD 的长度变小 CACBD DACBD 【分析】由矩形的定义得出四边形 ABCD 是矩形，由矩形的性质即可得出结论 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，ABBC， 四边形 ABCD 是矩形， ACBD； 故选：C 6下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A B C D 【分析】检查最简二次

15、根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是 【解答】解：A、，故 A 不符合题意； B、，故 B 不符合题意； C、，故 C 不符合题意； D、是最简二次根式，故 D 符合题意 故选：D 7如图，以点 O 为位似中心，将ABC 放大得到DEF若 ADOA，则ABC 与DEF 的面积之比为 （ ） A1：2 B1：4 C1：5 D1：6 【分析】利用位似图形的性质首先得出位似比，进而得出面积比 【解答】解：以点 O 为位似中心，将ABC 放大得到DEF，ADOA， OA：OD1：2， ABC 与DEF 的面积之比为：1：4 故选：B 8在平面直角坐标系中，将一块直角三角板

16、如图放置，直角顶点与原点 O 重合，顶点 A，B 恰好分别落在 函数 y（x0） ，y（x0）的图象上，则 sinABO 的值为（ ） A B C D 【分析】点 A，B 落在函数 y（x0） ，y（x0）的图象上，根据反比例函数的几何意义，可 得直角三角形的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，而相似比恰好是直角三角形 AOB 的两条 直角边的比，再利用勾股定理，可得直角边与斜边的比，从而得出答案 【解答】解：过点 A、B 分别作 ADx 轴，BEx 轴，垂足为 D、E， 点 A 在反比例函数 y（x0）上，点 B 在 y（x0）上， SAOD，SBOE2， 又AOB90 AODOBE，

17、 AODOBE， （）2， 设 OAm，则 OB2m，AB， 在 RtAOB 中，sinABO 故选：D 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 9一元二次方程 x23x+10 的根的判别式的值是 5 【分析】根据根的判别式等于 b24ac，代入求值即可 【解答】解：a1，b3，c1， b24ac（3）24115， 故答案为：5 10如图，在平面直角坐标系 xOy 中，ABC 与ABC顶点的横、纵坐标都是整数图中的小方格 都是边长为 1 的正方形，若ABC 与ABC是位似图形，则位似中心的坐标是 （8，0） 【分析】根据位似图形的主要特征：每对位似对应点与位似中心共线画图解答 【解答】解：

18、直线 AA与直线 BB的交点坐标为（8，0） ， 所以位似中心的坐标为（8，0） 故答案为： （8，0） 11已知两相似三角形对应高的比为 3：10，且这两个三角形的周长差为 56cm，则较小的三角形的周长为 24cm 【分析】根据相似三角形的性质求出相似三角形周长的比，根据题意列出方程，解方程即可 【解答】解：相似三角形对应高的比为 3：10， 相似三角形的相似比为 3：10， 相似三角形周长的比为 3：10， 设较小的三角形的周长为 3x，则较大的三角形的周长为 10 x， 由题意得，10 x3x56， 解得，x8， 则 3x24， 故答案为 24cm 12如图，练习本中的横格线都平行，且

19、相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点 A、B、 C 都在横格线上若线段 AB6cm，则线段 BC 18 cm 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可 【解答】解：BDCE， ，即， 解得，AC24， BCACAB18， 故答案为：18 13如图，在 54 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点 上，则 sinBAC 的值为 【分析】过点 C 作 CDAB 于点 D，则在 RtADC 中，先由勾股定理得出 AC 的长，再按照正弦函数的 定义计算即可 【解答】解：如图，过点 C 作 CDAB 于点 D， 则ADC90，由勾

20、股定理得： AC5， sinBAC 故答案为： 14如图，直线 y2x+4 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，以 OB 为边在 y 轴右侧作等边OBC，将点 C 向左平移，使其对应点 C恰好落在直线 AB 上，则点 C的坐标为 （1，2） 【分析】先求出直线 y2x+4 与 y 轴交点 B 的坐标为（0，4） ，再由 C 在线段 OB 的垂直平分线上，得出 C 点纵坐标为 2，将 y2 代入 y2x+4，求得 x1，即可得到 C的坐标为（1，2） 【解答】解：直线 y2x+4 与 y 轴交于 B 点， x0 时，得 y4， B（0，4） 以 OB 为边在 y 轴右侧作等边三角形 OBC

21、， C 在线段 OB 的垂直平分线上， C 点纵坐标为 2 将 y2 代入 y2x+4，得 22x+4， 解得 x1 故答案为： （1，2） 三解答题三解答题 15 （1）解方程： （2x5）29 （2）解方程： （x3）22（x3） 【分析】 （1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可 【解答】解： （1） （2x5）29 开方得：2x53， 解得：x14，x21； （2）移项得： （x3）22（x3）0， （x3） （x32）0， x30，x320， 解得：x13，x25 16如图所示，某幼儿园有一道长为

22、16 米的墙，计划用 32 米长的围栏靠墙围成一个面积为 120 平方米的 矩形草坪 ABCD求该矩形草坪 BC 边的长 【分析】可设矩形草坪 BC 边的长为 x 米，则 AB 的长是米，根据长方形的面积公式列出一元二次 方程求解 【解答】解：设 BC 边的长为 x 米，则 ABCD米， 根据题意得：x120， 解得：x112，x220， 2016， x220 不合题意，舍去， 答：矩形草坪 BC 边的长为 12 米 17图、图均为 44 的正方形网格，线段 AB、BC 的端点均在格点上按要求在图、图中以 AB 和 BC 为边各画一个四边形 ABCD 要求：四边形 ABCD 的顶点 D 在格点

23、上，且有两个角相等（一组或两组角相等均可） ；所画的两个四边 形不全等 【分析】过 C 画 AB 的平行线，过 A 画 BC 的平行线，两线交于一点 D，根据平行四边形的判定定理 可得四边形 ABCD 是平行四边形，由平行四边形的性质可知CBACDA，BADBCD； 在网格内画 CDCB，ADAB，则BCD 和BAD 是等腰三角形，故CDBCBD，ADB ABD，由此可得CDACBA 【解答】解：如图所示： 18某校七、八年级各有学生 400 人，为了解这两个年级普及安全教育的情况，进行了抽样调查，过程如 下 选择样本， 收集数据从七、 八年级各随机抽取 20 名学生， 进行安全教育考试， 测

24、试成绩 （百分制） 如下： 七年级 85 79 89 83 89 98 68 89 79 59 99 87 85 89 97 86 89 90 89 77 八年级 71 94 87 92 55 94 98 78 86 94 62 99 94 51 88 97 94 98 85 91 分组整理，描述数据 （1）按如下频数分布直方图整理、描述这两组样本数据，请补全八年级 20 名学生安全教育频数分布直 方图； 分析数据，计算填空 （2）两组样本数据的平均数、中位数、众数、优秀率如下表所示，请补充完整； 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 85.3 88 89 20% 八年级 85.4 91

25、.5 94 55% 得出结论，说明理由 （3）估计八年级成绩优秀的学生人数约为 220 人 （4）整体成绩较好的年级为 八年级 ，理由为 八年级的中位数和优秀率都高于七年级 （至少 从两个不同的角度说明合理性） 【分析】 （1）由收集的数据即可得；根据题意不全频数分布直方图即可； （2）根据众数和中位数和优秀率的定义求解可得； （3）根据题意列式计算即可； （4）八年级的中位数和优秀率都高于七年级即可的结论 【解答】解： （1）补全八年级 20 名学生安全教育频数分布直方图如图所示， （2）八年级 20 名学生安全教育考试成绩按从小到大的顺序排列为：51 55 62 71 78 85 86 8

26、7 88 91 92 94 94 94 94 94 97 98 98 99 中位数91.5 分； 94 分出现的次数最多，故众数为 94 分； 优秀率为：100%55%， 故答案为：91.5，94，55%； （3）40055%220（人） ， 答：八年级成绩优秀的学生人数约为 220 人； 故答案为：220； （4）整体成绩较好的年级为八年级，理由为八年级的中位数和优秀率都高于七年级 故答案为：八年级，八年级的中位数和优秀率都高于七年级 19如图，飞机 A 在地面目标 B 的正上方 1000 米处，飞行员测得另一地面目标 C 的俯角为 30，求 B，C 之间的距离（精确到 0.1 米） （参考

27、数据：sin30，cos30，tan30，1.7321，sin60，cos60， tan60） 【分析】根据平行线的性质可求出C 的度数，再由特殊角的直角三角形的性质即可解答 【解答】解：如图所示： ADBC， CDAC30， ABBC， ABC90， BCAB10001732.1（米） ， 即 B，C 之间的距离约为 1732.1 米 20如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E 是 AD 的中点，点 F，G 在 AB 上，EFAB，OG EF （1）求证：四边形 OEFG 是矩形； （2）若 AD10，EF4，求 OE 和 BG 的长 【分析】 （1）根据菱形的性质得出

28、 OBOD，再由点 E 是 AD 的中点，所以，AEDE，进而判断出 OE 是三角形 ABD 的中位线，得到 AEOEAD，推出 OEFG，求得四边形 OEFG 是平行四边形，根据 矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到 BDAC，ABAD10，得到 OEAEAD5；由（1）知，四边形 OEFG 是矩形，求得 FGOE5，根据勾股定理得到 AF3，于是得到结论 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是菱形， OBOD， E 是 AD 的中点， OE 是ABD 的中位线， OEFG， OGEF， 四边形 OEFG 是平行四边形， EFAB， EFG90， 平行四边形 OEFG 是

29、矩形； （2）四边形 ABCD 是菱形， BDAC，ABAD10， AOD90， E 是 AD 的中点， OEAEAD5； 由（1）知，四边形 OEFG 是矩形， FGOE5， AE5，EF4， AF3， BGABAFFG10352 21为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市对居民用水实行阶梯水价居民家庭每月用水量划分 为三个阶梯，一、二、三级阶梯用水的单价之比等于 1：1.5：2如图折线表示实行阶梯水价后每月水费 y（元）与用水量 x（m3）之间的函数关系其中线段 AB 表示第二级阶梯时 y 与 x 之间的函数关系 （1）写出点 B 的实际意义； （2）求线段 AB 所在直线的表达式，并

30、写出自变量 x 的取值范围； （3）某户 5 月份按照阶梯水价应缴水费 108 元，其相应用水量为多少立方米？ 【分析】 （1）根据题意和函数图象中的数据，可以写出点 B 的实际意义； （2）根据函数图象中的数据，可以求得点 A 的坐标，然后即可得到线段 AB 所在直线的表达式，并写出 自变量 x 的取值范围； （3）根据题意和函数图象中的数据，可以得到该用户超过 25m3，然后即可计算出其相应用水量为多少 立方米 【解答】解： （1）由图可得， 点 B 的实际意义是当用水 25m3时，所交水费为 90 元； （2）设一级阶梯用水的单价为 x 元/m3，则二级、三级阶梯的用水单价分别为 1.5

31、x 元/m3，2x 元/m3， 设点 A 的坐标为（a，45） ， 则， 解得， 即点 A 的坐标为（15，45） ， 设线段 AB 所在直线的表达式为 ykx+b， ， 解得， 即线段 AB 所在直线的表达式为 y4.5x（15x25） ； （3）10890， 某户 5 月份的用水量超过 25m3， 设该用户 5 月份用水量为 m 立方米， 90+（m25）32108， 解得 m28， 答：其相应用水量为 28 立方米 22 【操作发现】 （1）如图 1，在OAB 和OCD 中，OAOB，OCOD，AOBCOD40连接 AC，BD 交于点 M AC 和 BD 的数量关系： ACBD ； AM

32、B 的度数为 40 【类比探究】 （2）如图 2，在OAB 和OCD 中，AOBCOD90，OABOCD30连 接 AC 交 BD 的延长线于点 M，计算的值； 【实际应用】 （3）在（2）的条件下，AMB 90 【分析】 （1）利用 SAS 定理证明COADOB，根据全等三角形的性质得到 ACBD； 根据全等三角形的性质得到CAODBO，根据三角形内角和定理计算，得到答案； （2）证明AOCBOD，根据相似三角形的性质解答即可； （3）根据全等三角形的性质、三角形内角和定理计算即可 【解答】解： （1）如图 1，AOBCOD40， AOB+AODCOD+AOD，即COADOB， 在COA 和

33、DOB 中， ， COADOB（SAS） ， ACBD； COADOB， CAODBO， AOB40， OAB+ABO140， 在AMB 中，AMB180（CAO+OAB+ABD）180（DBO+OAB+ABD）180 14040， 故答案为：ACBD；40； （2）如图 2，AOBCOD90， AOB+AODCOD+AOD，即COADOB， 在 RtCOD 中，DCO30，DOC90， tan30， 同理得：tan30， ， 又COADOB， AOCBOD， ； （3）AOCBOD， CAODBO， 在AMB 中，AMB180（MAB+ABM）180（OAB+ABM+DBO）90， 故答案为

34、：90 23如图，在ABC 中，CDAB 于点 D，ADCD2，BD4，点 E 是线段 BD 的中点，点 P 从点 A 出发，沿折线 ACCB 向终点 B 运动，点 P 在边 AC 上的速度为每秒个单位长度，点 P 在边 BC 上的 速度为每秒个单位长度，设点 P 的运动时间为 t（秒） （1）PC 2t 或（t2） （用含 t 的代数式表示） ； （2）求出点 P 到直线 AB 的距离（用含 t 的代数式表示） ； （3）当点 P 在边 BC 上时，在BCD 的边上（不包括顶点）存在点 H，使四边形 DEPH 为轴对称图形， 直接写出此时线段 CP 的长 【分析】 （1）分两种情况，由路程速

35、度时间可求解； （2）分两种情况： 当 P 在边 AC 上时，如图 1，根据APG 是等腰直角三角形，可得 PGt； 当 P 在边 BC 上时，如图 2，根据三角函数 sinB，可得 PG 的长； （3）分 4 种情况： 如图 3，当四边形 DEPH 是矩形时； 如图 4，当四边形 DEPH 是等腰梯形时； 如图 5，过 D 作 DPBC 于 P，过 E 作 EHPD，交 CD 于 H，如图 6，过 E 作 EPBC 于 P，在 BC 上取点 H，使 PHEP，连接 DH，和是筝形；分别求出各情况的 CP 的长即可 【解答】解： （1）ADCD2， AC2， 当点 P 在 AC 上时，APt，

36、 CP2t， 当点 P 在 BC 上时， 2， CP（t2） ， 综上所述：CP2t 或（t2） ， 故答案为：2t 或（t2） ； （2）过 P 作 PGAB 于 G， 分两种情况： 当 P 在边 AC 上时，如图，过点 P 作 PGAB 于 G， RtADC 中，ADCD2， A45， APG 是等腰直角三角形， 由题意得：APt， AGPGt， 即点 P 到直线 AB 的距离是 t； 当 P 在边 BC 上时，如图，过点 P 作 PGAB 于 G， 由勾股定理得：AC2，BC2， BP2（t2）4t， sinB， ， PG4t， 即点 P 到直线 AB 的距离是 4t， 综上所述：点 P

37、 到直线 AB 的距离是 t 或 4t； （3）分 4 种情况： 如图， 当四边形 DEPH 是矩形时，P 是 BC 的中点， CP； 如图， BDBH4，BEPB2，则 DHPE， 四边形 DEPH 是等腰梯形， 此时 CP22； 如图，过 D 作 DPBC 于 P，过 E 作 EHPD，交 CD 于 H， EHBC， E 是 BD 的中点， EH 是 PD 的中垂线， PHDH，PEDE， 四边形 DEPH 为轴对称图形， SCDBCDBDBCPD， 242PD， PD， 由勾股定理得：CP； 如图，过 E 作 EPBC 于 P，在 BC 上取点 H，使 PHEP，连接 DH，过 H 作

38、HGCD 于 G， RtEPB 中，BE2， EPHP，PB2EP， GHBD， CGHCDB， ， ， GH， CG， DG2， 由勾股定理得：DH2DE， 四边形 DEPH 为轴对称图形， 此时 CPCH+HP； 综上所述，CP 的长为或 22 或或 24我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条 边叫做这个三角形的“等底” （1）概念理解： 如图 1， 在ABC 中， AC6， DC3， ACB30， 试判断ABC 是否是 “等高底” 三角形 是 （填 “是”或“否” ） （2）问题探究： 如图 2， ABC 是 “等高底” 三角形， BC

39、是 “等底” ， 作ABC 关于 BC 所在直线的对称图形得到ABC， 连接 AA交直线 BC 于点 D若点 B 是AAC 的重心，求的值 （3）应用拓展： 如图 3，已知 11l2，11与 12之间的距离为 2， “等高底”ABC 的“等底”BC 在直线 l1上，点 A 在直 线 l2上，有一边的长是 BC 的倍将ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 45得到ABC，AC 所在 直线交 l2于点 D，直接写出 CD 的值 【分析】 （1）过 A 作 ADBC 于 D，则ADC 是直角三角形，ADC90，依据ACB30，AC 6，可得 ADAC3，进而得到 ADBC3，即ABC 是“等高底”三角

40、形 （2）依据ABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底” ，可得 ADBC，依据ABC 关于 BC 所在直线的 对称图形是ABC，点 B 是AAC 的重心，即可得到 BC2BD，设 BDx，则 ADBC2x，CD 3x，由勾股定理得 ACx，即可得到 （3）当 ABBC 时，画出图形分两种情况分别求得 CDx或 CDAC2；当 ACBC 时，画出图形分两种情况讨论，求得 CDABBC2 【解答】解： （1）ABC 是“等高底”三角形 理由：如图 1，过 A 作 ADBC 于 D，则ADC 是直角三角形，ADC90， ACB30，AC6， ADAC3， ADBC3， 即ABC 是“等高底”三角

41、形 故答案为：是 （2）如图 2，ABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底” ， ADBC， ABC 关于 BC 所在直线的对称图形是ABC， ADC90， 点 B 是AAC 的重心， BC2BD， 设 BDx，则 ADBC2x，CD3x， 由勾股定理得 ACx， （3）当 ABBC 时， 如图 3，作 AEBC 于 E，DFAC 于 F， “等高底”ABC 的“等底”为 BC，l1l2，l1与 l2之间的距离为 2，ABBC， BCAE2，AB2， BE2，即 EC4， AC2， ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 45得到ABC， DCF45， 设 DFCFx， l1l2， ACEDAF， ，即 AF2x， AC3x2， x，CDx 如图 4，此时ABC 等腰直角三角形， ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 45得到ABC， ACD 是等腰直角三角形， CDAC2 当 ACBC 时， 如图 5，此时ABC 是等腰直角三角形， ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 45得到ABC， ACl1， CDABBC2； 如图 6，作 AEBC 于 E，则 AEBC， ACBCAE， ACE45， ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 45，得到ABC 时，点 A在直线 l1上， ACl2，即直线 AC 与 l2无交点， 综上所述，CD 的值为或 2或 2