2021届江西省上饶市六校高三下学期文科数学第一次联考试题（含答案）

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1、 江西省上饶市六校 2021 届高三下学期 第一次联考（文）试题 考试时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 已 知 全 集U R， 若| 06AxxN， 2 |340Bxxx， 则 U AC B（ ） A(0,4 B(0,1 C1 D1,2,3 2设复数 2021 1+i 2-i z，则 z 的虚部是（ ） A 3 5 B 3 i 5 C 1 5 D 1 i 5 3已知 03 0.20.3

2、0.2,log0.3,log7abc ，则（ ） Aabc Bacb Cbca Dcba 4如图所示的图案是由两个等边三角形构成的六角星，其中这两个等边三角形的三边分别 对应平行，且各边都被交点三等分若往该图案内投掷一点，则该点落在图中空白处（非阴影 部分）的概率为（ ） A 1 4 B 1 2 C 2 3 D 5 6 5若椭圆 22 : 1 5 xy C m 的一个焦点坐标为( 1,0)，则实数 m 的值为（ ） A9 B6 C4 D1 6秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数书九章 中提出的多项式求值的秦九韶算法， 至今仍是比较先进的算法 如图所示的程序框图给

3、出了 利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 n，x 的值分别为 4，3，则输出 v 的值为 （ ） A61 B183 C18 D9 7设 l，m 是两条不同的直线，是一个平面，以下命题正确的是（ ） A若/ / ,/ /lm，则/ /lm B若/ / ,/ /lml，则/ /m C若,lml，则/ /m D若, / /llm，则m 8 在等差数列 n a中， 14 11,5aa 记 12 (1,2,) nn Ta aa n， 则数列 n T（ ） A有最大项，有最小项 B有最大项，无最小项 C无最大项，有最小项 D无最大项，无最小项 9若实数 x，y 满足约束条件 210 |1|0 x

4、y xy ，则 22 69zxyx的最小值是（ ） A2 B2 C4 D 1 2 10 在ABC中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 且点 D 满足2,2CDDA BD， 若 1 cos 4 ABC，则2ca的最大值为（ ） A 12 5 5 B 6 5 5 C5 D3 5 11已知 1 F、 2 F分别是双曲线 22 22 :1 xy C ab 的左、右焦点，双曲线 C 的右支上一点 Q 满 足 1 |OQOF，直线 1 FQ与该双曲线的左支交于 P 点，且 P 恰好为线段 1 FQ上靠近 1 F的 三等分点，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ） A 1 2 yx B2y

5、x C2yx D 2 2 yx 12已知函数 22 ( )(31)(41)(1)(1) xx f xaaeaxex，若函数( )f x图像与 x 轴 有 4 个不同的交点，则实数 a 的取值范围为（ ） A 1 2 , 3 3 B 1 2 , 2 3 C 1 11 2 , 3 22 3 D 11 2 0, 33 3 二二、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 已知命题 “存在xR， 使 2 20axx” 是假命题， 则实数 a 的取值范围是_ 14已知向量( 3,1),( 3, 3 3)ABAC ，则AB在AC方向上的射影为_ 15直三

6、棱柱 111 ABCABC内有一个体积为 V 的球，若ABC是两直角边长分别为 6，8 的直角三角形，侧棱 1 6AA ，则 V 的最大值为_ 16 若将函数( )cossincossin0,| 662 f xxx 的图像向右 平移 6 个单位得到( )g x图像，且( )g x图像过点 1 0, 2 ，若关于 x 的方程( )1g x 在 , 6 上恰有一个实数解，则的取值范围是_ 三、 解答题： 共三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考

7、生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （12 分）某研究部门为了研究气温变化与患流感人数多少之间的关系，在某地随机对 50 人进行了问卷调查得到如下列表： （附 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ） 高于 22.5 不高于 22.5 合计 患流感 20 25 不患流感 15 合计 50 （1）对上述22列联表进行填空，并判断是否有 99%的把握认为患流感与温度有关，说明 你的理由； （2）为了了解患流感与年龄的关系，已知某地患有流感的老年、中年、青年的人数分别为 108 人

8、，72 人，36 人按分层抽样的方法随机抽取 6 人进行问卷调查，再从 6 人中随机抽 取 2 人进行调查结果对比，求这 2 人中至少一人是中年人的概率 2 P KK 0.10 0.05 0.025 0.01 K 2.701 3.841 5.024 6.635 18 （12 分）设数列 n a的前 n 项和为 n S，若满足 1 32(1) nn SSn ，且 1 2a （1）证明：数列1 n a 是等比数列； （2）判断数列 1 23n nn a a 的前 n 项和 n T与 1 2 的大小关系，并说明理由 19（12 分） 如图， 在三棱锥PABC中，2ABBCCA，3PAPC，2 2PB

9、 ， O 为AC的中点 （1）证明：平面ABC 平面PBO； （2）求直线PA与平面ABC所成角的正弦值 20 （12 分）已知函数( )ln()f xxax aR （1）求函数( )f x的单调区间； （2）当1a 时，( )( )(2) x g xf xxe，记函数( )yg x在 1 ,1 4 上的最大值为 m， 证明：3m 21 （12 分）在平面直角坐标系xOy中，M 为直线3yx上的动点，过点 M 作抛物线 2 :2C xy的两条切线MA，MB，切点分别为 A，B，N 为AB的中点 （1）证明：MNx轴； （2）直线AB是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由 （

10、二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分 选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 22在平面直角坐标系xOy中，曲线 1: 20Cxy，曲线 2 cos : 1sin x C y （为参 数） ，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 1 C， 2 C的极坐标方程； （2）射线:0,0 2 l 分别交曲线 1 C， 2 C于 M，N 两点，求 | | ON OM 的最 大值 选修 45：不等式选讲（10 分） 23设函数( ) |31

11、| 1f xx，( ) |31|1| 2g xxx （1）求不等式( )2f xx的解集； （2）若存在 x 使不等式2 ( )( )|f xg xa x成立，求实数 a 的取值范围 【参考答案】 一一、单项选择题（本大题共单项选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A A B C B D C B A B C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分 ）分 ） 13 1 , 8 143 15 32 3 16 4 10 , 3

12、3 三、解答题（三、解答题（17 题题 10 分，分，18-22 题，每题题，每题 12 分，共分，共 70 分解答应写出文字说明，证明过分解答应写出文字说明，证明过 程或演算步骤 ）程或演算步骤 ） 17解： （1） 高于 22.5 不高于 22.5 合计 患流感 20 5 25 不患流感 10 15 25 合计 30 20 50 2 2 50(20 155 10) 8.3336.635 25 25 2030 k ，所以有 99%的把握认为患流感与气温有关 （2）按照分层抽样的方法随机抽取 6 人，老年、中年、青年分别抽取的人数为 3 人，2 人， 1 人，记 3 个老年人为 123 ,A

13、A A，2 个中年人为 12 ,B B，1 个青年人为 1 C， 抽取的全部结果为 121311121123 ,A AA AA BA BA CA A， 212221313231121121 ,A BA BA CA BA BA CB BB CB C 共 15 种至少 1 人是中年人包含的结果共 9 种 所以至少 1 人是中年人的概率为 93 155 p 18.解： （1）由题意 1 32(1) nn SSn 可得 1 32 ,(2) nn SSn n 两式相减， 得 1 32 nn aa ，2n ， 由 21 34SS得 2 8a ，满足 21 32aa， 所以 1 32 nn aa 对于任意

14、n 为正整数都符合， 1 133 nn aa ，即 1 131 nn aa ， 又 1 130a ，故数列1 n a 是以 3 为首项，3 为公比的等比数列； （2）由（1）可知13n n a ，即31 n n a ， 故 11 1 232311 313131 31 nn nnnn nn a a ， 22311 111111111 3 131313131312312 n nnn T . 19.解： （1）因为ABC为正三角形，所以ACBO； 因为PAPC，所以ACPO 又POBOO，,PO BO 平面BOP，所以AC 平面BOP 因为PB 平面BOP，所以ACPB，所以平面ABC 平面PBO.

15、 （2）过点 P 作BO的垂线，垂足为 H，连结AH 因为AC 平面BOP，AC 平面ABC，所以平面BOP 平面ABC， 又平面BOP平面ABCBO，PH 平面BOP，故PH 平面ABC 所以直线PA与平面ABC所成角为PAH. 在BOP中，2,3,2 2POBOPB， 由余弦定理得 2386 cos 4223 POB ，所以 10 sinsin 4 POHPOB 所以 105 sin2 42 PHPEPOH 又3PA，故 5 15 2 sin 63 PH PAH PA ， 即直线PA与平面ABC所成角的正弦值为 15 6 . 20.解： （1）由函数( )lnf xxax的定义域是(0,)

16、，则 2 11 ( ) ax fxa xx 当0a 时，( )0fx恒成立， 故函数( )f x的单调递增区间为(0,)，无单调递减区间 当0a 时，令( )0fx得 1 0 x a 时，令( )0fx得 1 x a ， 故函数( )f x的单调递增区间为 1 0, a 单调递减区间为 1 , a ； （2）证明：当1a 时，( )( )(2)(2)ln xx g xf xxexexx， 则 11 ( )(1)1(1) xx g xxexe xx 当 1 1 4 x时，10 x ，令 1 ( ) x h xe x ， 则 2 1 ( )0 x h xe x 所以( )h x在 1 ,1 4 上

17、单调增 因为 1 4 1 20 4 he ，(1)10he ， 所以存在 0 1 ,1 4 x 使得 0 0h x，即 0 0 1 x e x ，即 00 lnxx 故当 0 1 , 4 xx 时，( )0h x ，此时( )0g x； 当 0,1 xx时，( )0h x ，此时( )0g x 即( )g x在 0 1 , 4 x 上单调递增，在 0,1 x上单调递减， 则 0 max00000000 00 12 ( )2ln212 x mg xg xxexxxxxx xx 令 2 ( )12G xx x ， 1 ,1 2 x ，则 2 22 2 1 2 ( )20 x G x xx ， 所以

18、( )G x在 1 ,1 4 x 上单调递增，则( )(1)3G xG ，所以3m 21.解： （1）设切点 2 1 1, 2 x A x ， 2 2 2, 2 x B x ，yx ， 切线MA的斜率为 1 x，切线 2 1 11 : 2 x MA yxxx， 设( ,3)M t t ，则有 2 1 11 3 2 x tx tx ，化简得 2 11 2360 xtxt， 同理可的 2 22 2260 xtxt. 1 x， 2 x是方程 2 2360 xtxt的两根， 12 2xxt， 12 26x xt， 12 2 NM xx xtx ，MNx轴 （2） 2 222 121212 111 3

19、442 N yxxxxx xtt ， 2 ,3N t tt ， 22 12 12 12 11 22 AB xx kxxt xx ， 直线 2 :3()AB yttt xt ，即3(1)yt x， 直线AB过定点(1,3) 22、 （1）因为cosx，siny， 222 xy， 所以 1 C的极坐标方程为cossin20， 因为 2 C的普通方程为 22 (1)1xy， 即 22 20 xyy，对应极坐标方程为2sin （2）因为射线:0,0 2 l ， 则 12 ,MN ，则 12 2 ,2sin sincos ， 所以 2 1 |21 sin(sincos )sin 2 |242 ON OM

20、 ， 又0 2 ， 3 2, 444 ， 所以当2 42 ，即 3 8 时， | | ON OM 取得最大值 21 2 . 23.解： （1）由( )2f xx得：|31| 12xx ， 310 31 12 x xx 或 310 31 12 x xx ， 解得： 1 2 3 x或 1 0 3 x 不等式( )2f xx的解集是0,2 （2）2 ( )( ) |31|1|f xg xxx， 当0 x 时显然成立，所以2 ( )( )|f xg xa x成立， 即 2 ( )( ) (0) | f xg x ax x ， 令 2 ( )( ) ( )(0) | f xg x h xx x ， 即 2 ( )( )|31|1|11 ( )314 | f xg xxx h x xxxx ， 4a ，所以实数 a 的取值范围是 4,).