湖南省长沙市天心区2020-2021学年度九年级上第一次月考数学试卷（含答案解析）

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1、湖南省长沙市湖南省长沙市天心区天心区 2020-2021 学年度初三第一次月考数学试卷学年度初三第一次月考数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题 目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1的绝对值是（ ） A2020 B C D2020 2下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 3下列计算正确的是（ ） A2（ab）2a+b B2

2、c2c22 Cx2y4yx23x2y D3a+2b5ab 4对于二次函数 y2（x+3）2的图象，下列说法不正确的是（ ） A开口向下 B对称轴是直线 x3 C顶点坐标为（3，0） D当 x3 时，y 随 x 的增大而减小 5如图，某石油公司计划在三条公路围成的一块平地上建一个加油站，综合各种因素，要求这个加油站到 三条公路的距离相等，则应建在（ ） AABC 的三条内角平分线的交点处 BABC 的三条高线的交点处 CABC 三边的中垂线的交点处 DABC 的三条中线的交点处 6如图，在O 中，BOD120，则BCD 的度数是（ ） A60 B80 C120 D150 7用反证法证明“四边形中

3、至少有一个内角大于或等于 90”时，应先假设（ ） A有一个内角小于 90 B每一个内角都大于 90 C有一个内角小于或等于 90 D每一个内角都小于 90 8如图，在ABC 中，C64，将ABC 绕着点 A 顺时针旋转后，得到ABC，且点 C在 BC 上，则BCB 的度数为（ ） A42 B48 C52 D58 9二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，那么一次函数 yax+b 的图象大致是（ ） A B C D 10如图，已知点 A（2，1） ，B（0，2） ，将线段 AB 绕点 M 逆时针旋转到 A1B1，点 A 与 A1是对应点，则 点 M 的坐标是（ ） A （0，2） B （

4、1，1） C （0，0） D （1，1） 11二次函数 ykx28x+8 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是（ ） Ak2 Bk2 且 k0 Ck2 Dk2 且 k0 12如图，P 为O 内的一个定点，A 为O 上的一个动点，射线 AP、AO 分别与O 交于 B、C 两点若 O 的半径长为 3，OP，则弦 BC 的最大值为（ ） A B3 C D 二、填空题（本大题共有二、填空题（本大题共有 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 12 分分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡 相应位置上）相应位置上） 13把多项式 4x4x

5、3因式分解为： 14使得有意义的 x 的取值范围是 15 如图， PA、 PB 分别切圆 O 于 A、 B， 并与圆 O 的切线， 分别相交于 C、 D， 已知PCD 的周长等于 10cm， 则 PA cm 16如图，在正方形 ABCD 中，AB8，点 M 在 CD 边上，且 DM2，AEM 与ADM 关于 AM 所在直 线对称，将ADM 按顺时针方向绕点 A 旋转 90得到ABF，连接 EF，则线段 EF 的长为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，共小题，共 72 分）分） 17计算： 18.先化简，再求值：（x+1） ，其中 x4 19.求满足不等式组并把解集在数轴上表示

6、出来 20.2020 年是特殊的一年，新年以来我们经历了新型冠状病毒肺炎，举国上下众志成城，共同抗疫严酷战 疫中，我们又一次感受到祖国的强大口罩也成为人们防护防疫的必备武器临高县某药店有 2500 枚口 罩准备出售从中随机抽取了一部分口罩，根据它们的价格（单位：元） ，绘制出如图的统计图请根据 相关信息，解答下列问题： （1）图中 m 的值为 ； （2）统计的这组数据的平均数为 ，众数为 ，中位数为 ； （3）根据样本数据，估计这 2500 枚口罩中，价格为 2.0 元的约有为 枚 21.如图，MB，MD 是O 的两条弦，点 A，C 分别在，上，且 ABCD，M 是的中点 （1）求证：MBMD

7、； （2）过 O 作 OEMB 于点 E，当 OE1，MD4 时，求O 的半径 22.如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，点 A、B、C 都是格点 （1）将ABC 绕点 A 逆时针旋转 90得到A1B1C1； （2）作A1B1C1关于点 O 成中心对称的A2B2C2； （3）B1B2的长 ；四边形 C2B2C1B1的面积为 23.如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，ADCD，ACAB，O 为ABC 的外接圆 （1）如图 1，求证：AD 是O 的切线； （2）如图 2，CD 交O 于点 E，过点 A 作 AGBE，垂足为 F，交 BC 于点 G 求证：AGBG； 若 AD2

8、，CD3，求 FG 的长 24.某公司销售一种商品，成本为每件 20 元，经过市场调查发现，该商品的日销售量 y（件）与销售单价 x （元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表： 销售单价 x（元） 40 60 80 日销售量 y（件） 80 60 40 （1）求 y 与 x 的关系式； （2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过 100%，求公司销售该商品获得的最大日利润； （3）若物价部门规定该商品销售单价不能超过 a 元，并且由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的 2 倍，在日销售量 y（件）与销售单价 x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最

9、大利润是 1500 元，求 a 的值 25.已知抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于 A（3，0） ，与 y 轴交于 C（0，3） ，又经过点 B（4，1） （1）求抛物线的函数关系式； （2）如图 1，连接 AB，在题 1 中的抛物线上是否存在点 P，使PAB 的外接圆圆心恰好在 PA 上？若存 在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图 2，连接 AC，E 为线段 AC 上任意一点（不与 A、C 重合） ，经过 A、E、O 三点的圆交直线 AB 于点 F，当OEF 的面积取得最小值时，求点 E 的坐标 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 1

10、2 小题）小题） 1的绝对值是（ ） A2020 B C D2020 【分析】的绝对值等于它的相反数，据此求解即可 【解答】解：| 故选：C 2下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意 故选：B 3下列计算正确的是（ ） A2（ab）2a+b B2c2c22 Cx2y4yx23x2y D3a+

11、2b5ab 【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，本题得以解决 【解答】解：2（ab）2a+2b，故选项 A 错误； 2c2c2c2，故选项 B 错误； x2y4yx23x2y，故选项 C 正确； 3a+2b 不能合并，故选项 D 错误； 故选：C 4对于二次函数 y2（x+3）2的图象，下列说法不正确的是（ ） A开口向下 B对称轴是直线 x3 C顶点坐标为（3，0） D当 x3 时，y 随 x 的增大而减小 【分析】根据抛物线的性质由 a2 得到图象开口向下，根据顶点式得到顶点坐标为（3，0） ，对称 轴为直线 x3，当 x3 时，y 随 x 的增大而增大 【解答】解：二次函

12、数 y2（x+3）2的图象开口向下，顶点坐标为（3，0） ，对称轴为直线 x3， 当 x3 时，y 随 x 的增大而增大， 故 A、B、C 正确，D 不正确， 故选：D 5如图，某石油公司计划在三条公路围成的一块平地上建一个加油站，综合各种因素，要求这个加油站到 三条公路的距离相等，则应建在（ ） AABC 的三条内角平分线的交点处 BABC 的三条高线的交点处 CABC 三边的中垂线的交点处 DABC 的三条中线的交点处 【分析】三条公路围成一个三角形，三角形中到三边的距离相等的点是三角形的内心，即三条内角平分 线的交点 【解答】解：三角形中到三边的距离相等的是三角形的内心，即为三条内角平分

13、线的交点 故选：A 6如图，在O 中，BOD120，则BCD 的度数是（ ） A60 B80 C120 D150 【分析】 根据圆周角定理得出ADOB60， 根据圆内接四边形的性质得出A+BCD180， 代入求出即可 【解答】解：对的圆周角是A，对的圆心角是DOB， 又BOD120， ADOB60， A、B、C、D 四点共圆， A+BCD180， BCD18060120， 故选：C 7用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于 90”时，应先假设（ ） A有一个内角小于 90 B每一个内角都大于 90 C有一个内角小于或等于 90 D每一个内角都小于 90 【分析】反证法的步骤中，第一步是

14、假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断 【解答】解：反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于 90”时， 假设每一个内角都小于 90， 故选：D 8如图，在ABC 中，C64，将ABC 绕着点 A 顺时针旋转后，得到ABC，且点 C在 BC 上，则BCB 的度数为（ ） A42 B48 C52 D58 【分析】根据旋转的性质，可以得到 ACAC，然后根据C64，即可得到旋转角的度数，然后三 角形内角和，即可得到BCB 的度数 【解答】解：将ABC 绕着点 A 顺时针旋转后，得到ABC，C64， ACAC，CACBAB，BB， CACC64， CAC52， BAB52， BAD52， BB

15、，BDCBDA， BCDBAD52， 即BCB 的度数为 52， 故选：C 9二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，那么一次函数 yax+b 的图象大致是（ ） A B C D 【分析】由 yax2+bx+c 的图象判断出 a0，b0，于是得到一次函数 yax+b 的图象经过二，三，四 象限，即可得到结论 【解答】解：yax2+bx+c 的图象的开口向下， a0， 对称轴在 y 轴的左侧， b0， 一次函数 yax+b 的图象经过二，三，四象限 故选：C 10如图，已知点 A（2，1） ，B（0，2） ，将线段 AB 绕点 M 逆时针旋转到 A1B1，点 A 与 A1是对应点，则 点

16、M 的坐标是（ ） A （0，2） B （1，1） C （0，0） D （1，1） 【分析】作出对应点连线的垂直平分线，它们的交点就是 M 点 【解答】解：如图，点 M 的坐标是（1，1） ， 故选：B 11二次函数 ykx28x+8 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是（ ） Ak2 Bk2 且 k0 Ck2 Dk2 且 k0 【分析】直接利用b24ac0，进而求出 k 的取值范围 【解答】解：二次函数与 ykx28x+8 的图象与 x 轴有交点， b24ac6432k0，k0， 解得：k2 且 k0 故选：D 12如图，P 为O 内的一个定点，A 为O 上的一个动点，射线 AP、A

17、O 分别与O 交于 B、C 两点若 O 的半径长为 3，OP，则弦 BC 的最大值为（ ） A B3 C D 【分析】 过点 O 作 OEAB 于 E， 由垂径定理易知 E 是 AB 中点， 得 OE 是ABC 中位线， 则 BC2OE， 而 OEOP，故 BC2OP，即可得出答案 【解答】解：过点 O 作 OEAB 于 E，如图： O 为圆心， AEBE， OEBC， OEOP， BC2OP， 当 E、P 重合时，即 OP 垂直 AB 时，BC 取最大值， 弦 BC 的最大值为：2OP2 故选：A 二填空题（共二填空题（共 4 小题）小题） 13把多项式 4x4x3因式分解为： 4x（1+x

18、） （1x） 【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可 【解答】解：原式4x（1x2） 4x（1+x） （1x） 故答案为：4x（1+x） （1x） 14使得有意义的 x 的取值范围是 x1 且 x1 【分析】根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件和零指数幂的定义得出 x10 且 x+10，再 求出不等式的解集即可 【解答】解：要使有意义，必须 x10 且 x+10， 解得：x1 且 x1， 故答案为：x1 且 x1 15 如图， PA、 PB 分别切圆 O 于 A、 B， 并与圆 O 的切线， 分别相交于 C、 D， 已知PCD 的周长等于 10cm， 则 PA 5 cm 【分析

19、】 由于 DA、 DC、 BC 都是O 的切线， 可根据切线长定理， 将PCD 的周长转换为 PA、 PB 的长， 然后再进行求解 【解答】解：如图，设 DC 与O 的切点为 E； PA、PB 分别是O 的切线，且切点为 A、B； PAPB； 同理，可得：DEDA，CECB； 则PCD 的周长PD+DE+CE+PCPD+DA+PC+CBPA+PB10（cm） ； PAPB5cm， 故答案为：5 16如图，在正方形 ABCD 中，AB8，点 M 在 CD 边上，且 DM2，AEM 与ADM 关于 AM 所在直 线对称，将ADM 按顺时针方向绕点 A 旋转 90得到ABF，连接 EF，则线段 EF

20、 的长为 10 【分析】连接 BM先判定FAEMAB（SAS） ，即可得到 EFBM再根据 BCCDAB8，CM 6，利用勾股定理即可得到，RtBCM 中，BM10，进而得出 EF 的长 【解答】解：如图，连接 BM AEM 与ADM 关于 AM 所在的直线对称， AEAD，MADMAE ADM 按照顺时针方向绕点 A 旋转 90得到ABF， AFAM，FABMAD， FABMAE， FAB+BAEBAE+MAE， FAEMAB， FAEMAB（SAS） EFBM 四边形 ABCD 是正方形， BCCDAB8 DM2， CM6 在 RtBCM 中，BM10， EF10， 故答案为：10 三解答

21、题（共三解答题（共 1 小题）小题） 17计算： 【分析】分别根据零指数幂，负指数幂、绝对值、二次根式的运算法则计算，然后根据实数的运算法则 求得计算结果 【解答】解：原式1， 1+1+4， 4 18.先化简，再求值：（x+1） ，其中 x4 【考点】分式的化简求值 【专题】分式；运算能力 【答案】原式，原式 【分析】 根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子， 然后将 x 的值代入化简后的式子即可解答本题 【解答】解：（x+1） ， 当 x4 时，原式 19.求满足不等式组并把解集在数轴上表示出来 【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组 【专题】一元一次不等式(组)及应用；运算

22、能力 【答案】1x3， 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式组的解集表示 在数轴上即可 【解答】解：， 解不等式 得 x1 解不等式得 x3 所以不等式组的解集为1x3， 在数轴上表示不等式组的解集如图： 20.2020 年是特殊的一年，新年以来我们经历了新型冠状病毒肺炎，举国上下众志成城，共同抗疫严酷战 疫中，我们又一次感受到祖国的强大口罩也成为人们防护防疫的必备武器临高县某药店有 2500 枚口 罩准备出售从中随机抽取了一部分口罩，根据它们的价格（单位：元） ，绘制出如图的统计图请根据 相关信息，解答下列问题： （1）图中 m 的值为 ； （2）统

23、计的这组数据的平均数为 ，众数为 ，中位数为 ； （3）根据样本数据，估计这 2500 枚口罩中，价格为 2.0 元的约有为 枚 【考点】用样本估计总体；加权平均数；中位数；众数 【专题】统计的应用；数据分析观念 【答案】 （1）28； （2）1.52 元，1.8 元，1.5 元； （3）200 【分析】 （1）根据扇形统计图中的数据，可以计算出 m%的值，从而可以得到 m 的值； （2） 根据扇形统计图中的数据可以得到这组数据的平均数， 然后根据条形统计图中的数据可以得到这组 数据的众数和中位数； （3）根据统计图中的数据，可以计算出质量为 2.0 元的约多少枚 【解答】解： （1）m%11

24、0%22%32%8%28%， 即 m 的值是 28， 故答案为：28； （2）平均数是：1.010%+1.222%+1.528%+1.832%+2.08%1.52 元， 本次调查了 5+11+14+16+450 枚， 中位数是：1.5 元，众数是 1.8 元； 故答案为：1.52 元，1.8 元，1.5 元； （3）25008%200（枚） ， 答：价格为 2.0 元的约 200 枚 故答案为：200 21.如图，MB，MD 是O 的两条弦，点 A，C 分别在，上，且 ABCD，M 是的中点 （1）求证：MBMD； （2）过 O 作 OEMB 于点 E，当 OE1，MD4 时，求O 的半径 【

25、考点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系 【专题】与圆有关的计算；应用意识 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）想办法证明即可解决问题 （2）连接 OM，利用勾股定理垂径定理解决问题即可 【解答】 （1）证明：ABCD， ， M 是的中点， ， ， BMDM （2）解：如图，连接 OM DMBM4，OEBM， EMBE2， OE1，OEM90， OM， O 的半径为 22.如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，点 A、B、C 都是格点 （1）将ABC 绕点 A 逆时针旋转 90得到A1B1C1； （2）作A1B1C1关于点 O 成中心对称的A2B2C2； （3）B1B

26、2的长 ；四边形 C2B2C1B1的面积为 【考点】勾股定理；作图旋转变换 【专题】平移、旋转与对称；几何直观 【答案】 （1） 、 （2）见解答； （3）10；12 【分析】 （1）利用网格特点和旋转的性质画出 B、C 的对应点 B1、C1即可； （2）利用网格特点，分别延长 A1O、B1O、C1O，使 A2OA1O、B2OB1O、C2OC1O，从而得到 A2、 B2、C2； （3）利用勾股定理计算 B1B2的长；利用平行四边形的面积公式计算四边形 C2B2C1B1的面积 【解答】解： （1）如图，A1B1C1为所作； （2）如图，A2B2C2为所作； （3）B1B2的长210；四边形 C2

27、B2C1B1的面积2612 故答案为 10，12 23.如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，ADCD，ACAB，O 为ABC 的外接圆 （1）如图 1，求证：AD 是O 的切线； （2）如图 2，CD 交O 于点 E，过点 A 作 AGBE，垂足为 F，交 BC 于点 G 求证：AGBG； 若 AD2，CD3，求 FG 的长 【考点】圆的综合题 【专题】几何综合题 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）连接 OA，OB，OC，由 ACAB，OAOA，OCOB 可证出OACOAB（SSS） ，利 用全等三角形的性质可得出OACOAB，即 AO 平分BAC，利用垂径定理可得出 AOBC，结合

28、 ADBC 可得出 ADAO，由此即可证出 AD 是O 的切线； （2）连接 AE，由圆内接四边形对角互补结合BCE90可得出BAE90，由同角的余角相等 可得出BAGAEB，结合ABCACBAEB 可得出BAGABC，再利用等角对等腰可证出 AGBG； 由ADCAFB90，ACDABF，ACAB 可证出ADCAFB（AAS） ，利用全等三角 形的性质可求出 AF，BF 的长，设 FGx，在 RtBFG 中，利用勾股定理可求出 x 的值，此题得解 【解答】 （1）证明：如图 1，连接 OA，OB，OC 在OAC 和OAB 中， OACOAB（SSS） ， OACOAB， AO 平分BAC， A

29、OBC 又ADBC， ADAO， AD 是O 的切线 （2）证明：如图 2，连接 AE BCE90， BAE90 又AFBE， AFB90 BAG+EAFAEB+EAF90， BAGAEB ABCACBAEB， BAGABC， AGBG 解：在ADC 和AFB 中， ADCAFB（AAS） ， AFAD2，BFCD3 设 FGx，在 RtBFG 中，FGx，BF3，BGAGx+2， FG2+BF2BG2，即 x2+32（x+2）2， x， FG 24.某公司销售一种商品，成本为每件 20 元，经过市场调查发现，该商品的日销售量 y（件）与销售单价 x （元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量

30、的三组对应数值如下表： 销售单价 x（元） 40 60 80 日销售量 y（件） 80 60 40 （1）求 y 与 x 的关系式； （2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过 100%，求公司销售该商品获得的最大日利润； （3）若物价部门规定该商品销售单价不能超过 a 元，并且由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的 2 倍，在日销售量 y（件）与销售单价 x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最 大利润是 1500 元，求 a 的值 【考点】二次函数的应用 【专题】二次函数的应用；数据分析观念 【答案】 （1）yx+120； （2）公司销售该商品获得的最大日利润为 16

31、00 元； （3）a70 【分析】 （1）用待定系数法即可求解； （2）公司销售该商品获得的最大日利润为 w 元，则 w（x20）y（x20） （x+120）（x70） 2+2500，进而求解； （3）由题意得：w（x202） （x+120）x2+160 x4800（x80）2+1600，当 w最大1500 时，（x80）2+16001500，解得 x170，x290，而 40 xa，进而求解 【解答】解： （1）设函数的表达式为 ykx+b， 将（40，80） 、 （60，60）代入上式得：，解得， 故 y 与 x 的关系式为 yx+120； （2）公司销售该商品获得的最大日利润为 w 元，

32、 则 w（x20）y（x20） （x+120）（x70）2+2500， x20，x+1200，x2020100%， 20 x40， 10， 故抛物线开口向下， 故当 x70 时，w 随 x 的增大而增大， 当 x40（元）时，w 的最大值为 1600（元） ， 故公司销售该商品获得的最大日利润为 1600 元； （3）由题意得：w（x202） （x+120）x2+160 x4800（x80）2+1600， 当 w最大1500 时，（x80）2+16001500， 解得 x170，x290， 20 xa， 有两种情况， a80 时，在对称轴左侧，w 随 x 的增大而增大， 当 xa70 时，w最

33、大1500， a80 时，在 40 xa 范围内 w最大16001500， 这种情况不成立， a70 25.已知抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于 A（3，0） ，与 y 轴交于 C（0，3） ，又经过点 B（4，1） （1）求抛物线的函数关系式； （2）如图 1，连接 AB，在题 1 中的抛物线上是否存在点 P，使PAB 的外接圆圆心恰好在 PA 上？若存 在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图 2，连接 AC，E 为线段 AC 上任意一点（不与 A、C 重合） ，经过 A、E、O 三点的圆交直线 AB 于点 F，当OEF 的面积取得最小值时，求点 E 的坐标 【

34、考点】二次函数综合题 【专题】综合题；数形结合；待定系数法；一次方程（组）及应用；一元二次方程及应用；一次函数及 其应用；二次函数图象及其性质；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力 【答案】 （1）抛物线的函数关系式为 yx2x+3； （2）点 P 的坐标为（1，6） ； （3）点 E 的坐标为（，） 【分析】 （1）将 A（3，0） ，C（0，3） ，B（4，1）代入 yax2+bx+c，用待定系数法求解即可； （2）先用圆周角定理及勾股定理的逆定理验证ABP90，CAB90，再过点 B 作 BPAC，写 出直线 AC 的解析式，再解得 BP 的解析式，然后将直线 BP 和抛

35、物线的解析式联立，解方程组并根据题 意作出取舍，即可得出点 P 的坐标； （3）过点 B 作 BHx 轴于点 H，求得EOF90，设点 E（x，x+3） ，由勾股定理 OE2，进而表示 出 SOEF，从而得出关于 x 的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案 【解答】解： （1）将 A（3，0） ，C（0，3） ，B（4，1）代入 yax2+bx+c 得： ， 解得：， 抛物线的函数关系式为 yx2x+3； （2）在题 1 中的抛物线上存在点 P，使PAB 的外接圆圆心恰好在 PA 上 PAB 的外接圆圆心恰好在 PA 上， ABP90， A（3，0） ，C（0，3） ，B（4，

36、1） ， AC3，AB，BC2， AC2+AB2BC2， CAB90， 过点 B 作 BPAC，交抛物线于点 P，如图 1 所示： A（3，0） ，C（0，3） ， 直线 AC 的解析式为 yx+3， 设直线 BP 的解析式为 yx+b， 则4+b1， 解得 b5 直线 BP 的解析式为 yx+5， 联立， 解得， 又点 B（4，1） ， 点 P 的坐标为（1，6） ； （3）过点 B 作 BHx 轴于点 H，如图 2 所示： A（3，0） ，C（0，3） ，B（4，1） ， OAE45，OAFBAH45， 又OFEOAE，OEFOAF， OEFOFE45， OEOF，EOF18045290， 点 E 在直线 AC 上，直线 AC 的解析式为 yx+3， 设点 E（x，x+3） ，由勾股定理得： OE2x2+（x+3）2 2x26x+9， SOEFOEOF OE2 x23x+ +， 当 x时，SOEF取最小值， 此时x+3+3， 点 E 的坐标为（，）