天津市和平区2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷（含答案详解）

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1、2020-2021 学年天津市和平区九年级（上）期末数学试卷学年天津市和平区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的）要求的） 1下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A B C D 2下列命题中，是真命题的是（ ） A直角三角形都相似 B等腰三角形都相似 C矩形都相似 D正方形都相似 3二次函数 yax2+bx+c 图象上部分点的坐标如下表所示，则该函数图象的顶点坐标为（ ） x 1 0 1 2 y

2、0 3 4 3 A （1，0） B （0，3） C （1，4） D （2，3） 4如图，一个油桶靠在直立的墙边，量得 WY0.5m，并且 XYWY，则这个油桶的底面半径是（ ） A0.25m B0.5m C0.75m D1m 5一个仅装有球的不透明布袋里共有 4 个球（只有编号不同） ，编号为 1，2，3，5从中任意摸出一个球， 记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是（ ） A B C D 6如图，RtABC 中，C90，AB10，AC8，E 是边 AC 上一点，AE5，EDAB，垂足为点 D， 则 AD 的长是（ ） A16 B C6 D4 7在如图所

3、示的网格中，以点 O 为位似中心，四边形 ABCD 的位似图形是（ ） A四边形 NPMQ B四边形 NPMR C四边形 NHMQ D四边形 NHMR 8如图，在OABC 中，A60，将OABC 绕点 O 逆时针旋转得到OABC，且AOC90， 设旋转角为 （090） ，则 的大小为（ ） A30 B45 C60 D75 9设函数 ya（xh）2+k（a，h，k 是实数，a0） ，当 x1 时，y1；当 x8 时，y8， （ ） A若 h4，则 a0 B若 h5，则 a0 C若 h6，则 a0 D若 h7，则 a0 10如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面 2m 时，水面宽 4m水面下降 2.5

4、m，水面宽度增加（ ） A1m B2m C3m D6m 11如图，已知 BC 是O 的直径，半径 OABC，点 D 在劣弧 AC 上（不与点 A，点 C 重合） ，BD 与 OA 交于点 E设AED，AOD，则（ ） A3+180 B2+180 C390 D290 12如图，抛物线 yax2+bx+c 的顶点坐标为（1，4a） ，点 A（4，y1）是该抛物线上一点，若点 B（x2， y2）是该抛物线上任意一点，有下列结论： 4a2b+c0； 抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于点（1，0） ， （3，0） ； 若 y2y1，则 x24； 若 0 x24，则3ay25a 其中，正确结论的个

5、数是（ ） A0 B1 C2 D3 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在岔路口随机选择一条路径，它获得食物的概率 是 14已知正六边形的半径是 3，则这个正六边形的边长是 15如图，在ABC 中，点 D，E 在 AC 边上，且 AEEDDC点 F，M 在 AB 边上，且 FEMDBC， 延长 FD 交 BC 的延长线于点 N，则的值 16已知圆锥的底面半径为 40cm，母线长为 90cm，则它的侧面展开图的圆心角为 度 17对于一个函数，自变量 x 取 a 时，函数值 y 也

6、等于 a，我们称 a 为这个函数的不动点如果二次函数 y x2+2x+c 有两个相异的不动点 x1，x2，且 x11x2，则 c 的取值范围是 18已知正方形 ABCD 的边长为 6，O 是 BC 边的中点 （1）如图，连接 AO，则 AO 的长为 ； （2）如图，点 E 是正方形内一动点，OE2，连接 DE，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90得 DF， 则线段 OF 长的最小值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 66 分分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19已知 2 是方程 x2c0 的一个根，求常数

7、c 的值及该方程的另一根 20已知，O 中，D 是O 上的点，OCBD （1）如图，求证； （2）如图，连接 AB，BC，CD，DA，若A70，求BCD，ADB 的大小 21已知O 的直径 AB4，C 为O 上一点，AC2 （1）如图，点 P 是上一点，求APC 的大小； （2）如图，过点 C 作O 的切线 MC，过点 B 作 BDMC 于点 D，BD 与O 交于点 E，求DCE 的大小及 CD 的长 22一个直角三角形的两条直角边的和是 7cm，面积是 6cm2，求两条直角边的长 23如图，已知矩形 ABCD 的周长为 36cm，矩形绕它的一条边 CD 旋转形成一个圆柱设矩形的一边 AB 的

8、长为 xcm（x0） ，旋转形成的圆柱的侧面积为 Scm2 （1）用含 x 的式子表示： 矩形的另一边 BC 的长为 cm，旋转形成的圆柱的底面圆的周长为 cm； （2）求 S 关于 x 的函数解析式及自变量 x 的取值范围； （3）求当 x 取何值时，矩形旋转形成的圆柱的侧面积最大； （4）若矩形旋转形成的圆柱的侧面积等于 18cm2，则矩形的长是 cm，宽是 cm 24在ABC 中，ACB90，CACB2，点 P 是边 AB 的中点，连接 CP （1）如图，B 的大小 （度） ，AB 的长 ，CP 的长 ； （2）延长 BC 至点 O，使 OC2BC，将ABC 绕点 O 逆时针旋转 （01

9、80）得到ABC， 点 A，B，C，P 的对应点分别为 A，B，C，P 图，当 30时，求点 C到直线 OB 的距离及点 C到直线 AB 的距离； 当 CP与ABC 的一条边平行时，求点 P到直线 AC 的距离（直接写出结果即可） 25如图，点 A，B，C 都在抛物线 yax22amx+am2+2m5（其中a0）上，ABx 轴，ABC 135，且 AB4 （1）当 m1 时，求抛物线的顶点坐标； （2）求点 C 到直线 AB 的距离（用含 a 的式子表示） ； （3）若点 C 到直线 AB 的距离为 1，当 2m5x2m2 时，y 的最大值为 2，求 m 的值 2020-2021 学年天津市和

10、平区九年级（上）期末数学试卷学年天津市和平区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题）小题） 1下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转 180 度后它的两部分能够重合； 即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误； B、是中心对称图形，故此选项正确； C、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转 180 度后它的两部分能够重合；即不满足中 心对称图形的定义，故此选项错误； D、不是中心对称图形，因为找不到任

11、何这样的一点，旋转 180 度后它的两部分能够重合；即不满足中 心对称图形的定义，故此选项错误 故选：B 2下列命题中，是真命题的是（ ） A直角三角形都相似 B等腰三角形都相似 C矩形都相似 D正方形都相似 【分析】利用相似多边形的定义分别判断后即可确定正确的选项 【解答】解：A、直角三角形都相似，错误，是假命题； B、等腰三角形不一定相似，故错误，是假命题； C、矩形都相似，错误，是假命题； D、正方形都相似，正确，是真命题， 故选：D 3二次函数 yax2+bx+c 图象上部分点的坐标如下表所示，则该函数图象的顶点坐标为（ ） x 1 0 1 2 y 0 3 4 3 A （1，0） B

12、（0，3） C （1，4） D （2，3） 【分析】根据二次函数的对称性解答即可 【解答】解：x0、x2 时的函数值都是 3， 函数图象的对称轴为直线 x1， 顶点坐标为（1，4） 故选：C 4如图，一个油桶靠在直立的墙边，量得 WY0.5m，并且 XYWY，则这个油桶的底面半径是（ ） A0.25m B0.5m C0.75m D1m 【分析】过 X 点作 AXXY，过 W 点作 BWYW，AX 与 BW 相交于 O 点，如图，根据切线的性质可判 断 O 点为油桶的底面圆的圆心，再证明四边形 OXYW 为正方形，所以 OWWY0.5m， 【解答】解：过 X 点作 AXXY，过 W 点作 BWY

13、W，AX 与 BW 相交于 O 点，如图， 油桶与墙相切， O 点为油桶的底面圆的圆心， OXYOWYXYW90， 四边形 OXYW 为矩形， OXOW， 矩形 OXYW 为正方形， OWWY0.5m， 即这个油桶的底面半径是 0.5m 故选：B 5一个仅装有球的不透明布袋里共有 4 个球（只有编号不同） ，编号为 1，2，3，5从中任意摸出一个球， 记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是（ ） A B C D 【分析】画树状图展示所有 16 种等可能的结果数，再找出两次摸出的球的编号之和为偶数的结果数，然 后根据概率公式求解 【解答】解：根据题意画图如

14、下： 共有 16 种等情况数，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的有 10 种， 则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是 故选：A 6如图，RtABC 中，C90，AB10，AC8，E 是边 AC 上一点，AE5，EDAB，垂足为点 D， 则 AD 的长是（ ） A16 B C6 D4 【分析】由题意可得ADEC，AA，从而可判定ADEACB，由相似三角形的性质得出 比例式，再将相关线段的长代入计算即可得出答案 【解答】解：EDAB， ADE90， C90， ADEC， 又AA， ADEACB， AD：ACAE：AB， AB10，AC8，AE5， AD：85：10， AD4 故选：D 7在如图所

15、示的网格中，以点 O 为位似中心，四边形 ABCD 的位似图形是（ ） A四边形 NPMQ B四边形 NPMR C四边形 NHMQ D四边形 NHMR 【分析】由以点 O 为位似中心，确定出点 C 对应点 M，设网格中每个小方格的边长为 1，则 OC， OM2，OD，OB，OA，OR，OQ2，OP2，OH3，ON 2，由2，得点 D 对应点 Q，点 B 对应点 P，点 A 对应点 N，即可得出结果 【解答】解：以点 O 为位似中心， 点 C 对应点 M， 设网格中每个小方格的边长为 1， 则 OC， OM2， OD， OB， OA， OR， OQ2， OP2， OH3， ON2， 2， 点 D

16、 对应点 Q，点 B 对应点 P，点 A 对应点 N， 以点 O 为位似中心，四边形 ABCD 的位似图形是四边形 NPMQ， 故选：A 8如图，在OABC 中，A60，将OABC 绕点 O 逆时针旋转得到OABC，且AOC90， 设旋转角为 （090） ，则 的大小为（ ） A30 B45 C60 D75 【分析】设 AO 与 AB 相交于点 D，由平行四边形的性质再结合已知条件可求出ODA90，因为 A60，所以可求出AOA 的度数，即旋转角为 的度数 【解答】解：设 AO 与 AB 相交于点 D， 四边形 OABC 是平行四边形， ABOC， ODAAOC90， A60， AOA9060

17、30， 旋转角为 30， 故选：A 9设函数 ya（xh）2+k（a，h，k 是实数，a0） ，当 x1 时，y1；当 x8 时，y8， （ ） A若 h4，则 a0 B若 h5，则 a0 C若 h6，则 a0 D若 h7，则 a0 【分析】当 x1 时，y1；当 x8 时，y8；代入函数式整理得 a（92h）1，将 h 的值分别代入即 可得出结果 【解答】解：当 x1 时，y1；当 x8 时，y8；代入函数式得：， a（8h）2a（1h）27， 整理得：a（92h）1， 若 h4，则 a1，故 A 错误； 若 h5，则 a1，故 B 错误； 若 h6，则 a，故 C 正确； 若 h7，则 a

18、，故 D 错误； 故选：C 10如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面 2m 时，水面宽 4m水面下降 2.5m，水面宽度增加（ ） A1m B2m C3m D6m 【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系，设出抛物线的解析式，从而可以求得水面的宽度增加了 多少，本题得以解决 【解答】解：如右图建立平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为 yax2， 由已知可得，点（2，2）在此抛物线上， 则2a22， 解得 a， y， 当 y4.5 时， 4.5， 解得，x13，x23， 此时水面的宽度为：3（3）6， 642， 即水面的宽度增加 2m， 故选：B 11如图，已知 BC 是O 的直径，半径 OABC

19、，点 D 在劣弧 AC 上（不与点 A，点 C 重合） ，BD 与 OA 交于点 E设AED，AOD，则（ ） A3+180 B2+180 C390 D290 【分析】根据直角三角形两锐角互余性质，用 表示CBD，进而由圆心角与圆周角关系，用 表示 COD，最后由角的和差关系得结果 【解答】解：OABC， AOBAOC90， DBC90BEO90AED90， COD2DBC1802， AOD+COD90， +180290， 290， 故选：D 12如图，抛物线 yax2+bx+c 的顶点坐标为（1，4a） ，点 A（4，y1）是该抛物线上一点，若点 B（x2， y2）是该抛物线上任意一点，有下

20、列结论： 4a2b+c0； 抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于点（1，0） ， （3，0） ； 若 y2y1，则 x24； 若 0 x24，则3ay25a 其中，正确结论的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】利用对称轴公式和顶点坐标得出4aa+b+c，b2a，c3a，则可对进行判断；抛物 线解析式为 yax22ax3a，配成交点式得 ya（x3） （x+1） ，可对进行判断；根据二次函数对称 性和二次函数的性质可对进行判断；计算 x4 时，ya515a，则根据二次函数的性质可对进 行判断 【解答】解：二次函数 yax2+bx+c（a0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（1，4a

21、） ， x1，且4aa+b+c， b2a，c3a， 4a2b+c4a+4a3a5a0（抛物线开口向上，则 a0） ， 结论正确； b2a，c3a， yax22ax3aa（x3） （x+1） ， 抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于点（1，0） ， （3，0） 结论正确； 点 A（4，y1）关于直线 x1 的对称点为（2，y1） ， 当 y2y1，则 x24 或 x22， 结论错误； 当 x4 时，y116a+4b+c16a8a3c5a， 当 0 x24，则4ay25a， 结论错误 故选：C 二填空题二填空题 13一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在岔路口随机选择一条路径，它获得

22、食物的概率是 【分析】直接利用概率公式求解 【解答】解：蚂蚁获得食物的概率 故答案为 14已知正六边形的半径是 3，则这个正六边形的边长是 3 【分析】先根据题意画出图形，再根据正六边形的性质求出BOC 的度数，判断出BOC 为等边三角形 即可求出答案 【解答】解：如图所示，连接 OB、OC， 此六边形是正六边形， BOC60， OBOC3， BOC 是等边三角形， OBOCBC3， 故答案为：3 15如图，在ABC 中，点 D，E 在 AC 边上，且 AEEDDC点 F，M 在 AB 边上，且 FEMDBC， 延长 FD 交 BC 的延长线于点 N，则的值 【分析】首先证明 EF：BC1：3

23、，再利用全等三角形的性质证明 EFCN 即可解决问题 【解答】解：EFDMBC，AEDECD， ， 在EFD 与CND 中， ， EFDCND（AAS） ， EFCN， CN：BC1：3， CN：BN1：4， ， 故答案为 16已知圆锥的底面半径为 40cm，母线长为 90cm，则它的侧面展开图的圆心角为 160 度 【分析】圆锥的底面半径为 40cm，则底面圆的周长是 80cm，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧 长，即侧面展开图的扇形弧长是 80cm，母线长为 90cm 即侧面展开图的扇形的半径长是 90cm根据弧 长公式即可计算 【解答】解：根据弧长的公式 l得到： 80， 解得 n1

24、60 度 侧面展开图的圆心角为 160 度 17对于一个函数，自变量 x 取 a 时，函数值 y 也等于 a，我们称 a 为这个函数的不动点如果二次函数 y x2+2x+c 有两个相异的不动点 x1，x2，且 x11x2，则 c 的取值范围是 c2 【分析】由函数的不动点概念得出 x1、x2是方程 x2+2x+cx 的两个实数根，由 x11x2知0 且 x 1 时 y0，据此得，解之可得 【解答】解：由题意知二次函数 yx2+2x+c 的两个相异的不动点 x1、x2是方程 x2+2x+cx 的两个不相 等实数根， 且 x11x2， 整理，得：x2+x+c0， 由 x2+x+c0 有两个不相等的

25、实数根，且 x11x2，知0， 令 yx2+x+c，画出该二次函数的草图如下： 则， 解得 c2， 故答案为 c2 18已知正方形 ABCD 的边长为 6，O 是 BC 边的中点 （1）如图，连接 AO，则 AO 的长为 3 ； （2）如图，点 E 是正方形内一动点，OE2，连接 DE，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90得 DF， 则线段 OF 长的最小值为 32 【分析】 （1）由勾股定理可求出答案； （2）连接 DO，将线段 DO 绕点 D 逆时针旋转 90得 DM，连接 FM，OM，证明EDOFDM，可 得 FMOE2，由条件可得 OM3，根据 OF+MFOM，即可得出 OF 的最

26、小值 【解答】解： （1）正方形 ABCD 的边长为 6，O 是 BC 边的中点， OBBC3，B90， AO3， 故答案为：3 （2）如图，连接 DO，将线段 DO 绕点 D 逆时针旋转 90得 DM，连接 FM，OM， EDFODM90， EDOFDM， DEDF，DODM， EDOFDM（SAS） ， FMOE2， 由（1）可知 OAOD3， OM3， OF+MFOM， OF32， 线段 OF 长的最小值为 32 故答案为：32 三解答题（共三解答题（共 7 小题）小题） 19已知 2 是方程 x2c0 的一个根，求常数 c 的值及该方程的另一根 【分析】将 x2 代入方程求出 c 的值

27、，再利用直接开平方法求解即可 【解答】解：将 x2 代入 x2c0，得：4c0， 解得 c4， 所以方程为 x240， 则 x24， x12，x22 所以 c4，另一个根为 x2 20已知，O 中，D 是O 上的点，OCBD （1）如图，求证； （ 2 ） 如 图 ， 连 接AB ， BC ， CD ， DA ， 若 A 70 ， 求 BCD ， ADB的 大 小 【分析】 （1）根据垂径定理求出，再根据已知条件得出答案即可； （2）根据圆内接四边形的性质求出BCD，求出CBDCDB35，再求出ADB 即可 【解答】 （1）证明：OCBD，OC 过 O， ， ， ； （2）解：四边形 ABD

28、是圆内接四边形， A+BCD180， A70， BCD110， ， CBDCDB（180BCD）35， ， ADBCDB35 21已知O 的直径 AB4，C 为O 上一点，AC2 （1）如图，点 P 是上一点，求APC 的大小； （2）如图，过点 C 作O 的切线 MC，过点 B 作 BDMC 于点 D，BD 与O 交于点 E，求DCE 的大小及 CD 的长 【分析】 （1）连接 OC，由 AB 为O 的直径，AB2AC，得到AOC 是等边三角形，根据等边三角形的 性质得到AOC60，于是得到结论； （2）连接 OE，OC，根据切线的性质得到 MCOC，得到EOB 是等边三角形，根据等边三角形

29、的性 质得到EOB60，求得COE180EOBAOC60，推出OCE 是等边三角形，于是 得到 CEOC2，EOC60，根据勾股定理于是得到结论 【解答】解： （1）连接 OC， AB 为O 的直径，AB2AC， OAOCAC， AOC 是等边三角形， AOC60， APCAOC30； （2）连接 OE，OC， MC 是O 的切线， MCOC， BDMC， MCOCDB90， BDOC， BAOC60， OBOE， EOB 是等边三角形， EOB60， COE180EOBAOC60， OCOE， OCE 是等边三角形， CEOC2，EOC60， DCE90ECO30， 在 RtCOE 中，CE

30、2， DECE1， CD 22一个直角三角形的两条直角边的和是 7cm，面积是 6cm2，求两条直角边的长 【分析】设其中一条直角边的长为 xcm，则另一条直角边的长为（7x）cm，根据直角三角形的面积为 6cm2，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之即可得出结论 【解答】解：设其中一条直角边的长为 xcm，则另一条直角边的长为（7x）cm， 依题意得：x（7x）6， 整理得：x27x+120， 解得：x13，x24 当 x3 时，7x4； 当 x4 时，7x3 答：两条直角边的长分别为 3cm，4cm 23如图，已知矩形 ABCD 的周长为 36cm，矩形绕它的一条边 CD 旋转形成一个圆

31、柱设矩形的一边 AB 的长为 xcm（x0） ，旋转形成的圆柱的侧面积为 Scm2 （1）用含 x 的式子表示： 矩形的另一边 BC 的长为 （18x） cm，旋转形成的圆柱的底面圆的周长为 2（18x） cm； （2）求 S 关于 x 的函数解析式及自变量 x 的取值范围； （3）求当 x 取何值时，矩形旋转形成的圆柱的侧面积最大； （4） 若矩形旋转形成的圆柱的侧面积等于 18cm2， 则矩形的长是 （9+6） cm， 宽是 （96） cm 【分析】 （1）根据矩形的性质，圆的周长公式求解即可 （2）根据圆柱的侧面积公式求解即可 （3）利用二次函数的性质求解即可 （4）构建方程求解即可 【

32、解答】解： （1）BC（362x）（18x）cm， 旋转形成的圆柱的底面圆的周长为 2（18x）cm 故答案为： （18x） ，2（18x） （2）S2（18x） x2x2+36x（0 x18） （3）S2x2+36x2（x9）2+162， 又20， x9 时，S 有最大值 （4）由题意：2x2+36x18， x218x+90， 解得 x9+6或 96（舍弃） ， 矩形的长是（9+6）cm，宽是（96）cm 故答案为： （9+6） ， （96） 24在ABC 中，ACB90，CACB2，点 P 是边 AB 的中点，连接 CP （1）如图，B 的大小 45 （度） ，AB 的长 2 ，CP 的长

33、 ； （2）延长 BC 至点 O，使 OC2BC，将ABC 绕点 O 逆时针旋转 （0180）得到ABC， 点 A，B，C，P 的对应点分别为 A，B，C，P 图，当 30时，求点 C到直线 OB 的距离及点 C到直线 AB 的距离； 当 CP与ABC 的一条边平行时，求点 P到直线 AC 的距离（直接写出结果即可） 【分析】 （1）根据三角形内角和定理以及勾股定理，直角三角形斜边中线的性质求解即可 （2） 过点 C作 CDOB， 垂足为点 D， 过点 C作 CEAB， 交 BA 的延长线于点 E， 连接 AC， 解直角三角形求出 CD，CE 即可 分三种情形： 如图1 中， 当 PCAC 时

34、， 延长 PC交 OB 于 H 如图2 中， 如图当 P CAB 时，过点 P作 PHOB 交 BO 的延长线于 H，交 AC于 T如图3 中，当 PC BC 时，延长 BA交 BO 于 H，分别画出图形求解即可 【解答】解： （1）在ABC 中，ACB90，CACB2， BA45， sinB， AB2， 点 P 是边 AB 的中点， CP， 故答案为 45，2， （2） 过点 C作 CDOB， 垂足为点 D， 过点 C作 CEAB， 交 BA 的延长线于点 E， 连接 AC， 将ABC 绕点 O 逆时针旋转 a 得到ABC， OCOC2BC224， 在 ROCD 中，O30， CDOC42，

35、 点 C到直线 OB 的距离为 2，OD2； CDOB，ACB90， CDBACB90， ACCD， CD2，AC2，CDAC， 四边形 CDCA 是平行四边形， CADCOCOD42，CADC， EACB45， ECA90EAC904545， EACECA CEAE， 在 RtACE 中，CE2+AE2CA2， CE2， CECA（42）2 点 C到直线 AB 的距离为 2； 如图1 中，当 PCAC 时，延长 PC交 OB 于 H PHAC， OHCACO90， OCHBCP45， OHOCcos452， CHOCOH42 点 P到直线 AC 的距离为 42 如图2 中，如图当 PCAB

36、时，过点 P作 PHOB 交 BO 的延长线于 H，交 AC于 T 由题意四边形 OHTC是矩形，OHCT1， CHOC+OH1+45， 点 P到直线 AC 的距离为 5 如图3 中，当 PCBC 时，延长 BA交 BO 于 H，可得 OHOBcos453， CH3+4， 点 P到直线 AC 的距离为 4+3 综上所述，点 P到直线 AC 的距离为 42或 4+3或 5 25如图，点 A，B，C 都在抛物线 yax22amx+am2+2m5（其中a0）上，ABx 轴，ABC 135，且 AB4 （1）当 m1 时，求抛物线的顶点坐标； （2）求点 C 到直线 AB 的距离（用含 a 的式子表示

37、） ； （3）若点 C 到直线 AB 的距离为 1，当 2m5x2m2 时，y 的最大值为 2，求 m 的值 【分析】 （1）由配方法可求顶点坐标； （2）设点 C 到直线 AB 的距离为 d，求出点 C 坐标，代入解析式可求解； （3）先求出 a 值，分三种情况考虑：当 m2m2，即 m2 时，x2m2 时 y 取最大值，利用二次 函数图象上点的坐标特征可得出关于 m 的一元二次方程， 解之可求出 m 的值； 当 2m5m2m2， 即 2m5 时， xm 时 y 取最大值， 利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于 m 的一元一次方程， 解之可求出 m 的值；当 m2m5，即 m5 时，x2

38、m5 时 y 取最大值，利用二次函数图象上点的 坐标特征可得出关于 m 的一元一次方程，解之可求出 m 的值综上即可得出结论 【解答】解： （1）当 m1 时，抛物线的解析式为 yax22ax+a3， yax22ax+a3a（x1）23， 顶点坐标为（1，3） ； （2）如图，过点 C 作 CDAB，交 AB 的延长线于 D， ABC135， CBD45， CDAD， DBCDCB45， BDCD， yax22amx+am2+2m5a（xm）2+2m5， 顶点坐标为（m，2m5） ， AB4， 点 B 的横坐标为 m+2， 点 B 在抛物线 ya（xm）2+2m5 上， ya（m+2m）2+2

39、m54a+2m5， 点 B（m+2，4a+2m5） ， 设点 C 到直线 AB 的距离为 d， BDCDd， 点 C（m+2+d，4a+2m5d） ， 点 C 在抛物线 ya（xm）2+2m5 上， 4a+2m5d，a（m+2+dm）2+2m5， 整理得：ad2+4ad+d0， d0， d， 点 C 到直线 AB 的距离为； （3）点 C 到直线 AB 的距离为 1， 1， a， 抛物线的解析式为 y（xm）2+2m5 分三种情况考虑： 当 m2m2，即 m2 时，有（2m2m）2+2m52， 整理，得：m214m+390， 解得：m17（舍去） ，m27+（舍去） ； 当 2m5m2m2，即 2m5 时，有 2m52， 解得：m； 当 m2m5，即 m5 时，有（2m5m）2+2m52， 整理，得：m220m+600， 解得：m3102（舍去） ，m410+2 综上所述：m 的值为或 10+2