2021年数学中考一轮单元总复习达标精准突破专题22 二次函数(解析版)
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1、 专题专题 22 22 二次函数二次函数 知识点一:二次函数的基本概念与特征知识点一:二次函数的基本概念与特征 1二次函数的概念:一般地,形如 2 yaxbxc(abc, ,是常数,0a )的函数,叫做 二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ,而bc,可以为零二 次函数的定义域是全体实数 2. 二次函数 2 yaxbxc的结构特征: 等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是 2 abc, ,是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项 知识点二:二次函数的基本形式及其性质知识点二:二次函数的基本形式及其性质 1. 2 yax的性质: (a 的绝对
2、值越大,抛物线的开口越小) 2. 2 yaxc的性质: (上加下减) a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 0 0, y轴 0 x 时,y随x的增大而增大;0 x 时,y随 x的增大而减小;0 x 时,y有最小值0 0a 向下 0 0, y轴 0 x 时,y随x的增大而减小;0 x 时,y随 x的增大而增大;0 x 时,y有最大值0 3. 2 ya xh的性质: (左加右减) 4. 2 ya xhk的性质: 知识点三:二次函数图象的平移知识点三:二次函数图象的平移 1. 平移步骤: a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 0 c, y轴 0 x 时,y随x的
3、增大而增大;0 x 时,y随 x的增大而减小;0 x 时,y有最小值c 0a 向下 0 c, y轴 0 x 时,y随x的增大而减小;0 x 时,y随 x的增大而增大;0 x 时,y有最大值c a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 0h, X=h xh时,y随x的增大而增大;xh时,y随 x的增大而减小;xh时,y有最小值0 0a 向下 0h, X=h xh时,y随x的增大而减小;xh时,y随 x的增大而增大;xh时,y有最大值0 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 hk, X=h xh时,y随x的增大而增大;xh时,y随 x的增大而减小;xh时,y有最小
4、值k 0a 向下 hk, X=h xh时,y随x的增大而减小;xh时,y随 x的增大而增大;xh时,y有最大值k 方法 1: 将抛物线解析式转化成顶点式 2 ya xhk,确定其顶点坐标hk,; 保持抛物线 2 yax的形状不变,将其顶点平移到hk,处,具体平移方法如下: 2. 平移规律:在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;k值正上移,负下移” 概括成八个字“左加右 减,上加下减” 方法 2: cbxaxy 2 沿y轴平移:向上(下)平移m个单位,cbxaxy 2 变成 mcbxaxy 2 (或mcbxaxy 2 ) cbxaxy 2 沿轴平移:向左(右)平移m个单位,cbxaxy 2 变
5、成 cmxbmxay)()( 2 (或cmxbmxay)()( 2 ) 知识点四:二次函数知识点四:二次函数 2 ya xhk与与 2 yaxbxc的比较的比较 从解析式上看, 2 ya xhk与 2 yaxbxc是两种不同的表达形式, 后者通过配方可以得到前者, 即 2 2 4 24 bacb ya x aa ,其中 2 4 24 bacb hk aa , 知识点五一:二次函数知识点五一:二次函数 2 yaxbxc图象的画法图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数 2 yaxbxc化为顶点式 2 ()ya xhk,确定其开口方向、对称轴 及顶点坐标, 然后在对称轴两侧, 左右对称地描点画
6、图.一般我们选取的五点为: 顶点、 与y轴的交点0 c,、 向右(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或向下(k0)】平移|k|个单位 y=a(x-h)2+k y=a(x-h)2 y=ax2+ky=ax2 以及0 c,关于对称轴对称的点2hc,、与x轴的交点 1 0 x , 2 0 x ,(若与x轴没有交点,则取两组关 于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与y轴的交点. 知识点六:二次函数知识点六:二次函数 2 yaxbxc的性质的性质 1. 当0a 时,抛物线开口向上,对称轴为 2 b x a ,顶点坐
7、标为 2 4 24 bacb aa , 当 2 b x a 时,y随x的增大而减小; 当 2 b x a 时,y随x的增大而增大; 当 2 b x a 时,y有最小值 2 4 4 acb a 2. 当0a 时,抛物线开口向下,对称轴为 2 b x a ,顶点坐标为 2 4 24 bacb aa , 当 2 b x a 时,y随x的增大而增大; 当 2 b x a 时,y随x的增大而减小; 当 2 b x a 时,y有最大值 2 4 4 acb a 知识点七:二次函数解析式的表示方法知识点七:二次函数解析式的表示方法 1. 一般式: 2 yaxbxc(a,b,c为常数,0a ) ; 2. 顶点式
8、: 2 ()ya xhk(a,h,k为常数,0a ) ; 3. 两根式: 12 ()()ya xxxx(0a , 1 x, 2 x是抛物线与x轴两交点的横坐标). 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写 成交点式, 只有抛物线与x轴有交点,即 2 40bac时,抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函 数解析式的这三种形式可以互化. 知识点八:二次函数的图象与各项系数之间的关系知识点八:二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a 二次函数 2 yaxbxc中,a作为二次项系数,显然0a 当0a 时,抛物线开口向上,a的值越大,开口越小,反之a
9、的值越小,开口越大; 当0a 时,抛物线开口向下,a的值越小,开口越小,反之a的值越大,开口越大 总结起来,a决定了抛物线开口的大小和方向,a的正负决定开口方向,a的大小决定开口的大小 2. 一次项系数b 在二次项系数a确定的前提下,b决定了抛物线的对称轴 在0a 的前提下, 当0b 时,0 2 b a ,即抛物线的对称轴在y轴左侧; 当0b 时,0 2 b a ,即抛物线的对称轴就是y轴; 当0b 时,0 2 b a ,即抛物线对称轴在y轴的右侧 在0a 的前提下,结论刚好与上述相反,即 当0b 时,0 2 b a ,即抛物线的对称轴在y轴右侧; 当0b 时,0 2 b a ,即抛物线的对称
10、轴就是y轴; 当0b 时,0 2 b a ,即抛物线对称轴在y轴的左侧 总结起来,在a确定的前提下,b决定了抛物线对称轴的位置 ab的符号的判定:对称轴 a b x 2 在y轴左边,则0ab,在y轴的右侧,则0ab,概括的说就是“左 同右异” 。 3. 常数项c 当0c 时,抛物线与y轴的交点在x轴上方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为正; 当0c 时,抛物线与y轴的交点为坐标原点,即抛物线与y轴交点的纵坐标为0; 当0c 时,抛物线与y轴的交点在x轴下方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为负 总结起来,c决定了抛物线与y轴交点的位置 总之,只要abc, ,都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的 知识点九
11、:二次函数图象的对称知识点九:二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称 2 yaxbxc关于x轴对称后,得到的解析式是 2 yaxbxc; 2 ya xhk关于x轴对称后,得到的解析式是 2 ya xhk ; 2. 关于y轴对称 2 yaxbxc关于y轴对称后,得到的解析式是 2 yaxbxc; 2 ya xhk关于y轴对称后,得到的解析式是 2 ya xhk; 3. 关于原点对称 2 yaxbxc关于原点对称后,得到的解析式是 2 yaxbxc; 2 ya xhk关于原点对称后,得到的解析式是 2 ya xhk ; 4.关于顶点对称(
12、即:抛物线绕顶点旋转 180) 2 yaxbxc关于顶点对称后,得到的解析式是 2 2 2 b yaxbxc a ; 2 ya xhk关于顶点对称后,得到的解析式是 2 ya xhk 5. 关于点m n,对称 2 ya xhk关于点m n,对称后,得到的解析式是 2 22ya xhmnk 根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a永远不变求抛物 线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物 线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后 再写出其对称抛物线的表达式 知
13、识点十:二次函数与一元二次方程知识点十:二次函数与一元二次方程 1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x轴交点情况): 一元二次方程 2 0axbxc是二次函数 2 yaxbxc当函数值0y 时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数: (1)当 2 40bac 时,图象与x轴交于两点 12 00A xB x, , 12 ()xx,其中的 12 xx,是一元二次方 程 2 00axbxca的两根这两点间的距离 2 21 4bac ABxx a . (2)当0 时,图象与x轴只有一个交点; (3)当0 时,图象与x轴没有交点. 当0a 时,图象落在x轴的上方,无论x为任何实数,都有0y ; 当
14、0a 时,图象落在x轴的下方,无论x为任何实数,都有0y 2. 抛物线 2 yaxbxc的图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,)c; 一、二次函数解析式的确定一、二次函数解析式的确定 根据已知条件确定二次函数解析式,常利用待定系数法用待定系数法求二次函数解析式必须根据题 目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便一般来说,有如下几种情况: 1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式; 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式; 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式; 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式 二、二次函数考查重点与常见题类型总结二、
15、二次函数考查重点与常见题类型总结 类型 1.考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中; 类型 2.综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两 个函数的图像,试题类型为选择题; 类型 3.考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题和选拔 性的综合题; 类型 4.考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题; 类型 5.考查代数与几何的综合能力,常见的中考题作为专项压轴题。 三、二次函数常用解题方法总结三、二次函数常用解题方法总结 求二次函数的图象与x轴的交点坐标,需转化为一元二
16、次方程; 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式; 根据图象的位置判断二次函数 2 yaxbxc中a,b,c的符号,或由二次函数中a,b,c的符号判 断图象的位置,要数形结合; 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x轴的一个 交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式 2 (0)axbxc a本身就是所含字母x的二次函数;下 面以0a 时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系: 【例题 1】 (2020枣庄)如图,已知抛物线 yax2+bx+c 的对称轴为直线
17、 x1给出下列结论: ac0;b24ac0;2ab0;ab+c0 其中,正确的结论有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】C 0 抛物线与x轴有 两个交点 二次三项式的值可正、 可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根 0 抛物线与x轴只 有一个交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 0 抛物线与x轴无 交点 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根. 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与 x 轴、y 轴的交点,综合进行判断即可 【解析】抛物线开口向下,a0,对称轴为 x= 2 =1,因此 b0,与 y 轴交于正半轴,因此 c0, 于是有:ac0,因
18、此正确; 由 x= 2 =1,得 2a+b0,因此不正确, 抛物线与 x 轴有两个不同交点,因此 b24ac0,正确, 由对称轴 x1,抛物线与 x 轴的一个交点为(3,0) ,对称性可知另一个交点为(1,0) ,因此 ab+c 0,故正确, 综上所述,正确的结论有。 【例题【例题 2】如图,抛物线 y=x2bx+c 交 x 轴于点 A(1,0) ,交 y 轴于点 B,对称轴是 x=2 (1)求抛物线的解析式; (2)点 P 是抛物线对称轴上的一个动点,是否存在点 P,使PAB 的周长最小?若存在,求出点 P 的坐标; 若不存在,请说明理由 【答案】见解析。 【解析】 (1)由题意得, 解得
19、b=4,c=3, 抛物线的解析式为y=x24x+3; (2)点 A 与点 C 关于 x=2 对称, 连接 BC 与 x=2 交于点 P,则点 P 即为所求, 根据抛物线的对称性可知,点 C 的坐标为(3,0) , y=x24x+3 与 y 轴的交点为(0,3) , 设直线 BC 的解析式为:y=kx+b, , 解得,k=1,b=3, 直线 BC 的解析式为:y=x+3, 则直线 BC 与 x=2 的交点坐标为: (2,1) 点 P 的交点坐标为: (2,1) 【点拨】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式和最短路径问题,掌握待定系数法求解析式的一般 步骤和轴对称的性质是解题的关键 【例题【例
20、题 3】 (】 (2020杭州)杭州)在平面直角坐标系中,设二次函数 y1x2+bx+a,y2ax2+bx+1(a,b 是实数,a 0) (1)若函数 y1的对称轴为直线 x3,且函数 y1的图象经过点(a,b) ,求函数 y1的表达式 (2)若函数 y1的图象经过点(r,0) ,其中 r0,求证:函数 y2的图象经过点(1 ,0) (3)设函数 y1和函数 y2的最小值分别为 m 和 n,若 m+n0,求 m,n 的值 【答案】见解析。 【分析】 (1)利用待定系数法解决问题即可 (2)函数 y1的图象经过点(r,0) ,其中 r0,可得 r2+br+a0,推出 1+ + 2 =0,即 a(
21、1 ) 2+b1 +1 0,推出1 是方程 ax 2+bx+1 的根,可得结论 (3)由题意 a0,m= 42 4 ,n= 42 4 ,根据 m+n0,构建方程可得结论 【解析】 (1)由题意,得到 2 =3,解得 b6, 函数 y1的图象经过(a,6) , a26a+a6, 解得 a2 或 3, 函数 y1x26x+2 或 y1x26x+3 (2)函数 y1的图象经过点(r,0) ,其中 r0, r2+br+a0, 1+ + 2 =0, 即 a(1 ) 2+b1 +10, 1 是方程 ax 2+bx+1 的根, 即函数 y2的图象经过点(1 ,0) (3)由题意 a0,m= 42 4 ,n=
22、 42 4 , m+n0, 4 2 4 + 42 4 =0, (4ab2) (a+1)0, a+10, 4ab20, mn0 二次函数单元精品检测试卷二次函数单元精品检测试卷 本套试卷满分本套试卷满分 120120 分,答题时间分,答题时间 9090 分钟分钟 一、选择题(每小题一、选择题(每小题 3 3 分,共分,共 3030 分)分) 1 (2020泸州)已知二次函数 yx22bx+2b24c(其中 x 是自变量)的图象经过不同两点 A(1b,m) , B(2b+c,m) ,且该二次函数的图象与 x 轴有公共点,则 b+c 的值为( ) A1 B2 C3 D4 【答案】C 【解析】由二次函
23、数 yx22bx+2b24c 的图象与 x 轴有公共点, (2b)241(2b24c)0,即 b24c0 , 由抛物线的对称轴 x= 2 2 =b,抛物线经过不同两点 A(1b,m) ,B(2b+c,m) , b= 1+2+ 2 ,即,cb1 , 代入得,b24(b1)0,即(b2)20,因此 b2, cb1211, b+c2+13 2 (2020绥化)将抛物线 y2(x3)2+2 向左平移 3 个单位长度,再向下平移 2 个单位长度,得到抛物 线的解析式是( ) Ay2(x6)2 By2(x6)2+4 Cy2x2 Dy2x2+4 【答案】C 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即
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