2021年数学中考一轮单元总复习达标精准突破专题28锐角三角函数(解析版)
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1、 专题专题 28 28 锐角三角函数锐角三角函数 知识点一:知识点一:锐角三角函数锐角三角函数 1 1三角函数定义三角函数定义 在 RtABC 中,若C=90 A sinA a c 的对边 斜边 A cos A b c 的邻边 斜边 A tan A A a b 的对边 的邻边 A cot A A b a 的邻边 的对边 2.2.同角三角函数的关系同角三角函数的关系 (1)平方关系: 22 sincos1AA (2)商数关系: sin tan cos A A A cos cot sin A A A (3)倒数关系: tancot1AA 3.3.互为余角的三角函数关系互为余角的三角函数关系 sin
2、(90) cosAA , cos(90) sinAA tan(90) cotAA , cot(90) tanAA 或者:若A+B=90,则 sinA=cosB,cosA=sinB,tanA=cotB,cotA=tanB 4. 特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值 sin Cos tan cot 0 0 1 0 不存在 30 1 2 3 2 3 3 3 45 2 2 2 2 1 1 60 3 2 1 2 3 3 3 5.5.锐角三角函数的增减性锐角三角函数的增减性(0(0-9090) ) (1)锐角的正弦值(或正切值)随着角度的增大而增大,随着角度的减小而减小。 (2)锐角的余弦值(或余切值)随
3、着角度的增大而减小,随着角度的减小而增大。 6.6.锐角三角函数的取值范围锐角三角函数的取值范围 0sin1,0cos1,tan0,cot0. 知识点二:知识点二:解直角三角形解直角三角形 1.1.直角三角形中边角关系直角三角形中边角关系 在直角三角形 ABC 中,如果C=90,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,那么 (1)三边之间的关系为 222 abc(勾股定理) (2)锐角之间的关系为A+B=90 (3)30角所对直角边等于斜边的一半。 90 1 0 不存在 0 (4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 (5)边角之间的关系为: (三角函数定义) 2.2.其他有关公式其他有关公
4、式 (1) 1 sin 2 SabC = 1 sin 2 bcA= 1 sin 2 acB (2)Rt面积公式: 11 22 Sabch (3)直角三角形外接圆的半径 2 c R,内切圆半径 2 a b c r 结论:直角三角形斜边上的高 ab h c 3.3.实际问题中术语的含义 (1)仰角与俯角 在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角,在水平线下方的角叫做俯角。 (2)坡度:如图,我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或坡比) ,用字母 i 表示,即 l h i . (3)坡角:坡面与水平面的夹角; (4)坡度与坡角(用表示)的关系:i=tan.坡角越大,坡度越大
5、,坡面越陡。 (5)方位角:指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于 90角的为方位角 每年中考的考查热点,主要要求能够正确地应用 sinA、cosA、tgA、cotA 表示直角三角形两边的比, 并且要熟记 0、30、45、60、90角的各个三角函数值理解直角三角形中的边、角之间的关系, 会用勾股定理及锐角三角函数解直角三角形,并会用相关的知识解决一些简单的实际问题,尤其是在计算 距离、高度和角度等方面 一、解直角三角形问题的依据与类型一、解直角三角形问题的依据与类型 (1)解直角三角形的的定义:已知边和角(其中必有一条边),求所有未知的边和角. (2)解直角三角形的依据: 角的关系:两个锐角
6、互余; 边的关系:勾股定理; 边角关系:锐角三角函数; (3)解直角三角形的常见类型及一般解法 RtABC中的已知条件 一般解法 两边 两直角边a,b (1) 22 cab; (2)由tan a A b 求出A; (3)B=90A. 一直角边a,斜边c (1) 22 bca; (2)由sin a A c 求出A; (3)B=90A. 一边一锐角 一直角边a,锐角A (1)B=90A; (2) tan a b A ; (3) sin a c A . 斜边c,锐角A (1)B=90A; (2)a=csin A; (3)b=ccos A. 二、解直角三角形需要注意的问题二、解直角三角形需要注意的问题
7、 1.正确理解锐三角函数的概念,能准确表达各三角函数,并能说出常用特殊角的三角函数值。 2.在完成锐角三角函数的填空、选择题时,要能根据题意画出相关图形,结合图形解题更具直观性。 3.能将实际问题转化为相关的直角三角形问题,即把实际问题抽象为几何问题,研究图形,利用数形结合 思想、方程思想等解决生活问题。 4.注重基础,不断创新,掌握解直角三角形的基本技能,能灵活应对在测量、航海、定位等现代生活中常 见问题,这也是以后中考命题的趋势。 5.解决实际问题的关键在于建立数学模型,要善于把实际问题的数量关系转化为解直角三角形的问题在 解直角三角形的过程中,常会遇到近似计算,应根据题目要求的精确度定答
8、案 【例题【例题 1】 (】 (2020南充)南充)如图,点 A,B,C 在正方形网格的格点上,则 sinBAC( ) A 2 6 B 26 26 C 26 13 D 13 13 【答案】B 【分析】作 BDAC 于 D,根据勾股定理求出 AB、AC,利用三角形的面积求出 BD,最后在直角ABD 中根据三角函数的意义求解 【解析】如图,作 BDAC 于 D, 由勾股定理得,AB= 32+ 22= 13,AC= 32+ 32=32, SABC= 1 2ACBD= 1 2 32BD= 1 2 13, BD= 2 2 , sinBAC= = 2 2 13 = 26 26 【例题 2】如图,在菱形 A
9、BCD 中,DEAB, 3 cos 5 A,BE=2,则 tanDBE 的值是( ) A 1 2 B2 C 5 2 D 5 5 【答案】B 【解析】将A 和DBE 分别置身于 RtAED 和 RtEDB 中 DEAB,AED=DEB= 90在 RtAED 中,cosA= 5 3 AD AE 设 AE=3k,则 AD=5k,由勾股定理,得 DE=4k四边形 ABCD 为菱形,AB=AD,即 3k+2=5k解得 k=1,DE=4在 RtEDB 中,tanDBE= DE BE =2即选 B 【点拨】在将锐角三角函数表示成“比”的形式时,常借助参数法,即把“比”的每一份用一个字母来表 示,从而建立方程
10、,实现所求 【例题【例题 3】 (】 (2020重庆)重庆)如图,垂直于水平面的 5G 信号塔 AB 建在垂直于水平面的悬崖边 B 点处,某测量 员从山脚 C 点出发沿水平方向前行 78 米到 D 点(点 A,B,C 在同一直线上) ,再沿斜坡 DE 方向前行 78 米到 E 点(点 A,B,C,D,E 在同一平面内) ,在点 E 处测得 5G 信号塔顶端 A 的仰角为 43,悬崖 BC 的高为 144.5 米,斜坡 DE 的坡度(或坡比)i1:2.4,则信号塔 AB 的高度约为( ) (参考数据:sin430.68,cos430.73,tan430.93) A23 米 B24 米 C24.5
11、 米 D25 米 【答案】D 【分析】过点 E 作 EFDC 交 DC 的延长线于点 F,过点 E 作 EMAC 于点 M,根据斜坡 DE 的坡度(或 坡比)i1:2.4 可设 EFx,则 DF2.4x,利用勾股定理求出 x 的值,进而可得出 EF 与 DF 的长,故可 得出 CF 的长由矩形的判定定理得出四边形 EFCM 是矩形,故可得出 EMFC,CMEF,再由锐角三角 函数的定义求出 AM 的长,进而可得出答案 【解析】过点 E 作 EFDC 交 DC 的延长线于点 F,过点 E 作 EMAC 于点 M, 斜坡 DE 的坡度(或坡比)i1:2.4,DECD78 米, 设 EFx,则 DF
12、2.4x 在 RtDEF 中, EF2+DF2DE2,即 x2+(2.4x)2782, 解得 x30, EF30 米,DF72 米, CFDF+DC72+78150 米 EMAC,ACCD,EFCD, 四边形 EFCM 是矩形, EMCF150 米,CMEF30 米 在 RtAEM 中, AEM43, AMEMtan431500.93139.5 米, ACAM+CM139.5+30169.5 米 ABACBC169.5144.525 米 锐角三角函数单元精品检测试卷锐角三角函数单元精品检测试卷 本套试卷满分本套试卷满分 120120 分,答题时间分,答题时间 9090 分钟分钟 一、选择题(每
13、小题一、选择题(每小题 3 3 分,共分,共 3030 分)分) 1 (2020杭州)杭州)如图,在ABC 中,C90,设A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,则( ) AcbsinB BbcsinB CabtanB DbctanB 【答案】B 【解析】根据三角函数的定义进行判断,就可以解决问题 RtABC 中,C90,A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, sinB= ,即 bcsinB,故 A 选项不成立,B 选项成立; tanB= ,即 batanB,故 C 选项不成立,D 选项不成立 2 (2020济宁)济宁)一条船从海岛 A 出发,以 15 海里/时的速度向正北航行,2 小时后到
14、达海岛 B 处灯塔 C 在海岛 A 的北偏西 42方向上,在海岛 B 的北偏西 84方向上则海岛 B 到灯塔 C 的距离是( ) A15 海里 B20 海里 C30 海里 D60 海里 【答案】C 【解析】 根据题意画出图形, 根据三角形外角性质求出CCAB42, 根据等角对等边得出 BCAB, 求出 AB 即可如图 根据题意得:CBD84,CAB42, CCBDCAB42CAB, BCAB, AB15230, BC30, 即海岛 B 到灯塔 C 的距离是 30 海里 3 (2020深圳)深圳)如图,为了测量一条河流的宽度,一测量员在河岸边相距 200 米的 P、Q 两点分别测定对 岸一棵树
15、T 的位置, T 在 P 的正北方向, 且 T 在 Q 的北偏西 70方向, 则河宽 (PT 的长) 可以表示为 ( ) A200tan70米 B 200 70米 C200sin 70米 D 200 70米 【答案】B 【解析】在直角三角形 PQT 中,利用 PQ 的长,以及PQT 的度数,进而得到PTQ 的度数,根据三角函 数即可求得 PT 的长 在 RtPQT 中, QPT90,PQT907020, PTQ70, tan70= , PT= 70 = 200 70, 即河宽 200 70米 4 (2020黔西南州)黔西南州)如图,某停车场入口的栏杆 AB,从水平位置绕点 O 旋转到 AB的位
16、置,已知 AO 的长为 4 米若栏杆的旋转角AOA,则栏杆 A 端升高的高度为( ) A 4 米 B4sin 米 C 4 米 D4cos 米 【答案】B 【解析】过点 A作 ACAB 于点 C, 由题意可知:AOAO4, sin= , AC4sin 5.(2020乐山)乐山)如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图自动扶梯 AB 的倾斜角为 30,在自动扶梯下方 地面 C 处测得扶梯顶端 B 的仰角为 60, A、 C 之间的距离为 4m 则自动扶梯的垂直高度 BD ( ) m(结 果保留根号) A.3 B.2 C.23 D.2+3 【答案】C 【解析】 据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到
17、BCAC4, 根据三角函数的定义即可得到结论 BCDBAC+ABC,BAC30,BCD60, ABCBCDBAC30, BACABC, BCAC4, 在 RtBDC 中,sinBCD= , sin60= 4 = 3 2 , BD23(m) ,自动扶梯的垂直高度 BD23m 6.已知ABC 中,三边之比 a:b:c=1:3:2,则 sinA+tanA 的值为( ) A.3/2 B.3+2 C.2 D. 3 3 2 1 【答案】D 【解析】根据题意,设 a=k,b=3k,c=2k(k0) , a 2+b2=c2,C=90 sinA= 2 1 c a ,tanA= 3 3 b a , sinA+ta
18、nA= 3 3 2 1 【点拨】在没有明确三角形是直角三角形的前提下,首先判定三角形是不是直角三角形,在明确三角形是 直角三角形的条件下,再使用锐角三角函数定义进行解证,否则,通过分割或补形法转换成直角三角形 7.如图,在等腰 RtABC中,C=90 o,AC=6,D 是AC上一点,若 tanDBA= 5 1 ,则AD的长为( ) A.2 B.3 C.2 D.1 【答案】A 【解析】DBA没有在直角三角形中 ,无法使用正切定义转换成边的比现设法将其置身在一个直角三角 形中 过点 D 作 DEAB,垂足为 E在 RtBDE 中, tanDBA= BE DE tanDBA= 5 1 , BE DE
19、 = 5 1 设 DE= k , 则 BE=5k,在 RtADE 中,A=45,AE=DE= k,AB=6 k 在等腰 RtABC中, C=90 o,AC=6,AB=6 2 ,解得 k=2 , 即 DE=2在 RtADE 中, A=45 ,AD=2DE =2 【点拨】构造直角三角形,将所考察的角置身在这个直角三角形中 8.如图,CD 是 RtABC 斜边上的高,AC=4,BC=3则 cosBCD 的值是( ) A 5 3 B 4 3 C 3 4 D 5 4 【答案】D 【解析】求 cosBCD 的值,用定义法不能直接求出根据同角或等角的三角函数值相等, 考虑先用等角替换,再用定义去求 AB=5
20、ACB=90,B+A=90,CDAB,BCD+B=90,A=BCDcosBCD=cosA= AB AC = 5 4 【点拨】 依据同角或等角的三角函数值相等的性质, 将一个的三角函数值用另一个等角的三角函数值替换 9.9.(20192019湖南长沙)湖南长沙)如图所示,一艘轮船从位于灯塔C的北偏东 60方向,距离灯塔 60nmile的小岛A出 发,沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔C的南偏东 45方向上的B处,这时轮船B与小岛A的距 离是( ) A30nmile B60nmile C120nmile D (30+30)nmile 【答案】D 【解析】此题主要考查了解直角三角形的应用方向角问
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