2021年数学中考一轮单元总复习达标精准突破专题15分式(解析版)
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1、 专题专题 15 15 分式分式 知识点知识点 1 1:分式:分式 1.分式:形如 A/B,A、B 是整式,B 中含有未知数且 B 不等于 0 的整式叫做分式(fraction)。其中 A 叫做分 式的分子,B 叫做分式的分母。 2.分式有意义的条件:分母不等于 0 3.约分:把一个分式的分子和分母的公因式(不为 1 的数)约去,这种变形称为约分。 4.通分:异分母的分式可以化成同分母的分式,这一过程叫做通分。 5.分式的基本性质: 分式的分子和分母同时乘以(或除以)同一个不为 0 的整式,分式的值不变。 用式子表示为:A/B=(AC)/(BC) , A/B=(AC)/(BC) (A,B,C
2、为整式,且 C0) 6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式.约分时,一般将一个分式化为最 简分式. 知识点知识点 2 2:分式的运算:分式的运算 1.同分母分式加减法则: 同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.用字母表示为:a/cb/c=ab/c 2.异分母分式加减法则: 异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示 为:a/bc/d=adcb/bd 3.分式的乘法法则: 两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为: (a/b ) (c/d) =ac/bd 4.分式的
3、除法法则: 1)两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.a/bc/d=ad/bc 2)除以一个分式,等于乘以这个分式的倒数:(a/b)(c/d)=(a/b)(d/c) 知识点知识点 3 3:分式方程:分式方程 1.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 2.分式方程的解法:去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);按解整 式方程的步骤求出未知数的值;验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方 程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根). 3.重点在分式方程解实际应用问题。 一、记忆理解分式单元重难点思维导图一、记忆理解
4、分式单元重难点思维导图 二、中考分式单元考题类型总结二、中考分式单元考题类型总结 1.分式概念考法 (1)考查分式的定义; (2)考查分式有意义的条件; (3)考查分式的值为 0 的条件; (4)考查分式的值为正负的条件。 2.分式的基本性质考法 (1)化分数系数、小数系数为整数的问题; (2)分数的系数变号问题; (3)化简求值问题。 3.分式的运算考法 (1)通分; (2)约分; (3)分式的混合运算; (4)分式化简求值; (5)求待定字母的值。 4.分式方程类型题考法 (1)用常规方法解分式方程; (2)增根类问题; (3)列分式方程解应用题 1)营销类应用性问题; 2)工程类应用型问
5、题; 3)行程中应用型问题; 4)轮船顺水逆水应用性问题; 5)浓度应用性问题; 6)货物运输应用性问题; 7)其他类应用性问题。 【例题【例题 1 1】 (】 (20202020台州)台州)计算1 1 3的结果是 【答案】 2 3 【解析】1 1 3 = 3 3 1 3 = 2 3 【点拨】先通分,再相减即可求解 【例题【例题 2 2】 (】 (20202020徐州)徐州)方程9 = 8 ;1的解为 【答案】x9 【分析】根据解分式方程的过程进行求解即可 【解析】去分母得: 9(x1)8x 9x98x x9 检验:把x9 代入x(x1)0, 所以x9 是原方程的解 【例题【例题 3 3】 (
6、】 (20202020乐山)乐山)已知y= 2 ,且 xy,求( 1 ; + 1 :) 2 2;2的值 【答案】见解析。 【解析】直接将括号里面通分运算进而结合分式的混合运算法则计算得出答案 原式= 2 (:)(;) 2 2;2 = 2 2;2 2;2 2 = 2 , = 2 , 原式= 2 2 = 1 解法 2:同解法 1,得原式= 2 , = 2 , xy2, 原式= 2 2 =1 【例题【例题 4 4】 (】 (20202020福建)福建)我国古代著作四元玉鉴记载“买椽多少”问题: “六贯二百一十钱,倩人去买 几株椽每株脚钱三文足,无钱准与一株椽 ”其大意为:现请人代买一批椽,这批椽的价
7、钱为 6210 文如 果每株椽的运费是 3 文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,试问 6210 文能买多 少株椽?设这批椽的数量为x株,则符合题意的方程是( ) A3(x1)= 6210 B6210 ;1 =3 C3x1= 6210 D6210 =3 【答案】A 【分析】根据单价总价数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,即可得出关于x 的分式方程,此题得解 【解析】依题意,得:3(x1)= 6210 【例题【例题 5 5】 (】 (20202020黔西南州)黔西南州)随着人们“节能环保,绿色出行”意识的增强,越来越多的人喜欢骑自行车出 行,也给自行车商家
8、带来商机某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为 8 万元今年该型自行车每 辆售价预计比去年降低 200 元若该型车的销售数量与去年相同,那么今年的销售总额将比去年减少 10%, 求: (1)A型自行车去年每辆售价多少元? (2)该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共 60 辆,且B型车的进货数量不超过A型车数量的两 倍已知A型车和B型车的进货价格分别为 1500 元和 1800 元,计划B型车销售价格为 2400 元,应如何组 织进货才能使这批自行车销售获利最多? 【答案】见解析。 【分析】 (1)设去年A型车每辆售价x元,则今年售价每辆为(x200)元,由卖出的数量相同建立方程 求出其
9、解即可; (2)设今年新进A型车a辆,则B型车(60a)辆,获利y元,由条件表示出y与a之间的关系式,由a 的取值范围就可以求出y的最大值 【解析】 (1)设去年A型车每辆售价x元,则今年售价每辆为(x200)元,由题意,得 80000 = 80000(1;10%) ;200 , 解得:x2000 经检验,x2000 是原方程的根 答:去年A型车每辆售价为 2000 元; (2)设今年新进A型车a辆,则B型车(60a)辆,获利y元,由题意,得 y(18001500)a+(24001800) (60a) , y300a+36000 B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍, 60a2a, a20
10、y300a+36000 k3000, y随a的增大而减小 a20 时,y有最大值 B型车的数量为:602040 辆 当新进A型车 20 辆,B型车 40 辆时,这批车获利最大 分式单元精品检测试卷分式单元精品检测试卷 本套试卷满分本套试卷满分 120120 分,答题时间分,答题时间 9090 分钟分钟 一、选择题(每小题一、选择题(每小题 3 3 分,共分,共 3030 分)分) 1 (20202020哈尔滨)哈尔滨)方程 2 :5 = 1 ;2的解为( ) Ax1 Bx5 Cx7 Dx9 【答案】D 【分析】根据解分式方程的步骤解答即可 【解析】方程的两边同乘(x+5) (x2)得: 2(x
11、2)x5, 解得x9, 经检验,x9 是原方程的解 2 (20202020成都)成都)已知x2 是分式方程 + ;3 ;1 =1 的解,那么实数k的值为( ) A3 B4 C5 D6 【答案】B 【分析】把x2 代入分式方程计算即可求出k的值 【解析】把x2 代入分式方程得: 2 11, 解得:k4 3 (20202020甘孜州)甘孜州)分式方程 3 ;1 10 的解为( ) Ax1 Bx2 Cx3 Dx4 【答案】D 【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解 【解析】分式方程 3 ;1 10, 去分母得:3(x1)0, 去括号得:3x+10
12、, 解得:x4, 经检验x4 是分式方程的解 4 (20202020黑龙江)黑龙江)已知关于x的分式方程 ;3 4= 3;的解为非正数,则 k的取值范围是( ) Ak12 Bk12 Ck12 Dk12 【答案】A 【分析】表示出分式方程的解,由解为非正数得出关于k的不等式,解出k的范围即可 【解析】方程 ;3 4= 3;两边同时乘以(x3)得: x4(x3)k, x4x+12k, 3xk12, x= 3 +4, 解为非正数, 3 +40, k12 5 (20202020齐齐哈尔)齐齐哈尔)若关于x的分式方程 3 ;2 = 2; +5 的解为正数,则m的取值范围为( ) Am10 Bm10 Cm
13、10 且m6 Dm10 且m6 【答案】D 【分析】分式方程去分母化为整式方程,表示出方程的解,由分式方程的解为正数求出m的范围即可 【解析】去分母得:3xm+5(x2) , 解得:x= :10 2 , 由方程的解为正数,得到m+100,且m+104, 则m的范围为m10 且m6, 6 (20202020泸州)泸州)已知关于x的分式方程 ;1 +2= 3 1;的解为非负数,则正整数 m的所有个数为( ) A3 B4 C5 D6 【答案】B 【分析】根据解分式方程,可得分式方程的解,根据分式方程的解为负数,可得不等式,解不等式,可得 答案 【解析】去分母,得:m+2(x1)3, 移项、合并,得:
14、x= 5; 2 , 分式方程的解为非负数, 5m0 且5; 2 1, 解得:m5 且m3, 正整数解有 1,2,4,5 共 4 个. 7 (20202020黑龙江)黑龙江)已知关于x的分式方程 ;2 4= 2;的解为正数,则 k的取值范围是( ) A8k0 Bk8 且k2 Ck8 且k2 Dk4 且k2 【答案】B 【分析】表示出分式方程的解,根据解为正数确定出k的范围即可 【解析】分式方程 ;2 4= 2;, 去分母得:x4(x2)k, 去括号得:x4x+8k, 解得:x= :8 3 , 由分式方程的解为正数,得到:8 3 0,且:8 3 2, 解得:k8 且k2 8 (20202020长沙
15、)长沙)随着 5G网络技术的发展,市场对 5G产品的需求越来越大,为满足市场需求,某大型 5G 产品生产厂家更新技术后, 加快了生产速度, 现在平均每天比更新技术前多生产 30 万件产品, 现在生产 500 万件产品所需时间与更新技术前生产 400 万件产品所需时间相同设更新技术前每天生产x万件产品,依 题意得( ) A 400 ;30 = 500 B400 = 500 :30 C400 = 500 ;30 D 400 :30 = 500 【答案】B 【分析】设更新技术前每天生产x万件产品,则更新技术后每天生产(x+30)万件产品,根据工作时间 工作总量工作效率结合现在生产 500 万件产品所
16、需时间与更新技术前生产 400 万件产品所需时间相同, 即可得出关于x的分式方程,此题得解 【解析】设更新技术前每天生产x万件产品,则更新技术后每天生产(x+30)万件产品, 依题意,得:400 = 500 :30 9 (20202020牡丹江)牡丹江)若关于x的方程 :1 2 =0 的解为正数,则m的取值范围是( ) Am2 Bm2 且m0 Cm2 Dm2 且m4 【答案】C 【分析】先将分式方程化为整式方程,再根据方程的解为正数得出不等式,且不等于增根,再求解 【解析】解方程 :1 2 = 0, 去分母得:mx2(x+1)0, 整理得: (m2)x2, 方程有解, = 2 ;2, 分式方程
17、的解为正数, 2 ;20, 解得:m2, 而x1 且x0, 则 2 ;2 1, 2 ;2 0, 解得:m0, 综上:m的取值范围是:m2 10 (20202020重庆)重庆)若关于x的一元一次不等式组 3;1 2 + 3, 的解集为xa;且关于y的分式方程 ; ;2 + 3;4 ;2 =1 有正整数解,则所有满足条件的整数a的值之积是( ) A7 B14 C28 D56 【答案】A 【分析】不等式组整理后,根据已知解集确定出a的范围,分式方程去分母转化为正整数方程,由分式方 程有非负整数解,确定出a的值,求出之和即可 【解析】不等式组整理得: 7 , 由解集为xa,得到a7, 分式方程去分母得
18、:ya+3y4y2,即 3y2a, 解得:y= :2 3 , 由y为正整数解,且y2 得到a1,7 177 二、填空题二、填空题(每空(每空 3 3 分,共分,共 3333 分)分) 11 (20202020湖州)湖州)化简: :1 2:2:1 = 【答案】 1 :1 【解析】 :1 2:2:1 = :1 (:1)2 = 1 :1 【点拨】直接将分母分解因式,进而化简得出答案 12.12.(20202020遂宁)遂宁)先化简, ( 2:4:4 2;4 x2) :2 ;2,然后从2x2 范围内选取一个合适的整数作为 x的值 代入求值这个值可能是_. 【答案】2(答案不唯一) 。 【解析】先根据分
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