广东省汕头市澄海区2020-2021学年九年级上期末数学试卷（含答案解析）

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1、2020-2021 学年广东省汕头市澄海区九年级第一学期期末数学试卷学年广东省汕头市澄海区九年级第一学期期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的， 请将所选选项的字母填涂在答题卡中对应题号的方格内）请将所选选项的字母填涂在答题卡中对应题号的方格内） 1一元二次方程 x22x+10 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D无法确定 2如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向

2、大于 3 的数的概率是（ ） A B C D 3下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 4如图，在ABC 中，BAC32，将ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 50，对应得到ABC，则 CAB 的度数为（ ） A18 B82 C64 D100 5如图，AB 是O 的直径，BOC100，则D 的度数为（ ） A25 B50 C40 D80 6若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+10（a0）的一个解是 x1，则 2020ab 的值是（ ） A2025 B2015 C2021 D2019 7“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作九章算术中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大 小

3、，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问锯几何？”用现代的数学语言表述是：“如图，CD 为O 的直 径，弦 ABCD 垂足为 E，CE1 寸，AB10 寸，求直径 CD 的长”，依题意，CD 长为（ ） A12 寸 B13 寸 C24 寸 D26 寸 8 如图， 在长为 54 米、 宽为 38 米的矩形草地上修同样宽的路， 余下部分种植草坪 要使草坪的面积为 1800 平方米，设道路的宽为 x 米，则可列方程为（ ） A（54x）（38x）1800 B（54x）（38x）+x21800 C543854x38x1800 D54x+38x1800 9如图，将矩形 ABCD 绕点 B 顺时针旋转 90至矩

4、形 EBGF 的位置，连接 AC、EG，取 AC、EG 的中点 M、N，连接 MN，若 AB8，BC6，则 MN（ ） A8 B6 C5 D5 10如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点（3，0），对称轴为直线 x1结合图象分析下列结 论： abc0； 4a+2b+c0； 一元二次方程 ax2+bx+c0 的两根分别为 x13，x21； 2a+c0其中正确的结论有（ ）个 A1 B2 C3 D4 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分，请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置分，请将下列各题的正确答案填写在答题卡

5、相应的位置 上）上） 11点 P（3，2）关于原点对称的点在第 象限 12抛物线 y2x21 的顶点坐标是 13已知矩形的长和宽是方程 x29x+200 的两个实数根，则矩形的面积为 14如图，在O 中，AB 是直径，CD 是O 的切线，直线 AB 和 ED 交于点 C，ADE60，则C 的 度数为 15设 a，b 是一个直角三角形两条直角边的长，且（a2+b2）（a2+b21）6，则这个直角三角形的斜边 长为 16汽车刹车后行驶的距离 s（米）与行驶时间 t（秒）的函数关系是 s18t6t2，汽车从刹车到停下来所 用时间是 秒 17如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，C90，CD4，B

6、C9以 A 为旋转中心将腰 AB 顺时针 旋转 90至 AE，连接 DE，若 DEDB则ADE 的面积等于 三、解答题（一）（本大题共三、解答题（一）（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 18解方程：x243（x+2） 19如图，已知抛物线 yx2+bx+c 经过 A（3，0），C（0，3）两点 （1）求 b，c 的值； （2）求抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标，并结合图象，写出当 y0 时，x 的取值范围 20如图，在 RtABC 中，ACB90 （1）作O，使它过点 A、B、C（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的圆中，若

7、 AC2，AB4，求劣弧 BC 的长 四、解答题（二）（本大题共四、解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21为相应国家“一带一路”经济发展战略，树立品牌意识，我市质检部门对 A、B、C、D 四个厂家生产 的同种型号的零件共 2000 件进行合格率检测，通过检测得出 C 厂家的合格率为 95%，并根据检测数据 绘制了如图 1、图 2 两幅不完整的统计图 （1）抽查 D 厂家的零件为 件，扇形统计图中 D 厂家对应的圆心角为 （2）抽查 C 厂家的合格零件为 件，并将图 1 补充完整 （3）若要从 A、B、C、D 四个厂家中，随机抽取两个厂家参加

8、德国工业产品博览会，请用“列表法” 或“画树形图”的方法求出 A、B 两个厂家同时被选中的概率 22如图，将ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 90，得到ADE，点 B 的对应点为点 D，点 C 的对应点 E 落在 BC 边上，连接 BD （1）求证：DEBC； （2）若 AC3，BC7，求线段 BD 的长 23在一次聚会上，规定每两个人见面必须握 1 次手 （1）若参加聚会的人数为 6，则共握手 次，若参加聚会的人数为 n（n 为正整数），则共握手 次； （2）若参加聚会的人共握手 36 次，请求出参加聚会的人数； （3）小明由握手问题想到了一个数学问题：若线段 AB 上共有 m 个点（不含

9、端点 A、B），线段总数为 多少呢？请直接写出结论 五、解答题（三）（本大题共五、解答题（三）（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，ADCD，ACAB，O 为ABC 的外接圆 （1）如图 1，求证：AD 是O 的切线； （2）如图 2，CD 交O 于点 E，过点 A 作 AGBE，垂足为 F，交 BC 于点 G 求证：AGBG；若 AD4，CD5，求 GF 的长 25如图，抛物线经过 A（2，0），B（4，0），C（0，3）三点 （1）求抛物线的解析式； （2）在直线 BC 下方的抛物线上有一动点 P，使得PB

10、C 的面积最大，求点 P 的坐标； （3）点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使以 A，C，M，N 四点构成的四边形为平行 四边形？若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案参考答案 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的， 请将所选选项的字母填涂在答题卡中对应题号的方格内）请将所选选项的字母填涂在答题卡中对应题号的方格内） 1一元二次方程 x22x+10 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两

11、个相等的实数根 C没有实数根 D无法确定 【分析】根据根的判别式即可求出答案 解：由题意可知：（2）24110， 故选：B 2如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于 3 的数的概率是（ ） A B C D 【分析】根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其 发生的概率 解：共 6 个数，大于 3 的有 3 个， P（大于 3）； 故选：D 3下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图 形就叫做中心对称图形可得答案 解：A、不是中心对

12、称图形，故此选项不合题意； B、不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D 4如图，在ABC 中，BAC32，将ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 50，对应得到ABC，则 CAB 的度数为（ ） A18 B82 C64 D100 【分析】根据旋转可得CAC50，再根据角之间的和差关系可得答案 解：将ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 50， CAC50， BAC32， CAB50+3282， 故选：B 5如图，AB 是O 的直径，BOC100，则D 的度数为（ ） A25 B50 C40 D80 【分析】利

13、用平角的性质求出AOC，再利用圆周角定理即可解决问题 解：AOC180BOC18010080， DAOC40， 故选：C 6若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+10（a0）的一个解是 x1，则 2020ab 的值是（ ） A2025 B2015 C2021 D2019 【分析】根据关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+10（a0）的一个解是 x1，可以得到 a+b 的值，然后 将所求式子变形，再将 a+b 的值代入，即可解答本题 解：关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+10（a0）的一个解是 x1， a+b+10， a+b1， 2020ab 2020（a+b） 2020（1） 20

14、20+1 2021， 故选：C 7“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作九章算术中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大 小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问锯几何？”用现代的数学语言表述是：“如图，CD 为O 的直 径，弦 ABCD 垂足为 E，CE1 寸，AB10 寸，求直径 CD 的长”，依题意，CD 长为（ ） A12 寸 B13 寸 C24 寸 D26 寸 【分析】根据垂径定理和勾股定理求解 解：连接 OA，如图所示， 设直径 CD 的长为 2x，则半径 OCx， CD 为O 的直径，弦 ABCD 于 E，AB10 寸， AEBEAB105 寸， 连接 OA，则 OAx 寸， 根据勾

15、股定理得 x252+（x1）2， 解得 x13， CD2x21326（寸） 故选：D 8 如图， 在长为 54 米、 宽为 38 米的矩形草地上修同样宽的路， 余下部分种植草坪 要使草坪的面积为 1800 平方米，设道路的宽为 x 米，则可列方程为（ ） A（54x）（38x）1800 B（54x）（38x）+x21800 C543854x38x1800 D54x+38x1800 【分析】设道路的宽为 x 米，则种植草坪的部分可合成长（54x）米，宽为（38x）米的矩形，根据 草坪的面积为 1800 平方米，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解 解：设道路的宽为 x 米，则种植草坪的部分

16、可合成长（54x）米，宽为（38x）米的矩形， 依题意得：（54x）（38x）1800 故选：A 9如图，将矩形 ABCD 绕点 B 顺时针旋转 90至矩形 EBGF 的位置，连接 AC、EG，取 AC、EG 的中点 M、N，连接 MN，若 AB8，BC6，则 MN（ ） A8 B6 C5 D5 【分析】连接 BD，BF，DF，由矩形的性质可得点 M 是 BD 的中点，点 N 是 BF 的中点，由三角形中位 线定理可得 MNDF，由旋转的性质可得 DBBF10，DBF90，即可求解 解：如图，连接 BD，BF，DF， 四边形 ABCD，四边形 BEFG 都是矩形，M、N 是 AC、EG 的中点

17、， 点 M 是 BD 的中点，点 N 是 BF 的中点， MNDF， AB8，BC6， AC10， ACBD10， 将矩形 ABCD 绕点 B 顺时针旋转 90至矩形 EBGF 的位置， DBBF10，DBF90， DFBD10， MN5， 故选：D 10如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点（3，0），对称轴为直线 x1结合图象分析下列结 论： abc0； 4a+2b+c0； 一元二次方程 ax2+bx+c0 的两根分别为 x13，x21； 2a+c0其中正确的结论有（ ）个 A1 B2 C3 D4 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与

18、一元二次方程的关 系，逐项判断即可 解：抛物线开口向下，因此 a0，对称轴为 x10，因此 a、b 异号，所以 b0，抛物线与 y 轴交点 在正半轴，因此 c0，所以 abc0，故不正确； 当 x2 时，y4a+2b+c0，故正确； 抛物线与 x 轴交点（3，0），对称轴为 x1因此另一个交点坐标为（1，0），即方程 ax2+bx+c0 的两根为 x13，x21，故正确； 抛物线与 x 轴交点（1，0），所以 ab+c0，又 x1，有 2a+b0，所以 3a+c0，而 a0， 因此 2a+c0，故不正确； 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 4 分

19、，共分，共 28 分，请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置分，请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置 上）上） 11点 P（3，2）关于原点对称的点在第 二 象限 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得点 P（3，2）关于原点对称的点为（ 3，2），再根据点的坐标符号判断所在象限 解：点 P（3，2）关于原点对称的点为（3，2），在第二象限， 故答案为：二 12抛物线 y2x21 的顶点坐标是 （0，1） 【分析】利用顶点坐标公式直接求解 解：根据顶点坐标公式， 得顶点横坐标为 x0， 纵坐标为 y1，即（0，1） 13已知矩形的长和宽是方程 x29x+200

20、的两个实数根，则矩形的面积为 20 【分析】设矩形的长和宽分别为 x1、x2，矩形的长和宽是方程 x29x+200 的两个实数根，根据一元二 次方程 ax2+bx+c0 （a0） 的根与系数的关系得到 x1x220， 然后利用矩形的性质易求得到它的面积 解：设矩形的长和宽分别为 x1、x2， 根据题意得 x1x220， 所以矩形的面积x1 x 220 故答案为 20 14如图，在O 中，AB 是直径，CD 是O 的切线，直线 AB 和 ED 交于点 C，ADE60，则C 的 度数为 30 【分析】连接 OD，根据切线的性质和已知条件求得ADO30；由等腰三角形的性质知AADO 30；然后根据圆

21、周角定理得到COD2A60；最后根据直角三角形的性质来求C的度 数 解：如图，连接 OD， CD 是O 的切线，OD 是半径， ODEC， EDO90 ADE60， ADO30 ODOA， AADO30 COD2A60， C906030 故答案是：30 15设 a，b 是一个直角三角形两条直角边的长，且（a2+b2）（a2+b21）6，则这个直角三角形的斜边 长为 【分析】将 a2+b2看做整体解方程得 a2+b23 或 a2+b22（舍），从而得出 c2a2+b23，即可得答 案 解：（a2+b2）（a2+b21）6， （a2+b2）2（a2+b2）60， （a2+b23）（a2+b2+2）

22、0， 解得：a2+b23 或 a2+b22（舍）， 则 c2a2+b23， 这个直角三角形的斜边长为， 故答案为： 16汽车刹车后行驶的距离 s（米）与行驶时间 t（秒）的函数关系是 s18t6t2，汽车从刹车到停下来所 用时间是 1.5 秒 【分析】当汽车停下来时，S 最大，故将 s18t6t2写成顶点式，则顶点横坐标值即为所求 解：s18t6t2， 6（t1.5）2+13.5， 当 t1.5 秒时，s 取得最大值，即汽车停下来 故答案为：1.5 17如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，C90，CD4，BC9以 A 为旋转中心将腰 AB 顺时针 旋转 90至 AE，连接 DE，若 DE

23、DB则ADE 的面积等于 10 【分析】连接 BE，延长 DA，由旋转的性质可得 AEAB，BAE90，可证 AD 垂直平分 BE，可得 AMBE，BMMEAM，则可证四边形 DCBM 是矩形，可得 BCMD9，BMCD4，即可求解 解：如图，连接 BE，延长 DA， 以 A 为旋转中心将腰 AB 顺时针旋转 90至 AE， AEAB，BAE90， ABEAEB45， DEDB，AEAB， AD 垂直平分 BE， AMBE，BMMEAM， ADBC，C90， ADC90，BCBE， 四边形 DCBM 是矩形， BCMD9，BMCD4， AMBM4EM， ADMDAM5， ADE 的面积ADEM

24、5410， 故答案为 10； 三、解答题（一）（本大题共三、解答题（一）（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 18解方程：x243（x+2） 【分析】首先去括号，再合并同类项，最后十字相乘法分解因式，解两个一元一次方程即可 解：x243（x+2）， x243x+6， x23x100， （x5）（x+2）0， x+20 或 x50， x12，x25 19如图，已知抛物线 yx2+bx+c 经过 A（3，0），C（0，3）两点 （1）求 b，c 的值； （2）求抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标，并结合图象，写出当 y0 时，x 的取值范围 【分析】（1

25、）利用待定系数法解答； （2）由（1）中所求得的 b、c 的值可以确定函数解析式，将一般式转化为交点式，易得点 B 的坐标；结 合函数图象解答 解：（1）把 A（3，0），C（0，3）分别代入 yx2+bx+c，得 解得； （2）由（1）可得：抛物线 yx2+2x3（x+3）（x1），则 A（3，0），B（1，0） 观察函数图象知，当 y0 时，x 的取值范围是3x1 20如图，在 RtABC 中，ACB90 （1）作O，使它过点 A、B、C（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的圆中，若 AC2，AB4，求劣弧 BC 的长 【分析】（1）利用尺规作 AB 的垂直平分线，即

26、可作O，使它过点 A、B、C； （2）根据 AC2，AB4，利用弧长公式即可求劣弧 BC 的长 解：（1）如图，O 即为所求； （2）由（1）可知： OAOCAC2， OAC 是等边三角形， COA60， COB120， 答：劣弧 BC 的长为 四、解答题（二）（本大题共四、解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21为相应国家“一带一路”经济发展战略，树立品牌意识，我市质检部门对 A、B、C、D 四个厂家生产 的同种型号的零件共 2000 件进行合格率检测，通过检测得出 C 厂家的合格率为 95%，并根据检测数据 绘制了如图 1、图 2 两幅不

27、完整的统计图 （1）抽查 D 厂家的零件为 500 件，扇形统计图中 D 厂家对应的圆心角为 90 （2）抽查 C 厂家的合格零件为 380 件，并将图 1 补充完整 （3）若要从 A、B、C、D 四个厂家中，随机抽取两个厂家参加德国工业产品博览会，请用“列表法” 或“画树形图”的方法求出 A、B 两个厂家同时被选中的概率 【分析】（1）用 2000 乘以 D 所占的百分比得到抽查 D 厂家的零件数，然后用 360乘以 D 所占的百分 比得到得到扇形统计图中 D 厂家对应的圆心角； （2）用 2000 乘以 C 厂家的合格率得到抽查 C 厂家的合格零件数，然后补全条形统计图； （3）画树状图展

28、示所有 12 种等可能的结果数，再找出 A、B 两个厂家同时被选中的结果数，然后根据 概率公式求解 解：（1）抽查 D 厂家的零件为 2000（135%20%20%）500（件），扇形统计图中 D 厂家对应 的圆心角36090 （2）抽查 C 厂家的合格零件200095%20%380（件）， 条形统计图补充为： 故答案为 500，90，380； （3）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中 A、B 两个厂家同时被选中的结果数为 2， 所以 A、B 两个厂家同时被选中的概率 22如图，将ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 90，得到ADE，点 B 的对应点为点 D，点 C 的对应点 E

29、 落在 BC 边上，连接 BD （1）求证：DEBC； （2）若 AC3，BC7，求线段 BD 的长 【分析】 （1）由旋转的性质可得 ACAE，CAE90，AEDACE，可得ACEAEC45 AED，可得结论； （2）由直角三角形的性质可求 EC6，可求 BE1，由勾股定理可求 BD 的长 解：（1）将ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 90， ACAE，CAE90，AEDACE， ACEAEC45AED， DEC90， DEBC； （2）AEAC3，EAC90， EC6， BEBCEC1， 将ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 90， DEBC7， DB5 23在一次聚会上，规定每两个人见

30、面必须握 1 次手 （1）若参加聚会的人数为 6，则共握手 15 次，若参加聚会的人数为 n（n 为正整数），则共握手 n（n1） 次； （2）若参加聚会的人共握手 36 次，请求出参加聚会的人数； （3）小明由握手问题想到了一个数学问题：若线段 AB 上共有 m 个点（不含端点 A、B），线段总数为 多少呢？请直接写出结论 【分析】（1）利用握手的次数参加聚会的人数（参加聚会的人数1），即可求出结论； （2）利用（1）的结论及参加聚会的人共握手 36 次，即可得出关于 n 的一元二次方程，解之取其正值即 可得出结论； （3）利用线段的总数点的个数（点的个数1），即可得出结论 解：（1）若参加

31、聚会的人数为 6，共握手6515（次）， 若参加聚会的人数为 n（n 为正整数），共握手n（n1）（次） 故答案为：15；n（n1） （2）依题意得：n（n1）36， 整理得：n2n720， 解得：n19，n28（不合题意，舍去） 答：参加聚会的人数为 9 人 （3）线段 AB 上共有（m+2）（包含端点 A、B）个点， 线段总数为（m+2）（m+1）（条） 五、解答题（三）（本大题共五、解答题（三）（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，ADCD，ACAB，O 为ABC 的外接圆 （1）如图 1，求证：AD 是

32、O 的切线； （2）如图 2，CD 交O 于点 E，过点 A 作 AGBE，垂足为 F，交 BC 于点 G 求证：AGBG；若 AD4，CD5，求 GF 的长 【分析】（1）连接 OA，OB，OC，由 ACAB，OAOA，OCOB 可证出OACOAB（SSS）， 利用全等三角形的性质可得出OACOAB，即 AO 平分BAC，利用垂径定理可得出 AOBC，结合 ADBC 可得出 ADAO，由此即可证出 AD 是O 的切线； （2）连接 AE，由圆内接四边形对角互补结合BCE90可得出BAE90，由同角的余角相等 可得出BAGAEB，结合ABCACBAEB 可得出BAGABC，再利用等角对等腰可证

33、出 AGBG； 由ADCAFB90，ACDABF，ACAB 可证出ADCAFB（AAS），利用全等三角 形的性质可求出 AF，BF 的长，设 FGx，在 RtBFG 中，利用勾股定理可求出 x 的值，此题得解 【解答】（1）证明：如图 1，连接 OA，OB，OC， 在OAC 和OAB 中， ， OACOAB（SSS）， OACOAB， AO 平分BAC， AOBC 又ADBC， ADAO， AD 是O 的切线； （2）证明：如图 2，连接 AE BCE90， BAE90， 又AFBE， AFB90， BAG+EAFAEB+EAF90， BAGAEB， ABCACBAEB， BAGABC， AG

34、BG； 解：在ADC 和AFB 中， ， ADCAFB（AAS）， AFAD4，BFCD5， 设 FGx，在 RtBFG 中，FGx，BF5，BGAGx+4， FG2+BF2BG2，即 x2+52（x+4）2， x， FG 25如图，抛物线经过 A（2，0），B（4，0），C（0，3）三点 （1）求抛物线的解析式； （2）在直线 BC 下方的抛物线上有一动点 P，使得PBC 的面积最大，求点 P 的坐标； （3）点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使以 A，C，M，N 四点构成的四边形为平行 四边形？若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】（1）将点 A、

35、B、C 的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）由PBC 的面积SPHB+SPHC，即可求解； （3）分 AC 是边、AC 是对角线两种情况，利用平移的性质和中点公式即可求解 解：（1）将点 A、B、C 的坐标代入抛物线表达式得，解得， 故抛物线的表达式为 yx2x3； （2）设直线 BC 的表达式为 ymx+n，则，解得， 故直线 BC 的表达式为 yx3， 过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 H， 设点 P 的坐标为（x，x2x3），则点 H（x，x3）， 则PBC 的面积SPHB+SPHCPHOB4（x3x2+x+3） x2+3x， 0，故该抛物线开口向下，PBC 的面积存在最大值，此时 x2， 则点 P 的坐标为（2，3）； （3）存在，理由： 设点 N 的坐标为（m，n），则 nm2m3， 当 AC 是边时， 点 A 向下平移 3 个单位得到点 C，则点 M（N）向下平移 3 个单位得到点 N（M）， 则 03n 或 0+3n， 联立并解得或或（不合题意的值已舍去）； 当 AC 是对角线时， 则由中点公式得：（03）（0+n）， 联立并解得（不合题意的值已舍去）； 综上，点 N 的坐标为（2，3）或（，3）或（，3）