2021年高考数学大二轮专题复习第三编高难解答突破训练(二)含答案
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1、高难解答突破训练(二) 1.已知点 P 1,3 2 在椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)上,F(1,0)是椭圆的一个焦点 (1)求椭圆 C 的方程; (2)椭圆 C 上不与 P 点重合的两点 D, E 关于原点 O 对称, 直线 PD, PE 分别交 y 轴于 M, N 两点,求证:以 MN 为直径的圆被直线 y3 2截得的弦长是定值 解 (1)由题意可得, 1 a2 9 4b21,c1,a 2b2c2, 联立解得 a24,b23. 椭圆 C 的方程为x 2 4 y2 31. (2)证明:设直线 DE 的方程为 tyx,D(x1,y1),E(x1,y1). 联立 tyx, x2 4
2、 y2 31, 可得 y2 12 3t24. D 2 3t 3t24, 2 3 3t24 ,E 2 3t 3t24, 2 3 3t24 . 直线 PD 的方程为 y3 2 4 333t24 4 3t23t24(x1), 可得 M 0,3 2 4 333t24 4 3t23t24 , 直线 PE 的方程为 y3 2 4 333t24 4 3t23t24(x1), 可得 N 0,3 2 4 333t24 4 3t23t24 . 以 MN 为直径的圆的方程为 x2 y3 2 4 333t24 4 3t23t24 y3 2 4 333t24 4 3t23t24 0, 把 y3 2代入可得 x 2 48
3、9(3t24) 48t24(3t24)0, 即 x23 4. 解得 x 3 2 . 因此被直线 y3 2截得的弦长为 3,是定值. 2已知椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 3 2 ,焦距为 2 3. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若斜率为1 2的直线 l 与椭圆 C 交于 P, Q 两点(点 P, Q 均在第一象限), O 为坐标原点 证明:直线 OP,PQ,OQ 的斜率依次成等比数列; 若 Q与 Q 关于 x 轴对称,证明:tan POQ4 3. 解 (1)由题意可得, c a 3 2 , 2c2 3, 解得 a2, c 3, b2a2c21, 椭圆 C 的方程为
4、x 2 4y 21. (2)证明:设直线 l 的方程为 y1 2xm,P(x1,y1),Q(x2,y2), 由 y1 2xm, x2 4y 21, 消去 y 得 x22mx2(m21)0, 则 4m28(m21)4(2m2)0, 且 x1x22m,x1x22(m21), y1y2 1 2x1m 1 2x2m 1 4x1x2 1 2m(x1x2)m 2m 21 2 . kOPkOQy1y2 x1x2 m21 2 2(m21) 1 4k 2 PQ, 即直线 OP,PQ,OQ 的斜率依次成等比数列 由题可知,xOQxOQ, 由可知,tan xOQtan xOP1 4,tan xOQ0,tan xOP
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