2021年高考数学大二轮专题复习专题八 第2讲 新定义型、创新型、应用型试题突破
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1、第 2 讲 新定义型、创新型、应用型试题突破 考情研析 本讲内容主要考查学生的阅读理解能力,信息迁移能力,数学探究能力以 及创造性解决问题的能力高考中一般会以选择题的形式出现,分值 5 分,题目新而不难,备 考时要高度重视 核心知识回顾 1.新定义型问题 “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据 此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻 理解对于此类题中的新概念,对阅读理解能力有一定的要求但是,透过现象看本质,它们 考查的还是基础数学知识,所以说“新题”不一定是“难题”,掌握好三基,以不变应万变才 是制胜法宝 2创
2、新型问题 创新型试题在命题的立意,背景的取材,情境的设置,设问的方式等方面新颖灵活,解题 时要注意进行文字阅读训练, 培养从冗长的或不熟悉的问题情境中获取重要信息的能力, 加强 数学语言符号语言图形语言相互转换的能力训练, 善于把不熟悉的问题转化为熟悉的 问题来加以解决 3实际应用型问题 将实际问题抽象为数学问题,此类问题往往含有文字语言、符号语言、图表语言,要明确 题中已知量与未知量的数学关系,要理解生疏的情境、名词、概念,将实际问题数学化,将现 实问题转化为数学问题,构建数学模型,运用恰当的数学方法解模(如借助不等式、导数等工 具加以解决). 热点考向探究 考向 1 新定义型问题 例 1
3、(1)已知集合 M(x,y)|yf(x),若对于 (x1,y1)M, (x2,y2)M,使得 x1x2 y1y20 成立,则称集合 M 是“互垂点集”给出下列四个集合:M1(x,y)|yx21; M2(x,y)|yln x;M3(x,y)|yex;M4(x,y)|ysin x1其中是“互垂点集”集 合的为( ) AM1 BM2 CM3 DM4 答案 D 解析 设点 A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线上的两点,对于集合 M1,当 x10 时,y11,x1x2 y1y2y2x2 210 不成立,所以集合 M1不是“互垂点集”对于集合 M2,x0,当 x11 时,y10,x1x2y1y2x20
4、 不成立,所以集合 M2不是“互垂点集”对于集合 M3,当 x1 0 时,y11,x1x2y1y2y2ex20 不成立,所以集合 M3不是“互垂点集”排除 A,B, C.故选 D. (2)(2020 湖南省郴州市高三一模)丹麦数学家琴生(Jensen)是 19 世纪对数学分析做出卓越 贡献的巨人,特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果设函数 f(x)在(a, b)上的导函数为 f(x),f(x)在(a,b)上的导函数为 f(x),若在(a,b)上 f(x)0 恒成立,则 称函数 f(x)在(a,b)上为“凸函数”已知 f(x)exx ln xm 2x 2 在(1,4)上为“凸函数
5、”则 实数 m 的取值范围是( ) A(,2e1 Be1,) C e41 4, D(e,) 答案 C 解析 f(x)exx ln xm 2x 2 在(1,4)上为“凸函数” ,f(x)exln xmx1,f(x) ex1 xm0 在(1,4)上恒成立,f(x)e x1 xm 在(1,4)上单调递增,f(x)e 4m 1 4,f(x)0 恒成立,e 4m1 40,me 41 4.故选 C. 遇到新定义问题, 应耐心读题, 分析新定义的特点, 弄清新定义的性质 按新定义的要求, “照章办事”,逐条分析、验证、运算,使问题得以解决对于选择题,可以结合选项通过验 证,用排除、对比、特值等方法求解 定义
6、两个实数间的一种新运算:x*ylg (10 x10y),x,yR.对任意实数 a,b,c,给 出如下结论: (a*b)*ca*(b*c); a*bb*a; (a*b)c(ac)*(bc), 其中正确的是( ) A B C D 答案 D 解析 根据运算法则,可知(a*b)*clg (10a10b10c),a*(b*c)lg (10a10b10c),所 以(a*b)*ca*(b*c),故正确;结合相应式子的运算律,可知 a*bb*a,故正确;(a*b) clg (10a10b)c.(ac)*(bc)lg (10ac10bc)lg 10c(10a10b)lg (10a10b)c,所 以(a*b)c(
7、ac)*(bc),故正确所以正确的是,故选 D. 考向 2 创新型问题 例 2 (2020 山东省济南市模拟)已知水平地面上有一半径为 4 的球,球心为 O,在平行光 线的照射下,其投影的边缘轨迹为椭圆 C.如图椭圆中心为 O,球与地面的接触点为 E,OE 3.若光线与地面所成的角为 ,则 sin _,椭圆的离心率 e_ 答案 4 5 3 5 解析 连接 OO,在照射过程中,椭圆的短半轴长是球的半径,即 b4,由图可知O ABOBA1 2(AABBBA) 1 218090,可得AOB90,由 O 是中点,故 有球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴长,在直角三角形 OOE 中,OO2OE2OE23
8、2 4252,即 a5,ec a 3 5,sin OE OO 4 5. 高中数学创新试题呈现的形式是多样化的,但是考查的知识和能力并没有太大的变化, 解 决创新型问题应注意认真审题,深刻理解题意,开阔思路,发散思维,注意知识的迁移和综合 运用 在实数的原有运算法则(“ ”“”仍为通常的乘法和减法)中, 我们补充定义新运算“” 如下:当 ab 时,aba;当 a1), 2x 2(x2), x2(x2), 所以 f(x) x2(x1), x32(12), 可求出当 x1 时,函数 f(x)的最大值是1;当 1x2 时,函数 f(x)的最大值是 6.所以当 x2,2时,函数 f(x)(1x) x(2
9、x)的最大值为 6,选 C. 考向 3 实际应用型问题 例 3 (2020 辽宁省渤大附中、育明高中高三五模)一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将 来上大学的费用,从孩子一周岁生日开始,每年到银行储蓄 a 元一年定期,若年利率为 r 保持 不变,且每年到期时存款(含利息)自动转为新的一年定期,当孩子 18 岁生日时不再存入,将 所有存款(含利息)全部取回,则取回的钱的总数为( ) Aa(1r)17 Ba r(1r) 17(1r) Ca(1r)18 Da r(1r) 18(1r) 答案 D 解析 根据题意,当孩子 18 岁生日时,孩子在一周岁生日时存入的 a 元产生的本利合计 为 a(1r)17,
10、同理,孩子在 2 周岁生日时存入的 a 元产生的本利合计为 a(1r)16,孩子在 3 周 岁生日时存入的 a 元产生的本利合计为 a(1r)15,孩子在 17 周岁生日时存入的 a 元产生 的本利合计为 a(1r), 可以看成是以 a(1r)为首项, (1r)为公比的等比数列的前 17 项的和, 此时将存款(含利息)全部取回,则取回的钱的总数 Sa(1r)17a(1r)16a(1r) a(1r)(1r)171 1r1 a r(1r) 18(1r).故选 D. 求解应用题的一般步骤(四步法) (1)读题:读懂和深刻理解题意,并译为数学语言,找出主要关系; (2)建模:把主要关系近似化、形式化,
11、抽象成数学问题; (3)求解:化归为常规问题,选择合适的数学方法求解; (4)评价:对结果进行验证或评估,对误差加以调节,最后将结果应用于现实,作出解释 或验证 某网店是一家以销售袜子为主的店铺, 该网店月销量 L(x)(单位: 千双)是关于销售单价 x(单 位:元)的函数已知销售单价不低于 1 元当月销售量最少为 0.205 千双时,该店才会正常营 业,否则会亏本停业;当销售单价为 20 元时,月销售量恰好可以保证该店正常营业;当销售 单价不超过 4 元时,月销售量为 2.125 千双研究表明:当 4x20 时,月销售量 L(x)与销 售单价 x 的函数关系为 L(x) a x2b(a,b
12、为常数).记月销售额(单位:千元)为 f(x)x L(x),为使 f(x)达到最大值,则销售单价 x 应为( ) A1 元 B2 元 C3 元 D4 元 答案 D 解析 由题意得,当 1x4 时,L(x)2.125;当 x20 时,L(x)0.205;当 4x20 时,L(x) a x2b(a,b 为常数), 则 L(4)2.125, L(20)0.205,即 a 42b2.125, a 202b0.205, 解得 a32, b1 8, 所以 L(x)32 x2 1 8,故函数 L(x)的表达式为 L(x) 2.125,1x4, 32 x2 1 8,4x20. 故 f(x)x L(x) 2.1
13、25x,1x4, 32 x x 8,4x20. 当 1x4 时,f(x)为增函数,故当 x4 时,f(x)的最 大值为 8.5;当 40(i1,2,n), i1 n pi1,定义 X 的信息熵 H(X) i1 n pilog2pi( ) A若 n1,则 H(X)0 B若 n2,则 H(X)随着 p1的增大而增大 C若 pi1 n(i1,2,n),则 H(X)随着 n 的增大而增大 D 若 n2m, 随机变量 Y 所有可能的取值为 1, 2, , m, 且 P(Yj)pjp2m1j(j1, 2,m),则 H(X)H(Y) 答案 AC 解析 对于 A,若 n1,则 i1,p11,所以 H(X)(1
14、log21)0,所以 A 正确;对 于 B,若 n2,则 i1,2,p21p1,所以 H(X)p1log2p1(1p1) log2(1p1),当 p11 4时,H(X) 1 4 log2 1 4 3 4 log2 3 4 ,当 p13 4时,H(X) 3 4 log2 3 4 1 4 log2 1 4 ,两者相等, 所以 B 错误;对于 C,若 pi1 n(i1,2,n),则 H(X) 1 n log2 1 n nlog21 nlog2n, 则 H(X)随着 n 的增大而增大,所以 C 正确;对于 D,若 n2m,随机变量 Y 所有可能的取值 为 1,2,m,且 P(Yj)pjp2m1j(j1
15、,2,m).H(X) i1 2m pilog2pi i1 2m pilog21 pi p1log2 1 p1p2log2 1 p2p2m1log2 1 p2m1p2mlog2 1 p2m.H(Y)(p1p2m) log2 1 p1p2m(p2 p2m1) log2 1 p2p2m1(pmpm1) log2 1 pmpm1p1 log2 1 p1p2mp2 log2 1 p2p2m1 p2m1log2 1 p2p2m1p2mlog2 1 p1p2m,因为 pi0(i1,2,2m),所以 1 pi 1 pip2m1i, 所以 log21 pilog2 1 pip2m1i,所以 pilog2 1 p
16、ipilog2 1 pip2m1i,所以 H(X)H(Y),所以 D 错 误故选 AC. 5(2020 新高考卷)某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆心, A 是圆弧 AB 与直线 AG 的切点, B 是圆弧 AB 与直线 BC 的切点,四边形 DEFG 为矩形,BCDG,垂足为 C,tan ODC3 5,BHDG,EF12 cm, DE2 cm,A 到直线 DE 和 EF 的距离均为 7 cm,圆孔半径为 1 cm,则图中阴影部分的面积 为_ cm2. 答案 45 2 解析 设 OBOAr,如图,过点 A 作直线 DE 和 EF 的垂
17、线,垂足分别为 M,N,AN 交 CG 于点 P.由题意知 AMAN7,EF12,所以 NF5,又因为 DE2,所以 AP5,则 APPGNF5,所以AGP45,因为 BHDG,所以AHO45,因为 AG 与圆弧 AB 相切于 A 点,所以 OAAG,即OAH 为等腰直角三角形. 在 RtOQD 中,OQ5 2 2 r,DQ7 2 2 r,因为 tan ODCOQ DQ 3 5,所以 21 3 2 2 r255 2 2 r,解得 r2 2,所以等腰直角三角形 OAH 的面积为 S11 22 22 24,扇形 AOB 的面积为 S21 2 3 4 (2 2)23,所以阴影部分的面积为 S1S21
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