2021年高考数学大二轮专题复习专题八 第1讲 数学文化及核心素养类试题
《2021年高考数学大二轮专题复习专题八 第1讲 数学文化及核心素养类试题》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2021年高考数学大二轮专题复习专题八 第1讲 数学文化及核心素养类试题(20页珍藏版)》请在七七文库上搜索。
1、第 1 讲 数学文化及核心素养类试题 考情研析 数学文化与数学知识相结合,有效考查考生的阅读理解能力、抽象概括能 力、转化与化归能力,既体现了对数学应用性的考查,也体现了我国数学文化的源远流长高 考中多以选择题的形式出现,难度中等 核心知识回顾 1.以古代数学书籍九章算术 数书九章等书为背景的数学文化类题目 2与高等数学相衔接的题目,如几类特殊的函数:取整函数、狄利克雷函数、符号函数 3以课本阅读和课后习题为背景的数学文化类题目:割圆术、阿氏圆等 4以中外一些经典的数学问题为背景的题目,如:回文数、匹克定理、哥尼斯堡七桥问 题、四色猜想等经典数学小问题 热点考向探究 考向 1 三角函数中的数学
2、文化 例 1 (2020 河北省衡水中学第九次调研考试)我国古代数学家秦九韶在数书九章中记 述了“三斜求积术”,用现代式子表示即为:在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b, c,则ABC 的面积 S 1 4 (ab)2 a2b2c2 2 2 .根据此公式,若 a cos B(b3c)cos A 0,且 a2b2c22,则ABC 的面积为( ) A 2 B2 2 C 6 D2 3 答案 A 解析 由 a cos B(b3c)cos A0, 可得 sin A cos Bcos A sin B3sin C cos A0, 即 sin (AB)3sin C cos A0,即 sin C(
3、13cos A)0,因为 sin C0,所以 cos A1 3,由余弦定 理可得 a2b2c22bc cos A2 3bc2,所以 bc3,由ABC 的面积公式可得 S 1 4 (bc)2 c2b2a2 2 2 1 4(3 212) 2.故选 A. 我 国 南 宋 数 学 家 秦 九 韶 发 现 的 “ 三 斜 求 积 术 ” 虽 然 与 海 伦 公 式 (S p(pa)(pb)(pc),其中 p1 2(abc)在形式上不一样,但两者完全等价,它填 补了我国传统数学的一项空白 (2020 湖南省长郡中学高三第三次适应性考试)上世纪末河南出土的以鹤的尺骨(翅骨)制 成的“骨笛”(图 1),充分展
4、示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平,也印证了我国 古代音律与历法的密切联系图 2 为骨笛测量“春(秋)分”“夏(冬)至”的示意图图 3 是某 骨笛的部分测量数据(骨笛的弯曲忽略不计), 夏至(或冬至)日光(当日正午太阳光线)与春秋分日 光(当日正午太阳光线)的夹角等于黄赤交角 由历法理论知,黄赤交角近 1 万年持续减小,其正切值及对应的年代如表: 根据以上信息,通过计算黄赤交角,可估计该骨笛的大致年代是( ) A早于公元前 6000 年 B公元前 2000 年到公元元年 C公元前 4000 年到公元前 2000 年 D公元前 6000 年到公元前 4000 年 答案 A 解析 由题意,
5、可设冬至日光与垂直线夹角为 ,春秋分日光与垂直线夹角为 ,则 即为冬至日光与春秋分日光的夹角, 即黄赤交角, 由图 3 近似画出如图平面几何图形, 则 tan 16 101.6,tan 169.4 10 0.66,tan () tan tan 1tan tan 1.60.66 11.60.660.457. 0.4550.457105,C 错误;a4a1 3d5316 29 193 29 , a5a14d5416 29 209 29 , a 3a5a7 a2a4a6 3a5 3a4 a5 a4 209 193, D 正确 故 选 BD. 本题以传统数学文化为载体考查数列的实际应用问题 解题的关键
6、是将古代实际问题转化 为现代数学问题,建立等差、等比数列的模型,探索并掌握它们的一些基本数量关系,利用方 程思想求解 (2020 福建省宁德市二模)著名物理学家李政道说:“科学和艺术是不可分割的”音乐中 使用的乐音在高度上不是任意定的,它们是按照严格的数学方法确定的我国明代的数学家、 音乐理论家朱载堉创立了十二平均律,是第一个利用数学使音律公式化的人十二平均律的生 律法是精确规定八度的比例,把八度分成 13 个半音,使相邻两个半音之间的频率比是常数, 如表所示,其中 a1,a2,a13表示这些半音的频率,它们满足 log2 ai1 ai 12 1(i1,2, 12).若某一半音与 D#的频率之
7、比为32,则该半音为( ) 频率 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 半音 C C# D D# E F F# G G# A A# B C(八 度) A.F# BG CG# DA 答案 B 解析 由题意知 log2 ai1 ai 12 1(i1,2,12),a i1 ai 2 1 12 ,故数列an是公比 q 2 1 12 的等比数列 a4D#,a8a4q4D#(2 1 12 )4D#32G, G D# 3 2.故选 B. 考向 3 立体几何中的数学文化 例 3 我国齐梁时代的数学家祖暅提出了一条原理: “幂势既同, 则积不容异” 意思是: 两个
8、等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等 椭球 体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体如图,将底面直径都为 2b,高皆为 a 的椭半球体和已被 挖去了圆锥体的圆柱放臵于同一平面 上, 用平行于平面 且与平面 任意距离 d 处的平面截 这两个几何体, 可横截得到 S 圆及 S环两截面 可以证明 S圆S环总成立 据此, 半短轴长为 1, 半长轴长为 3 的椭球体的体积是_ 答案 4 解析 因为 S 圆S环总成立,则半椭球体的体积为 b 2a1 3b 2a2 3b 2a,所以椭球体的体 积为 V4 3b 2a,因为椭球体的半短轴长为 1,半长轴长为 3,所以椭球体的体积为 V
9、4 3b 2a 4 31 234,故答案是 4. 依托立体几何,传播数学文化立体几何是中国古代数学的一个重要研究内容,从中国古 代数学中挖掘素材,考查立体几何的线面的位臵关系、几何体的体积等知识,既符合考生的认 知水平,又可以引导学生关注中华优秀传统文化 (2020 山东省潍坊市模拟)唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图 1 所示,其浮雕临摹了国画、 漆绘 和墓室壁画,体现了古人的智慧与工艺它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体 (假设内壁表面光滑, 忽略杯壁厚度), 如图 2 所示 已知球的半径为 R, 酒杯内壁表面积为14 3 R2. 设酒杯上部分(圆柱)的体积为 V1,下部分(半球)的体积
10、为 V2,则V1 V2( ) A2 B3 2 C1 D3 4 答案 A 解析 由球的半径为 R,得半球的内部表面积为 2R2,又酒杯内壁表面积为14 3 R2,圆 柱的侧面积为8 3R 2.设圆柱的高为 h,则 2Rh8 3R 2,即 h4 3R.V1R 24 3R 4 3R 3,V2 2 3R 3,V1 V2 4 3R 3 2 3R 32.故选 A. 考向 4 概率中的数学文化 例 4 (2020 河北省张家口高三 5 月模拟)角谷猜想,也叫 3n1 猜想,是由日本数学家角 谷静夫发现的,是指对于每一个正整数,如果它是奇数,则对它乘 3 再加 1;如果它是偶数, 则对它除以 2,如此循环最终
11、都能够得到 1.如:取 n6,根据上述过程,得出 6,3,10,5, 16,8,4,2,1,共 9 个数若 n5,从根据上述过程得出的整数中,随机选取两个不同的 数,则这两个数都是偶数的概率为( ) A3 7 B 7 15 C2 5 D3 5 答案 C 解析 若 n5, 根据上述过程得出的整数有 5, 16,8,4,2,1, 随机选取两个不同的数, 基本事件总数 nC2 615,这两个数都是偶数包含的基本事件个数 mC 2 46,则这两个数都 是偶数的概率为 Pm n 6 15 2 5.故选 C. 数学文化渗透到概率数学中去, 不但丰富了数学的概率知识, 还提高了学生的文化素养 解 决此类问题
12、的关键是构建合理的概率模型,利用相应的概率计算公式求解. (2020 河南省六市高三一模)五行学说是华夏民族创造的哲学思想, 是华夏文明的重要组成 部分古人认为,天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成,如图,分别是金、木、水、 火、土彼此之间存在的相生相克的关系若从 5 类元素中任选 2 类元素,则 2 类元素相生的概 率为( ) A.1 2 B1 3 C1 4 D1 5 答案 A 解析 金、木、水、火、土彼此之间存在相生相克的关系从 5 类元素中任选 2 类元素, 基本事件总数 nC2 510,2 类元素相生包含的基本事件有 5 个,则 2 类元素相生的概率为 P 5 10 1 2.故选
13、 A. 考向 5 数学文化与现代科学 例 5 2016 年 1 月 14 日,国防科工局宣布,嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项 领导小组审议,正式开始实施如图所示,假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球 后,在月球附近一点 P 变轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行,之后卫星 在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行若用 2c1和 2c2分别表示椭 圆轨道和的焦距,用 2a1和 2a2分别表示椭圆轨道和的长轴长,给出下列式子: a1c1a2c2;a1c1a2c2;c1 a1a1c2. 其中正确式子的序号是( ) A B C D 答案 D 解析 观
14、察题图可知 a1a2, c1c2, a1c1a2c2, 即式不正确; a1c1a2c2|PF|, 即式正确;由 a1c1a2c20,c1c20,知a 1c1 c1 a 2c2 c2 ,即a1 c1a1c2, c1 a1 c2 a2. 即式正确,式不正确 (1)命题者抓住“嫦娥奔月”这个古老而又现代的浪漫话题,以探测卫星轨道为背景,抽 象出共一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆的几何性质, 并以加减乘除的方式构造两 个等式和两个不等式,考查椭圆的几何性质,可谓匠心独运 (2)注意到椭圆轨道和共一个顶点 P 和一个焦点 F,题目所给四个式子涉及长半轴长 和半焦距,从焦距入手,这是求解的关键,本
15、题对考生的数学能力进行了比较 全面的考查,是一道名副其实的小中见大、常中见新、蕴文化于现代科学技术应用之中的 好题 (2020 北京市东城区模拟) 标准对数远视力表(如图)采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式,标准对数远 视力表各行为正方形“E”形视标,且从视力 5.2 的视标所在行开始往上,每一行“E”的边长都 是下方一行“E”边长的1010倍,若视力 4.1 的视标边长为 a,则视力 4.9 的视标边长为( ) A10 4 5 a B10 9 10 a C10 4 5 a D10 9 10 a 答案 C 解析 设第 n 行视标边长为 an,第 n1 行视标边长为 an1,由题意可得
16、 an11010an an an110 1 10 ,则数列an为公比为 10 1 10 的等比数列,所以 a10a 10 1 10 8 10 4 5 a,则 视力 4.9 的视标边长为 10 4 5 a.故选 C. 真题押题 真题检验 1(2020 新高考卷)日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射 到晷面的影子来测定时间把地球看成一个球(球心记为 O),地球上一点 A 的纬度是指 OA 与 地球赤道所在平面所成角,点 A 处的水平面是指过点 A 且与 OA 垂直的平面在点 A 处放臵 一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点 A 处的纬度为北纬 40,则晷针与点 A 处的水平
17、 面所成角为( ) A20 B40 C50 D90 答案 B 解析 画出截面图如图所示,其中 CD 是赤道所在平面的截线,l 是点 A 处的水平面的截 线,依题意可知 OAl,AB 是晷针所在直线,m 是晷面的截线,依题意,晷面和赤道平面平 行, 晷针与晷面垂直, 根据平面平行的性质定理可得 mCD, 根据线面垂直的定义可得 ABm. 由于AOC40,mCD,所以OAGAOC40,由于OAGGAEBAE GAE90, 所以BAEOAG40,即晷针与点 A 处的水平面所成角为BAE40. 故选 B. 2(2020 全国卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层,上层中心 有一块圆形石
18、板(称为天心石),环绕天心石砌 9 块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加 9 块,下一层的第一环比上一层的最后一环多 9 块,向外每环依次也增加 9 块,已知每层环数 相同,且下层比中层多 729 块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)( ) A3699 块 B3474 块 C3402 块 D3339 块 答案 C 解析 设第 n 环扇面形石板块数为 an,第一层共有 n 环,则数列an是以 9 为首项,9 为 公差的等差数列,an9(n1)99n.设 Sn为数列an的前 n 项和,则第一层、第二层、第 三层的块数分别为 Sn,S2nSn,S3nS2n,因为下层比中层多 729 块,所以
19、S3nS2nS2nSn 729,即3n(927n) 2 2n(918n) 2 2n(918n) 2 n(99n) 2 729,即 9n2729,解 得 n9,所以 S3nS2727(9927) 2 3402.故选 C. 3. (2019 全国卷)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一印信的形状多为 长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图 1).半 正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美 图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的 棱长为 1.则该半正多面体共有
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 2021年高考数学大二轮专题复习专题八 第1讲 数学文化及核心素养类试题 2021 年高 数学 二轮 专题 复习 文化 核心 素养 试题
链接地址:https://www.77wenku.com/p-175413.html