2021年高考数学大二轮专题复习专题一 第2讲 复数与平面向量
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1、第 2 讲 复数与平面向量 考情研析 1.复数是高考必考内容,主要考查复数的概念与四则运算多为选择题、 填空题,难度为中低档 2高考对平面向量的考查主要有三个方面:考查平面向量的基本定理及基本运算,多 以考生熟知的平面图形为背景进行考查,多为选择题、填空题,难度为中低档;考查平面向 量的数量积,以选择题、填空题为主,难度为低档;向量作为工具,还可能与三角函数、解 三角形、不等式等知识结合考查 核心知识回顾 1.复数 (1)复数的有关概念 (2)运算法则 加减法:(abi) (cdi) 06(a c)(b d)i 乘法:(abi)(cdi) 07(acbd)(adbc)i 除法:abi cdi
2、(abi)(cdi) c2d2 08 (acbd)(bcad)i c2d2 2平面向量的数量积 (1)若 a,b 为非零向量,夹角为 ,则 a b 01|a|b| cos_ (2)设 a(x1,y1),b(x2,y2),则 a b 02x1x2y1y2 3两个非零向量平行、垂直的充要条件 若 a(x1,y1),b(x2,y2),则 (1)ab 01ab(b0)02x1y2x2y10 (2)ab 03a b004x1x2y1y20 4利用数量积求长度 (1)若 a(x,y),则|a| 01 a a 02_ x2y2 (2)若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 |AB | 03_ (x2x1
3、)2(y2y1)2 5利用数量积求夹角 若 a(x1,y1),b(x2,y2), 为 a 与 b 的夹角,则 cos 01 a b |a|b| 02 x1x2y1y2 x2 1y 2 1 x2 2y 2 2 6三角形“四心”向量形式的充要条件 设 O 为ABC 所在平面上一点,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,则 (1)O 为ABC 的外心 01|OA |OB |OC | a 2sin A (2)O 为ABC 的重心 02OA OB OC 0 (3)O 为ABC 的垂心 03OA OB OB OC OC OA (4)O 为ABC 的内心 04aOA bOB cOC 0 热点考向探究
4、考向 1 复数的概念及运算 例 1 (1)(2020 山东省淄博市高三一模)复数(ai) (2i)的实部与虚部相等, 其中 i 为虚数 单位,则实数 a( ) A3 B1 3 C1 2 D1 答案 B 解析 因为(ai)(2i)2a1(a2)i,若此复数的实部与虚部相等,则 2a1(a 2),解得 a1 3. (2)(2020 辽宁省渤大附中、育明高中五模)若复数a2i 1i (aR)为纯虚数,则|3ai|( ) A 13 B13 C10 D 10 答案 A 解析 由复数的运算法则,有a2i 1i (a2i)(1i) (1i)(1i) a2 2 2a 2 i,复数a2i 1i (aR) 为纯虚
5、数,则 a20, 2a0,即 a2,|3ai| 32a2 13.故选 A. (3)已知复数 z1,z2在复平面内对应的点关于虚轴对称,若 z112i,则z1 z2( ) A3 5 4 5i B3 5 4 5i C3 5 4 5i D3 5 4 5i 答案 D 解析 由题意可得,z112i,z212i,则z1 z2 12i 12i (12i)(12i) (12i)(12i) 3 5 4 5i.故选 D. (4)若复数 z 满足 2z z 312i, 其中 i 为虚数单位,z 是 z 的共轭复数, 则复数|z|( ) A3 5 B2 5 C4 D5 答案 D 解析 设复数 zabi,a,bR.2z
6、 z 312i,2(abi)(abi)312i,即 2aa3, 2bb12,解得 a3,b4,z34i,|z| 32425.故选 D. (1)复数运算的重点是除法运算,其关键是进行分母实数化,即分子、分母同乘分母的共 轭复数对一些常见的运算,如(1 i)2 2i,1i 1ii, 1i 1ii 等要熟记 (2)与复数z的模|z|和共轭复数有关的问题, 一般都要先设出复数z的代数形式zabi(a, bR),再代入条件,用待定系数法解决 1若复数 z 2 1i,其中 i 为虚数单位,则下列结论正确的是( ) Az 的虚部为i B|z|2 Cz2为纯虚数 Dz 的共轭复数为1i 答案 C 解析 由题意
7、得 z 2 1i 2(1i) (1i)(1i)1i.由 z1i 得复数 z 的虚部为1, 所以 A 不正确|z|1i| 2,所以 B 不正确由于 z2(1i)22i,所以 z2为纯虚数,所以 C 正确z1i 的共轭复数为 z 1i,所以 D 不正确故选 C. 2设复数 z 满足1z 1zi,则|z|( ) A1 B 2 C 3 D2 答案 A 解析 由题意知 1zizi,所以 zi1 i1 (i1)2 (i1)(i1)i,所以|z|1,故选 A. 3在复平面上,设点 O,A,B 对应的复数分别为 0,12i,2i,若过点 O,A,B 作平行四边形 OACB,则点 C 对应的复数是( ) A42
8、i B12i C3i D3i 答案 D 解析 由题意,得OA (1,2),OB (2,1),则OC OA OB (3,1),即 C( 3,1),对应复数为3i,故选 D. 考向 2 平面向量的概念及运算 例 2 (1)(2020 黑龙江省哈尔滨模拟)向量 a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示若向 量 ab 与 c 共线,则实数 ( ) A2 B1 C1 D2 答案 D 解析 根据图形可看出 2abc,满足 2ab 与 c 共线,2.故选 D. (2)已知向量 a(1,2),b(2,3),若 manb 与 2ab 共线(其中 m,nR 且 n0), 则m n( ) A2 B2 C1 2 D1
9、 2 答案 A 解析 因为 manb(m2n,2m3n),2ab(0,7),manb 与 2ab 共线,所以 m 2n0,即m n2.故选 A. (3)已知点 O(0,0),A(1,3),B(2,4),OP OA mAB .若点 P 在 y 轴上,则实数 m 的值为( ) A1 3 B1 4 C1 5 D1 6 答案 A 解析 由题意, 可得OA (1, 3), AB (3, 7), 所以OP OA mAB (3m1, 37m), 点 P 在 y 轴上,即 3m10,m1 3.故选 A. (4) (2020 东北三省三校高三第三次联合模拟)如图,在ABC 中,点 Q 为线段 AC 上靠近 点
10、A 的三等分点,点 P 为线段 BQ 上靠近点 B 的三等分点,则PA PC ( ) A1 3BA 2 3BC B5 9BA 7 9BC C1 9BA 10 9 BC D2 9BA 7 9BC 答案 B 解析 PA PC BA BP BC BP BA BC 2 3BQ BA BC 2 3(BA AQ )1 3BA BC 2 3 1 3AC 1 3BA BC 2 9(BC BA )5 9BA 7 9BC . 平面向量的线性运算有几何运算和坐标运算两种形式, 几何运算主要是利用三角形法则和 平面向量的基本定理,坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则进行求解解题过程 中要注意方程思想的运用及正
11、确使用运算法则 1(2020 海南省海口模拟)设向量 a(1,2),向量 b 是与 a 方向相同的单位向量,则 b ( ) A(1,2) B 5 5 ,2 5 5 C 1 5, 2 5 D 5 5 ,2 5 5 答案 B 解析 |a|(1)222 5,因为向量 b 是与 a 方向相同的单位向量,所以 b a |a| 1 5 , 2 5 5 5 ,2 5 5 ,故选 B. 2(2020 广东省茂名二模)设 a,b 是不共线的两个平面向量,已知AB a2b,BC 3a kb(kR),若 A,B,C 三点共线,则 k( ) A2 B2 C6 D6 答案 D 解析 根据题意, 若 A, B, C 三点
12、共线, 则AB BC , 又由AB a2b, BC 3akb(kR), 则有 k 2 3 1,解得 k6.故选 D. 3.如图,在OACB 中,E 是 AC 的中点,F 是 BC 上的一点,且 BC3BF,若OC mOE nOF ,其中 m,nR,则 mn 的值为( ) A1 B3 2 C7 5 D7 3 答案 C 解析 在平行四边形中OA BC ,OB AC ,OC OA OB ,因为 E 是 AC 的中点,所以AE 1 2AC 1 2OB ,所以OE OA AE OA 1 2OB ,因为 BC3BF,所以BF 1 3BC 1 3OA ,所以OF OB BF OB 1 3OA ,因为OC m
13、OE nOF ,所以OC m1 3n OA 1 2mn OB ,在OACB 中,OC OA OB ,所以 m1 3n1, 1 2mn1, 解得 m4 5, n3 5, 所以 mn7 5.故选 C. 考向 3 平面向量的数量积 例 3 (1)(2020 山东枣庄高三模拟)若向量 a(k,3),b(1,4),c(2,1),已知 2a3b 与 c 的夹角为钝角,则 k 的取值范围为( ) A(,3) B(3,) C(,3) D(3,) 答案 A 解析 因为 2a3b 与 c 的夹角为钝角,所以(2a3b) c0,即(2k3,6) (2,1)0,所 以 4k660,所以 k3.故选 A. (2)设 a
14、,b 是夹角为 60的单位向量,则 2ab 和 3a2b 的夹角为( ) A30 B60 C120 D150 答案 B 解析 由题意,因为 a,b 是夹角为 60的单位向量,a b|a|b|cos 601 2,则(2a b) (3a2b)6a22b2a b62 1 2 7 2,|2ab| (2ab)24a24a bb2 421 7,|3a2b|(3a2b)29a212a b4b2 9121 24 136 7,设 2ab 和 3a2b 的夹角为 ,则 cos (2ab) (3a2b) |2ab|3a2b| 7 2 7 7 1 2,即 60.故选 B. (3)(2020 广东省深圳二模)如图 1
15、是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图其阴离子 排列如图 2 所示,图 2 中圆的半径均为 1,且相邻的圆都相切,A,B,C,D 是其中四个圆的 圆心,则AB CD ( ) A24 B26 C28 D32 答案 B 解析 如图所示, 建立以 a, b 为一组基底的基向量, 其中|a|b|1 且a, b的夹角为60, AB 2a4b,CD 4a2b,AB CD (2a4b) (4a2b)8a28b220a b88 20111 226. (1)向量数量积有两种不同形式的计算公式:一是夹角公式 a b|a|b|cos ;二是坐标公式 a bx1x2y1y2. (2)用数量积求长度的方法: |a| a
16、 a; |a b|a22a bb2; 若 a(x, y), 则|a|x2y2. (3)用数量积公式求夹角:cos a b |a|b|. 1已知在边长为 3 的等边三角形 ABC 中,BD 1 2DC ,则AD AC ( ) A6 B9 C12 D6 答案 A 解析 AD AC (AC CD ) AC AC 2 3CB AC AC 22 3AC CB 322 333cos 1206.故选 A. 2已知|AB |1,|BC |2,若AB BC 0,AD DC 0,则|BD |的最大值为( ) A2 5 5 B2 C 5 D2 5 答案 C 解析 由题意可知,ABBC,CDAD,故四边形 ABCD
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