2021年高考数学大二轮专题复习专题一 第3讲 立体几何中的向量方法
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1、第 3 讲 立体几何中的向量方法 考情研析 以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点,常与空间线面关系 的证明相结合,热点为线面角、二面角的求解,均以解答题的形式进行考查,难度主要体现在 建立空间直角坐标系和准确计算上. 核心知识回顾 1.线、面的位置关系与向量的关系 设直线 l,m 的方向向量分别为 a(a1,b1,c1),b(a2,b2,c2),平面 , 的法向量分 别为 (a3,b3,c3),v(a4,b4,c4) (1)lmabakb 01a1ka2,b1kb2,c1kc2; (2)lmaba b 02003a1a2b1b2c1c20; (3)laa 04005a1a3b1b3c1
2、c30; (4)laak 06a1ka3,b1kb3,c1kc3; (5)vkv 07a3ka4,b3kb4,c3kc4; (6)vv 08009a3a4b3b4c3c40. 2三种空间角与空间向量的关系 (1)线线角:设 a,b 分别为异面直线 a,b 的方向向量,则两异面直线所成的角 满足 cos 01 |a b| |a|b|. (2)线面角:设 l 是斜线 l 的方向向量,n 是平面 的法向量,则斜线 l 与平面 所成的角 满足 sin 02 |l n| |l|n|. (3)二面角 如图(),AB,CD 是二面角 l 的两个半平面内与棱 l 垂直的直线,则二面角的大 小 03AB ,CD
3、 ; 如图()(),n1,n2分别是二面角 l 的两个半平面 , 的法向量,则二面角的 大小 满足 cos 04cosn1,n2或 cosn1,n2 热点考向探究 考向 1 利用向量证明平行与垂直 例 1 (1)(多选)(2020 山东省莱西一中、高密一中、枣庄三中高三模拟)在长方体 ABCD A1B1C1D1中,AB2 3,ADAA12,P,Q,R 分别是 AB,BB1,A1C 上的动点,下列结论 正确的是( ) A对于任意给定的点 P,存在点 Q 使得 D1PCQ B对于任意给定的点 Q,存在点 R 使得 D1RCQ C当 ARA1C 时,ARD1R D当 A1C3A1R 时,D1R平面
4、BDC1 答案 ABD 解析 如图所示,建立空间直角坐标系,设 P(2,a,0),a0,2 3,Q(2,2 3,b),b 0,2,设A1R A1C ,得到 R(22,2 3,22),0,1.D1P (2,a,2),CQ (2,0, b),D1P CQ 42b,当 b2 时,D1PCQ,A 正确;D1R (22,2 3,2),D1R CQ 2(22)2b,取 2 2b时,D1RCQ,B 正确;由 ARA1C,则AR A1C (2,2 3,2 2) ( 2 , 23 , 2) 4 12 4 4 0 , 解 得 1 5 , 此 时 AR D1R 2 5, 2 3 5 ,8 5 8 5, 2 3 5
5、,2 5 4 50,C 错误;由 A1C3A1R,则 R 4 3, 2 3 3 ,4 3 ,D1R 4 3, 2 3 3 ,2 3 , 设平面 BDC1的法向量为 n(x, y, z), 则 n BD 0, n DC1 0, 解得 n( 3, 1, 3),故D1R n0,故 D1R平面 BDC1,D 正确故选 ABD. (2)如图,在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中,底面 ABCD 为等腰梯形,ABCD,AB4, BCCD2,AA12,E,E1分别是棱 AD,AA1的中点 设 F 是棱 AB 的中点,证明:直线 E1E平面 FCC1; 证明:平面 D1AC平面 BB1C1C. 证明 如图,
6、过点 D 作 AB 的垂线交 AB 于点 G,则以点 D 为原点,DG,DC,DD1所在 直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,易得 A( 3,1,0),B( 3,3,0),C(0, 2,0),E1( 3,1,1),E 3 2 ,1 2,0 ,F( 3,1,0),D1(0,0,2),B1( 3,3,2),C1(0,2,2) CC1 (0,0,2),CF ( 3,1,0) 设平面 FCC1的法向量 n1(x,y,z), 则 2z0, 3xy0, 令 x1,得 n1(1, 3,0), 又E1E 3 2 ,1 2,1 ,故E1E n10, 又 E1E平面 FCC1, 所以 E1E平面
7、 FCC1. D1A ( 3,1,2),D1C (0,2,2), 设平面 D1AC 的法向量 n2(a,b,c), 由 n2 D1A 0, n2 D1C 0, 得 3ab2c0, 2b2c0, 令 b1,得 n2( 3,1,1) 同理易得平面 BB1C1C 的一个法向量 n3(1, 3,0), 因为 n2 n30,故平面 D1AC平面 BB1C1C. 利用空间向量证明平行与垂直的方法步骤 (1)建立空间直角坐标系,建系时,要尽可能地利用载体中的垂直关系 (2)建立空间图形与空间向量之间的关系,用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、 平面的要素 (3)通过空间向量的运算研究平行、垂直关系 (4
8、)根据运算结果解释相关问题 如图,在四棱锥 PABCD 中,PA底面 ABCD,ADAB,ABDC,ADDCAP2, AB1,点 E 为棱 PC 的中点证明: (1)BEDC; (2)BE平面 PAD; (3)平面 PCD平面 PAD. 证明 依题意,以点 A 为原点建立空间直角坐标系(如图),可得 B(1,0,0),C(2,2,0),D(0, 2,0),P(0,0,2)由 E 为棱 PC 的中点,得 E(1,1,1) (1)向量BE (0,1,1),DC (2,0,0), 故BE DC 0.所以 BEDC. (2)因为 PA平面 ABCD, AB 平面 ABCD, 所以 ABPA, 又因为
9、ABAD, PAADA, 所以 AB平面 PAD, 所以向量AB (1,0,0)为平面 PAD 的一个法向量, 而BE AB (0,1,1) (1,0,0)0,所以BE AB , 又 BE平面 PAD,所以 BE平面 PAD. (3)由(2)知平面 PAD 的一个法向量AB (1,0,0),向量PD (0,2,2),DC (2,0,0),设平 面 PCD 的法向量为 n(x,y,z), 则 n PD 0, n DC 0, 即 2y2z0, 2x0, 不妨令 y1,可得 n(0,1,1)为平面 PCD 的一个法向量 则 n AB (0,1,1) (1,0,0)0,所以 nAB . 所以平面 PC
10、D平面 PAD. 考向 2 利用空间向量求空间角 角度 1 利用空间向量求异面直线所成的角 例 2 (2020 山东省济南市高三 6 月模拟)已知直角梯形 ABCD 中,ADBC,ABBC,AB AD1 2BC,将直角梯形 ABCD(及其内部)以 AB 所在直线为轴顺时针旋转 90 ,形成如图所示 的几何体,其中 M 为CE 的中点 (1)求证:BMDF; (2)求异面直线 BM 与 EF 所成角的大小 解 (1)证法一:如图,连接 CE,设 CE 与 BM 交于点 N, 根据题意,知该几何体为圆台的一部分,且 CD 与 EF 相交, 故 C,D,F,E 四点共面, 因为平面 ADF平面 BC
11、E, 所以 CEDF, 因为 M 为CE 的中点,所以CBMEBM. 又 BCBE,所以 N 为 CE 的中点, BNCE,即 BMCE, 所以 BMDF. 证法二:如图,以点 B 为坐标原点,BE,BC,BA 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立 空间直角坐标系,设 AB1,则 ADAF1,BCBE2, 所以 B(0,0,0),M( 2, 2,0),D(0,1,1),F(1,0,1), 所以BM ( 2, 2,0),DF (1,1,0), 所以BM DF 2 20, 所以 BMDF. (2)解法一:如图,连接 DB,DN, 由(1)知,DFEN 且 DFEN, 所以四边形 ENDF 为
12、平行四边形,所以 EFDN, 所以BND 为异面直线 BM 与 EF 所成的角,设 AB1,则 BDDNBN 2, 所以BND 为等边三角形,所以BND60 , 所以异面直线 BM 与 EF 所成角的大小是 60 . 解法二:如图,以点 B 为坐标原点,BE,BC,BA 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立 空间直角坐标系,设 AB1,则 ADAF1,BE2, 所以 B(0,0,0),M( 2, 2,0),E(2,0,0),F(1,0,1), 所以BM ( 2, 2,0),EF (1,0,1), 所以 cosBM ,EF BM EF |BM |EF | 2 2 2 1 2, 所以异面直线
13、 BM 与 EF 所成角的大小是 60 . 角度 2 利用空间向量求线面角 例 3 (2020 山东省实验中学高考预测卷)如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是边 长为 2 的菱形,DAB60 ,ADP90 ,平面 ADP平面 ABCD,点 F 为棱 PD 的中点 (1)在棱 AB 上是否存在一点 E,使得 AF平面 PCE,并说明理由; (2)当二面角 DFCB 的余弦值为 2 4 时,求直线 PB 与平面 ABCD 所成的角 解 (1)在棱 AB 上存在点 E,使得 AF平面 PCE,点 E 为棱 AB 的中点 理由如下:如图,取 PC 的中点 Q,连接 EQ,FQ, 由题意,
14、得 FQCD 且 FQ1 2CD, 又 AECD 且 AE1 2CD, 故 AEFQ 且 AEFQ. 所以四边形 AEQF 为平行四边形 所以 AFEQ,又 EQ 平面 PCE,AF平面 PCE, 所以 AF平面 PCE. (2)如图,连接 BD,DE. 由题意知ABD 为正三角形,所以 EDAB,即 EDCD, 又ADP90 ,所以 PDAD, 又平面 ADP平面 ABCD,平面 ADP平面 ABCDAD, 所以 PD平面 ABCD, 故以点 D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系, 设 FDa(a0),则由题意知 D(0,0,0),F(0,0,a),C(0,2,0),B( 3,1,0)
15、,FC (0,2, a),CB ( 3,1,0), 设平面 FBC 的法向量为 m(x,y,z), 则 m FC 2yaz0, m CB 3xy0, 令 x1,则 y 3,z2 3 a , 所以取 m 1, 3,2 3 a , 易知平面 DFC 的一个法向量为 n(1,0,0), 因为二面角 DFCB 的余弦值为 2 4 , 所以|cosm,n|m n| |m|n| 1 412 a2 2 4 , 解得 a 3. 由于 PD平面 ABCD,所以 PB 在平面 ABCD 内的射影为 BD, 所以PBD 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角, 由题意知在 RtPBD 中,tanPBDPD BDa
16、 3, 从而PBD60 , 所以直线 PB 与平面 ABCD 所成的角为 60 . 角度 3 利用空间向量求二面角 例4 (2020 山东省济宁市模拟)如图, 三棱台ABCA1B1C1中, 侧面A1B1BA与侧面A1C1CA 是全等的梯形,若 AA1AB,AA1A1C1,AB2A1B14AA1. (1)若CD 2DA1 ,AE 2EB ,证明:DE平面 BCC1B1; (2)若二面角 C1AA1B 为 3,求平面 A1B1BA 与平面 C1B1BC 所成的锐二面角的余弦值 解 (1)证明:连接 AC1,BC1,在梯形 A1C1CA 中,AC2A1C1. CD 2DA1 , AC1A1CD,AD
17、 2DC1 , AE 2EB ,DEBC1. BC1 平面 BCC1B1,DE平面 BCC1B1, DE平面 BCC1B1. (2)AA1A1C1,AA1AC. 又 AA1AB,平面 A1B1BA平面 A1C1CAAA1, BAC 3, 在平面内过点 A 作 AC 的垂线,建立如图所示的空间直角坐标系, 不妨设 AA11,则 A1B1A1C12,AC4, A1(0,0,1),C(0,4,0),B(2 3,2,0),B1( 3,1,1) 设平面 A1B1BA 的法向量为 m(x,y,z), 则 m AB 2 3x2y0, m AB1 3xyz0, m(1, 3,0), 同理得平面 C1B1BC
18、的一个法向量为 n(1, 3,2 3), cosm,n m n |m|n| 1 4, 平面 A1B1BA 与平面 C1B1BC 所成的锐二面角的余弦值为1 4. 三种空间角的向量求法 (1)异面直线所成的角 ,可以通过两直线的方向向量的夹角 求得,即 cos|cos|. (2)直线与平面所成的角 可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角 求得, 即 sin |cos|. (3)二面角的大小可以利用分别在两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量的夹角(或其补 角)或通过二面角的两个面的法向量的夹角求得,它等于两个法向量的夹角或其补角 1如图,四边形 ABCD 为菱形,ABC120 ,E,F 是平面
19、 ABCD 同一侧的两点,BE 平面 ABCD,DF平面 ABCD,BE2DF,AEEC. (1)证明:平面 AEC平面 AFC; (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值 解 (1)证明:连接 BD,设 BDACG,连接 EG,FG,EF. 在菱形 ABCD 中,不妨设 GB1. 由ABC120 ,可得 AGGC 3. 由 BE平面 ABCD,ABBC,可知 AEEC. 又 AEEC,所以 EG 3,且 EGAC. 在 RtEBG 中,可得 BE 2,故 DF 2 2 . 在 RtFDG 中,可得 FG 6 2 . 在直角梯形 BDFE 中,由 BD2,BE 2,DF 2 2 , 可
20、得 EF3 2 2 . 从而 EG2FG2EF2,所以 EGFG. 又 ACFGG,可得 EG平面 AFC. 因为 EG 平面 AEC,所以平面 AEC平面 AFC. (2)如图,以点 G 为坐标原点,分别以GB ,GC 的方向为 x 轴、y 轴正方向,|GB |为单位长 度,建立空间直角坐标系 Gxyz. 由(1)可得 A(0, 3,0),E(1,0, 2),F 1,0, 2 2 ,C(0, 3,0),所以AE (1, 3, 2),CF 1, 3, 2 2 . 故 cosAE ,CF AE CF |AE |CF | 3 3 . 所以直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值为 3 3 . 2.
21、 (2020 湖南永州高三第三次模拟)在三棱柱 ABCA1B1C1中,侧面 ABB1A1底面 ABC, ABC90 ,且侧面 ABB1A1为菱形 (1)证明:A1B平面 AB1C1; (2)若A1AB60 ,AB2,直线 AC1与底面 ABC 所成角的正弦值为 5 5 ,求二面角 A1 AC1B1的余弦值 解 (1)证明:四边形 ABB1A1为菱形,A1BAB1, 平面 ABB1A1平面 ABC,且 AB 为交线,BCAB, BC平面 ABB1A1,BCA1B. BCB1C1,A1BB1C1, 又 AB1B1C1B1,A1B平面 AB1C1. (2)取 A1B1的中点 M,连接 BM,易证 B
22、M平面 ABC,且 ABBC,以 BA 所在直线为 x 轴,BC 所在直线为 y 轴,BM 所在直线为 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 设 BCt(t0),则 A(2,0,0),A1(1,0, 3),C(0,t,0), AA1 (1,0, 3),AC (2,t,0) 四边形 A1ACC1为平行四边形, AC1 AA1 A1C1 AA1 AC (3,t, 3), 易知平面 ABC 的一个法向量为 n(0,0,1), |cosAC1 ,n|AC1 n| |AC1 |n| 3 12t2 5 5 , 解得 t 3, AC1 (3, 3, 3) 设平面 AA1C1的法向量 n1(x1,y1,z1
23、), n1 AA1 x1 3z10, n1 AC1 3x1 3y1 3z10, 令 z11,则 n1( 3,2,1), 由(1)可得平面 AB1C1的一个法向量BA1 (1,0, 3), cosn1,BA1 n1 BA1 |n1|BA1 | 6 4 , 又二面角 A1AC1B1为锐角, 二面角 A1AC1B1的余弦值为 6 4 . 考向 3 立体几何中的探索性问题 例 5 (2020 河北省保定市一模)如图, 四边形 ABCD 为矩形, ABE 和BCF 均为等腰直 角三角形,且BAEBCFDAE90 ,EAFC. (1)求证:ED平面 BCF; (2)设BC AB, 问是否存在 , 使得二面
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