2021年高考必备公式、结论、方法、细节二：三角函数与平面向量

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1、高考必备公式、结论、方法、细节二：三角函数与平面向量 一、必备公式 1三角函数 (1)同角三角函数 平方关系： (又叫 1 字替换式)； 商数关系： (又叫切弦互化式)； (2)和差倍角关系 cos( )_ _； sin( )_ _； tan( ) ； sin 2 ； cos 2 ； tan 2 ； (3)辅助角公式： ，其中， ， ， 2正余弦定理 (1)正弦定理： a sin A c sin C2R，其中 R 为 ； 注意：正弦定理变式与性质： 边化正弦：a2R sin A，b ，c2R sin C； 正弦化边：sin A a 2R，sin B ，sin C c 2R； abc ； abc

2、 sin Asin Bsin C ； (2)余弦定理：a2 ； b2c2a22cacos_B； c2a2b22abcos_C 注意：变式：cos A ； cos Bc 2a2b2 2ac ； cos Ca 2b2c2 2ab (3)三角形面积 ：SABC1 2absin C 1 2bcsin A abc 4R SABC1 2( ) r(r 是切圆的半径) 3平面向量： (1)两点间向量表示：若 A(x1，y1)、B(x2，y2)，则AB ； (2)向量运算公式：若 a(x1，y1)、b(x2，y2) ，则： a b ； a ； a b ； |a| ； cosa，b ； a 在 b 方向上的投影

3、为： ； (3)平行与垂直定理： 共线定理：ab_ _ ； 垂直定理：ab _ _. 二、必备结论 1三角函数符号判断口诀： ，三切四余弦； 2诱导公式：口诀： ，符号看象限； 原则： 、大化小、小化锐； 3函数 ytan x 的定义域是：x|xR 且 ，kZ 4形如函数 yAsin(x)的图像及性质 (1)图像变换： 相位变换：ysin xysin(x)的规则是：左加(0)或右减(0) 个单位； 周期变换：ysin (x)ysin(x)的规则是：纵坐标不变，将横坐标缩小(伸长)为原来的 倍； 振幅变换： ysin (x) yAsin(x) 的规则是： 坐标不变，将 坐标缩小(伸长)为原来的|

4、A|倍； 注意：ysin xysin(x)变换规则是：先提取后者 x 的系数 ，然后在左(右)平移 个单位； (2)基本性质：定义域：解三角函数不等式用“ ” 值域： ；单调性： (3)周期公式：yAsin(x)(或 yAcos(x)的最小正周期 T ；y|Asin(x)|的周期 T . (3)对称性： 换元思想，将 yAsin(x)中的“x”看成 ysin x 中的“x”，采用整体代入求解 对称轴：最值处，令 sin(x) ，则 x (kZ)，可求得对称轴方程； 对称中心：零点处，令 sin(x) ，x (kZ)，可求得对称中心的横坐标； (4)奇偶性：利用“反向诱导法”理解掌握 若 yAs

5、in(x)，xR 是奇函数 (kZ)；若 yAsin(x)，xR 是偶函数 (kZ)； 若 yAcos(x)，xR 是奇函数 (kZ)；若 yAcos(x)，xR 是偶函数 (kZ)； 函数 yAtan(x)，xR 是奇函数 (kZ) 5平面向量： 是与 a 同方向的单位向量 共线第二定理：若 A、B、C 三点 OC xOA yOB 且 xy 6平面向量与三角形的心：OA OB OC 0点 O 为ABC 的 ( 交点)； OA OB OB OC OC OA 点 O 是ABC 的 ( 交点) 若动点 P 满足OP OA AB |AB | AC |AC | ，则点 P 的轨迹一定通过ABC 的 (

6、 交点) 7三角形中：sin(AB) ，cos(AB) ； sin AB 2 ， cosAB 2 ； 三角形中，任何一个角的 值恒大于 0； abABsin A sin BcosA cosB 三、必备方法 1三角函数求值、化简时，常用方法有： (1)化简的基本原则是：切化弦：公式 tan xsin x cos x；降次数：公式 cos 2 ，sin2 ； (2)和积转换法：运用公式(sin cos )2 2sin cos 解决 sin cos 与 sin cos 关系的变形、转化； (3)巧用“1”的变换：1sin2cos2cos2(1tan2)sin2 1 1 tan2 tan 4； (4)

7、整角转化： 运用相关角的互补、互余等特殊关系， 如 2( )()，() ， 2 2 等 2换元法：即整体思想，对于函数 yAsin(x)的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换 元的方法令 t ，将其转化为研究 ysin t 的性质 3确定 yAsin(x)b(A0，0)的步骤和方法： (1)观察确定 A，b：确定函数的最大值 M 和最小值 m，则 A ，bMm 2 . (2)通过 公式求 ：即 2 T . (3)特殊点代入求 ：通常代入“ 点”或“ 点”； 四、必备细节 1角度制与弧度制不可 使用； 2利用平方关系求值时，开方时要根据角的象限或范围，判断 后，正确取舍 3函数

8、 yAsin(x)的值域求解时，由内向外，先求 t 的范围，再结合 ysin t 的图像； 4 由函数 ysin x 的图象变换得到 yAsin(x)的图象， 如先伸缩， 再平移时， 要把 x 前面的 提取出来 5平面向量：(1)相等向量具有传递性，但平行向量不一定具有传递性(2)平行向量所在直线不一定平行 (3)向量平移后，起终点坐标 ，但向量坐标 2两个向量的夹角为 ，则有 a b0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有 bABsin Asin BcosAcosB 三、必备方法 1三角函数求值、化简时，常用方法有： (1)化简的基本原则是：切化弦：公式 tan xsin x cos x；降

9、次数：公式 cos 21cos 2 2 ，sin21cos 2 2 ； (2)和积转换法：运用公式(sin cos )21 2sin cos 解决 sin cos 与 sin cos 关系的变形、转化； (3)巧用“1”的变换：1sin2cos2cos2(1tan2)sin2 1 1 tan2 tan 4； (4)整角转化：运用相关角的互补、互余等特殊关系，如 2()()，()， 2 2 等 2换元法：即整体思想，对于函数 yAsin(x)的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换 元的方法令 tx，将其转化为研究 ysin t 的性质 3确定 yAsin(x)b(A0，0)的步

10、骤和方法： (1)观察确定 A，b：确定函数的最大值 M 和最小值 m，则 AMm 2 ，bMm 2 . (2)通过周期公式求 ：即 2 T . (3)特殊点代入求 ：通常代入“最值点”或“零点”； 四、必备细节 1角度制与弧度制不可混合使用； 2利用平方关系求值时，开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍 3函数 yAsin(x)的值域求解时，由内向外，先求 tx 的范围，再结合 ysin t 的图像； 4由函数 ysin x 的图象变换得到 yAsin(x)的图象，如先伸缩，再平移时，要把 x 前面的系数提取出来 5平面向量：(1)相等向量具有传递性，但平行向量不一定具有传递性(2)平行向量所在直线不一定平行 (3)向量平移后，起终点坐标改变，但向量坐标不变 2两个向量的夹角为锐角，则有 a b0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有 a b0，反之不成立