2021年高考必备公式、结论、方法、细节四：立体几何与空间向量

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1、高考必备公式、结论、方法、细节四：立体几何与空间向量 一、必备公式 1空间几何体的表面积与体积公式： (1)基本公式：圆：面积 S圆 ， 周长 C圆 ； 扇形：弧长 l扇形 ， 面积 S扇形 1 2R 2， 周长 C扇形l2R (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧2rl S圆锥侧 S圆台侧(r1r2)l (3)柱、锥、台和球的体积公式 柱体(棱柱和圆柱)：S表面积S侧2S底，V柱 ； 锥体(棱锥和圆锥) ： S表面积S侧S底， V锥 ； 台体(棱台和圆台) ： S表面积S侧S上S下，V台 ； 球： S球 ， V球 ； 2平行关系的判

2、定及性质定理： (1)线面的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外的一条直线与 的一条直线平行，则该直线与 此平面平行 (简记为“线线平行线面平行”) ， ， l 性质定理 一条直线与一个平面平行， 则过这条直线的任一平面与此平面 的 与该直线平行 (简记为“线面平行线线平行”) ， ， lb (2)面面的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条 与另一个平面平行，则这两个 平面平行 (简记为“线面平行面面平行”) a，b， ，a， b 性质定理 两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的 平行 (简记为“面面平行线线平行”) ，

3、 ， ab 注意：面面平行性质公理：两个平面平行，其中一个平面内的任意直线与另一个平面 ，(简记为“面面平行线面平行”) 3垂直关系的判定及性质定理： (1)线面的判定定理及性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的 直线都垂直，则该直 线与此平面垂直 (简记为“线线垂直线面垂直”) la，lb，a、b， l 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 a，b (2)面面的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的 ，则这两个平面垂直 (简记为“线面垂直面面垂直”) ， 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于 的直线与另一

4、 个平面垂直 (简记为“面面垂直线面垂直”) ，l， ， l 注意：线面垂直性质定理：一条直线垂直于一个平面，则 该平面内的任意直线，(简记为“线面垂直线线垂直”) 4空间向量与立体几何的求解公式： (1)异面直线成角：设 a，b 分别是两异面直线 l1，l2的方向向量，则 l1与 l2所成的角 满足：cos ； (2)线面成角：设直线 l 的方向向量为 a，平面 的法向量为 n，a 与 n 的夹角为 ， 则直线 l 与平面 所成的角为 满足：sin | | . (3)二面角：设 n1，n2分别是二面角 l 的两个半平面 ， 的法向量， 则两面的成角 满足：cos cosn1，n2 ； 注意：

5、二面角的平面角大小是向量 n1与 n2的夹角或是向量 n1与 n2的夹角的 ，具体情况要判断确定 (4)点到平面的距离：如右图所示，已知 AB 为平面 的一条斜线段，n 为平面 的法向量， 则点 B 到平面 的距离为：|BO | ，即向量BO 在法向量 n 的方向上的投影长. 二、必备结论 1直观图与原图的关系： (1)作图关系：位置： 性、 性不变； 长度：平行 x(z)轴的长度 ，平行 y 轴的长度 . (2)面积关系：S直观图 S原图； 2几个与球有关的内切、外接常用结论： (1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R，则： 若球为正方体的外接球，则 2R ； 若球为正方体的内切球，则 2R

6、a； 球与正方体的各棱相切，则 2R 2a. (2)长方体的长、宽、高分别为 a，b，c，则外接球直径长方体对角线，即：2R . (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为： . 3几种常见角的取值范围： 异面直线成角 二面角 线面角 向量夹角 直线的倾斜角 三、必备方法 1三视图还原方法： 法，具体步骤：根据三视图轮廓画长方体或正方体； 在底面画 ； 综合正视图和左视图进行提点连线； 验证与完善. 2平行构造的常用方法： 三角形 法； 平行四边形线法； 法. 注意：平行构造主要用于：异面直线求夹角； 平行关系的判定. 3垂直构造的常用方法： 等腰三角形 法； 法； 投影法. 4用向量证明空间

7、中的平行关系 (1)线线平行：设直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1和 v2，则 l1l2(或 l1与 l2重合) . (2)线面平行：设直线 l 的方向向量为 v，平面 的法向量为 u，则 l 或 l . (3)面面平行：设平面 和 的法向量分别为 u1，u2，则 . 5用向量证明空间中的垂直关系 (1)线线垂直：设直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1和 v2，则 l1l2v1v2 . (2)线面垂直：设直线 l 的方向向量为 v，平面 的法向量为 u，则 l . (3)面面垂直：设平面 和 的法向量分别为 u1和 u2，则 u1u2 . 6点面距常用方法：作点到面的垂线，点到垂足的

8、距离即为点到平面的距离； 法； 向量法 7外接球常用方法：将几何体补成长方体或正方体，则球直径= ； 过两个三角形的外接圆圆心作圆面垂线，则垂线交点即为外接球 ，找到球心即可求半径. 四、必备细节 1证明平行和垂直关系时，条件罗列要全面； 2用法向量求二面角时，要注意判断法向量夹角就是二面角还是二面角的补角； 3在解决角度和距离问题时，一定要遵循“一作、二 、三求解”的原则。 高考必备公式、结论、方法、细节四：立体几何与空间向量 一、必备公式 1空间几何体的表面积与体积公式： (1)基本公式：圆：面积 S圆r2， 周长 C圆2r； 扇形：弧长 l扇形R， 面积 S扇形1 2lR 1 2R 2，

9、 周长 C扇形l2R (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧2rl S圆锥侧rl S圆台侧(r1r2)l (3)柱、锥、台和球的体积公式 柱体(棱柱和圆柱)：S表面积S侧2S底，V柱Sh； 锥体(棱锥和圆锥) ：S表面积S侧S底，V锥1 3Sh； 台体(棱台和圆台) ： S表面积S侧S上S下，V台1 3(S 上S下 S上S下)h； 球： S球4R2 ， V球4 3R 3； 2平行关系的判定及性质定理： (1)线面的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外的一条直线与平面内的一条直线平行， 则该直线与此平 面平

10、行 (简记为“线线平行线面平行”) la，a，l l 性质定理 一条直线与一个平面平行， 则过这条直线的任一平面与此平面 的交线与该直线平行 (简记为“线面平行线线平行”) l，l，b lb (2)面面的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面 平行 (简记为“线面平行面面平行”) a，b，abP，a， b 性质定理 两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行 (简记为“面面平行线线平行”) ，a，b ab 注意：面面平行性质公理：两个平面平行，其中一个平面内的任意直线与另一个平面平行，(简记为“面面平行线面平行

11、”) 3垂直关系的判定及性质定理： (1)线面的判定定理及性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与 此平面垂直 (简记为“线线垂直线面垂直”) la，lb，a、b，abO l 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 a，b ab (2)面面的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 (简记为“线面垂直面面垂直”) l，l 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平 面垂直 (简记为“面面垂直线面垂直”) ，l，a，la l 注意：线面垂直性质定理：

12、一条直线垂直于一个平面，则垂直该平面内的任意直线，(简记为“线面垂直线线垂直”) 4空间向量与立体几何的求解公式： (1)异面直线成角：设 a，b 分别是两异面直线 l1，l2的方向向量，则 l1与 l2所成的角 满足：cos |a b| |a|b|； (2)线面成角：设直线 l 的方向向量为 a，平面 的法向量为 n，a 与 n 的夹角为 ， 则直线 l 与平面 所成的角为 满足：sin |cos |a n| |a|n|. (3)二面角：设 n1，n2分别是二面角 l 的两个半平面 ， 的法向量， 则两面的成角 满足：cos cosn1，n2 n1 n2 |n1| |n2|； 注意：二面角的

13、平面角大小是向量 n1与 n2的夹角或是向量 n1与 n2的夹角的补角，具体情况要判断确定 (4)点到平面的距离：如右图所示，已知 AB 为平面 的一条斜线段，n 为平面 的法向量， 则点 B 到平面 的距离为：|BO |AB n| |n| ，即向量BO 在法向量 n 的方向上的投影长. 二、必备结论 1直观图与原图的关系： (1)作图关系：位置：平行性、相交性不变； 长度：平行 x(z)轴的长度不变，平行 y 轴的长度减半. (2)面积关系：S直观图 2 4 S原图； 2几个与球有关的内切、外接常用结论： (1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R，则： 若球为正方体的外接球，则 2R 3a；

14、 若球为正方体的内切球，则 2Ra； 球与正方体的各棱相切，则 2R 2a. (2)长方体的长、宽、高分别为 a，b，c，则外接球直径长方体对角线，即：2R a2b2c2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为：31. 3几种常见角的取值范围： 异面直线成角(0， 2 二面角0， 线面角0， 2 向量夹角0， 直线的倾斜角0，) 三、必备方法 1三视图还原方法：提点连线法，具体步骤：根据三视图轮廓画长方体或正方体； 在底面画俯视图； 综合正视图和左视图进行提点连线； 验证与完善. 2平行构造的常用方法： 三角形中位线法； 平行四边形线法； 比例线段法. 注意：平行构造主要用于：异面直线求

15、夹角； 平行关系的判定. 3垂直构造的常用方法： 等腰三角形三线合一法；勾股定理法； 投影法. 4用向量证明空间中的平行关系 (1)线线平行：设直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1和 v2，则 l1l2(或 l1与 l2重合)v1v2. (2)线面平行：设直线 l 的方向向量为 v，平面 的法向量为 u，则 l 或 lvu. (3)面面平行：设平面 和 的法向量分别为 u1，u2，则 u1 u2. 5用向量证明空间中的垂直关系 (1)线线垂直：设直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1和 v2，则 l1l2v1v2v1 v20. (2)线面垂直：设直线 l 的方向向量为 v，平面 的法向量为 u，则 lvu. (3)面面垂直：设平面 和 的法向量分别为 u1和 u2，则 u1u2u1 u20. 6点面距常用方法：作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离； 等体积法； 向量法 7外接球常用方法：将几何体补成长方体或正方体，则球直径=体对角线； 过两个三角形的外接圆圆心作圆面垂线，则垂线交点即为外接球球心，找到球心即可求半径. 四、必备细节 1证明平行和垂直关系时，条件罗列要全面； 2用法向量求二面角时，要注意判断法向量夹角就是二面角还是二面角的补角； 3在解决角度和距离问题时，一定要遵循“一作、二证、三求解”的原则。