2021年高考必备公式、结论、方法、细节三：数列与不等式

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1、高考必备公式、结论、方法、细节三：数列与不等式 一、必备公式 1通项 an与前 n 项和 Sn的关系是：an . 2等差数列有关公式： (1)通项公式：an ； (2)前 n 项和公式：Sn . 3等比数列有关公式： (1)通项公式：an ； (2)前 n 项和公式：Sn . 4基本不等式： ； (1)基本不等式成立的条件： ； (2)等号成立的条件：当且仅当 . (3)基本不等式的变形：ab ，常用于求和的最小值；ab ，常用于求积的最大值； 5常用不等式： (1)重要不等式：a2b2 (a，bR)； (2)重要不等式链： ab 2 2ab ab； 二、必备结论 1等差数列常用结论： 若an

2、为等差数列，公差为 d，前 n 项和为 Sn，则有： (1)下标意识：若 pqmn，则 ，特别地，若 pq2k，则 ； (2)隔项等差：数列 ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为 的等差数列； (3)分段等差：数列 Sn，S2nSn，S3nS2n，是公差为 的等差数列； (4)数列Sn n 是公差为 的等差数列，其通项公式Sn n d 2n a1d 2 ； 2等差数列与函数关系： (1)经整理 andn(a1d)，则数列an是等差数列 通项 an为 函数：即 anknb (a、b 为常数)； (2)经整理 Snd 2n 2 a1d 2 n，数列an是等差数列 Sn为无 的 函数：即

3、SnAn2Bn(A、B 为常数) 3等比数列常用结论： 若an为等比数列，公比为 q，前 n 项和为 Sn，则有： (1)下标意识：若 pqmn，则 ，特别地，若 pq2k，则 ； (2)隔项等差：数列 an，ank，an2k，an3k，为 数列，公比为 . (3)分段等比：数列 Sn，S2nSn，S3nS2n仍成 数列，其公比为_ _. 4利用基本不等式求最值问题：已知 x0，y0，则 (1)如果 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最 值是 (简记：积定和最小) (2)如果 xy 是定值 q，那么当且仅当 xy 时，xy 有最 值是 (简记：和定积最大) 注意：使用基本不等式

4、求最值，“一 ”“二 ”“三 ”三个条件缺一不可 三、必备方法 1数列通项公式的几种求法： (1)利用 an与 Sn的关系：递推作差，具体步骤如下： 先利用 a1S1求出 a1； 利用 an (n2)求 an； 检验 a1否符合 an的表达式 (2) 法：形如 anan1f(n)或 anan1f(n)，用累加法求 an； (3) 法：形如 anan1f(n)或 an an1f(n)，用累加法求 an； (4)配凑构造等比数列：形如 (A0 且 A1)，用配凑法求 an，具体步骤如下： 设：an1xA(anx)； 求：x ； 配：an1 B A1A(an B A1) (5)导数构造等差数列：通常

5、有以下两种情况： 形如 an1 Aan BanA (A，B 为常数)，等号两边同时取 ，即可构造 1 an等差； 形如 an1anAan1an0，等号两边同时除以 ，即可构造 1 an等差. 2数列前 n 项和的几种求法： (1) 法：形如 an等差等比其它数列，用分组求和法，分别求和而后相加减； (2)裂项相消法：常用的裂项公式有： 1 nn1 1 n 1 n1； 1 2n12n1 ； 1 n n1 ； 2n 2n12n 11 ； n1 n2n22 1 4 (n+2)2n2 n2(n+2)2 1 4 1 (n+2)2 1 n2 (3) 法：形如 an等差等比，用错位相减法求解 (4) 法：形

6、如 an(1)nf(n)，用并项求和法求解，即列举前几项后，采用两项合并求解 3等差数列的题型和常用方法： (1)等差数列判定：定义法： “欲证等差，直接 ” ，即证 an1an定值； 等差中项法：即证 2an1 ； 函数结论法： 即an为一次函数或Sn为 的二次函数. (2)求等差数列前 n 项和 Sn最值的两种方法： 函数法：利用等差数列前 n 项和 Snan2bn，通过 或借助图象求二次函数最值的方法求解 正负分界法：即通过 an0(0)找到 an正负分界处，判断得出最大的前 n 项和为 Sn，具体如下： .当 a10，d0 且满足 am0， am10 时，S m最 ； .当 a10 且

7、满足 am0， am10 时， S m最 . 4等比数列的判定方法： (1)定义法： “欲证等比，直接 ” ，即证an 1 an q(q0 的常数)数列an是等比数列； (2)等比中项法：即证 a2n1 (anan1an20，nN*)数列an是等比数列 5不等式恒成立的常用方法 (1)形如 f(x)0 在 xR 上恒成立：用 法； 注意：讨论二次项系数是否等于 ； 要把不等式化成0 或0 的形式 (2)形如 f(x)m 在 xa，b上恒成立：优选： 法，即 f(x)minm 或 f(x)maxm； 次选：讨论图像法； (3)形如 f(x)0 在参数 ma，b 上恒成立：用 法，即把 f(x)看

8、成函数 g(m) 6基本不等式求最值常用方法： (1)“ ”字代换法； (2)配凑法：即配凑积或和为定值的形式； (3)解不等式法； 7线性规划是常见的目标函数： (1)截距型：形如 zaxby，通常转化为斜截式：ya bx z b，通过求截距 z b的最值间接求出 z 的最值 (2) 型：形如 z(xa)2(yb)2. (3) 型：形如 zyb xa. 四、必备细节 1由 anSnSn1求得的 an是从 n2 开始的，一定要对 n 时的情况进行验证 2 在运用等比数列 Sn时， 必须注意对 与 分类讨论， 防止因忽略 q1 这一特殊情形而导致解题失误 3使用基本不等式求 ，“一正”“二定”“

9、三相等”三个条件缺一不可 高考必备公式、结论、方法、细节三：数列与不等式 一、必备公式 1通项 an与前 n 项和 Sn的关系是：an S1，n1， SnSn1，n2. 2等差数列有关公式： (1)通项公式：ana1(n1)d； (2)前 n 项和公式：Snna1nn1 2 dna1an 2 . 3等比数列有关公式： (1)通项公式：ana1qn 1； (2)前 n 项和公式：Sn na1，q1， a11qn 1q a1anq 1q ，q1. 4基本不等式： abab 2 ； (1)基本不等式成立的条件：a0，b0； (2)等号成立的条件：当且仅当 ab. (3)基本不等式的变形：ab2 ab

10、，常用于求和的最小值；ab ab 2 2，常用于求积的最大值； 5常用不等式： (1)重要不等式：a2b2 2ab(a，bR)； (2)重要不等式链： a2b2 2 ab 2 ab 2ab ab； 二、必备结论 1等差数列常用结论： 若an为等差数列，公差为 d，前 n 项和为 Sn，则有： (1)下标意识：若 pqmn，则 apaqaman，特别地，若 pq2k，则 apaq2ak； (2)隔项等差：数列 ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为 md 的等差数列； (3)分段等差：数列 Sn，S2nSn，S3nS2n，是公差为 nd 的等差数列； (4)数列Sn n 是公差为d 2的

11、等差数列，其通项公式 Sn n d 2n a1d 2 ； 2等差数列与函数关系： (1)经整理 andn(a1d)，则数列an是等差数列 通项 an为一次函数：即 anknb (a、b 为常数)； (2)经整理 Snd 2n 2 a1d 2 n，数列an是等差数列 Sn为无常数项的二次函数：即 SnAn2Bn(A、B 为常数) 3等比数列常用结论： 若an为等比数列，公比为 q，前 n 项和为 Sn，则有： (1)下标意识：若 pqmn，则 apaqaman，特别地，若 pq2k，则 apaqak2； (2)隔项等差：数列 an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为 qk. (3)分

12、段等比：数列 Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为_qn_. 4利用基本不等式求最值问题：已知 x0，y0，则 (1)如果 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最小值是 2 p(简记：积定和最小) (2)如果 xy 是定值 q，那么当且仅当 xy 时，xy 有最大值是q 2 4(简记：和定积最大) 注意：使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可 三、必备方法 1数列通项公式的几种求法： (1)利用 an与 Sn的关系：递推作差，具体步骤如下： 先利用 a1S1求出 a1； 利用 anSnSn1(n2)求 an； 检验 a1否符合 an的表达

13、式 (2)累加法：形如 anan1f(n)或 anan1f(n)，用累加法求 an； (3)累乘法：形如 anan1f(n)或 an an1f(n)，用累加法求 an； (4)配凑构造等比数列：形如 an1AanB(A0 且 A1)，用配凑法求 an，具体步骤如下： 设：an1xA(anx)； 求：x B A1； 配：an1 B A1A(an B A1) (5)导数构造等差数列：通常有以下两种情况： 形如 an1 Aan BanA (A，B 为常数)，等号两边同时取倒数，即可构造 1 an等差； 形如 an1anAan1an0，等号两边同时除以 an1an，即可构造 1 an等差. 2数列前

14、n 项和的几种求法： (1)分组求和法：形如 an等差等比其它数列，用分组求和法，分别求和而后相加减； (2)裂项相消法：常用的裂项公式有： 1 nn1 1 n 1 n1； 1 2n12n1 1 2 1 2n1 1 2n1 ； 1 n n1 n1 n； 2n 2n12n 11 1 2n1 1 2n 11； n1 n2n22 1 4 (n+2)2n2 n2(n+2)2 1 4 1 (n+2)2 1 n2 (3)错位相减法：形如 an等差等比，用错位相减法求解 (4)并项求和法：形如 an(1)nf(n)，用并项求和法求解，即列举前几项后，采用两项合并求解 3等差数列的题型和常用方法： (1)等差

15、数列判定：定义法： “欲证等差，直接作差” ，即证 an1an定值； 等差中项法：即证 2an1anan2； 函数结论法：即 an为一次函数或 Sn为无常数项的二次函数. (2)求等差数列前 n 项和 Sn最值的两种方法： 函数法：利用等差数列前 n 项和 Snan2bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解 正负分界法：即通过 an0(0)找到 an正负分界处，判断得出最大的前 n 项和为 Sn，具体如下： .当 a10，d0 且满足 am0， am10 时，S m最大； .当 a10 且满足 am0， am10 时， S m最小. 4等比数列的判定方法： (1)定义法： “欲证等比，

16、直接作比” ，即证an 1 an q(q0 的常数)数列an是等比数列； (2)等比中项法：即证 a2n1anan2(anan1an20，nN*)数列an是等比数列 5不等式恒成立的常用方法 (1)形如 f(x)0 在 xR 上恒成立：用判别式法； 注意：讨论二次项系数是否等于 0； 要把不等式化成0 或0 的形式 (2)形如 f(x)m 在 xa，b上恒成立：优选：分参法，即 f(x)minm 或 f(x)maxm； 次选：讨论图像法； (3)形如 f(x)0 在参数 ma，b 上恒成立：用转换变量法，即把 f(x)看成函数 g(m) 6基本不等式求最值常用方法： (1)“1”字代换法； (2)配凑法：即配凑积或和为定值的形式； (3)解不等式法； 7线性规划是常见的目标函数： (1)截距型：形如 zaxby，通常转化为斜截式：ya bx z b，通过求截距 z b的最值间接求出 z 的最值 (2)距离型：形如 z(xa)2(yb)2. (3)斜率型：形如 zyb xa. 四、必备细节 1由 anSnSn1求得的 an是从 n2 开始的，一定要对 n1 时的情况进行验证 2在运用等比数列 Sn时，必须注意对 q1 与 q1 分类讨论，防止因忽略 q1 这一特殊情形而导致解题失误 3使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可