高中数学常用公式及常用结论

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1、 高中数学常用公式及常用结论高中数学常用公式及常用结论 1.包含关系 ABAABB UU ABC BC A U AC B U C ABR 2集合 12 , n a aa的子集个数共有2n 个；真子集有12 n 个；非空子集有2n 1 个；非空的真子集有2n2 个. 3.充要条件 若 pq，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件 p 是 q 的充分不必要条件 pq 且 qp p 是 q 的必要不充分条件 pq 且 qp p 是 q 的充要条件 pq p 是 q 的既不充分也不必要条件 pq且qp 4.全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定 命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定

2、 全称命题 对 M 中任意一个 x， 有 p(x)成立 xM，p(x) x0M，綈 p(x0) 特称命题 存在 M 中的一个 x0， 使 p(x0)成立 x0M，p(x0) xM，綈 p(x) 5.函数的单调性 (1)设 2121 ,xxbaxx那么 1212 ()( )()0 xxf xf xbaxf xx xfxf ,)(0 )()( 21 21 在 上是增函数； 1212 ()( )()0 xxf xf xbaxf xx xfxf ,)(0 )()( 21 21 在 上是减函数. (2)设函数)(xfy 在某个区间内可导，如果0)( x f，则)(xf为增函数；如果0)( x f，则)(

3、xf为减函 数. 6.如果函数)(xf和)(xg都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(xgxf也是减函数; 如果函数)(ufy 和 )(xgu 在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)(xgfy 是增函数. 7奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么 这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数 8.若函数)(xfy 是偶函数， 则)()(axfaxf； 若函数)(axfy是偶函数， 则)()(axfaxf. 9.对于函数)(xfy (Rx),)()(xbfaxf恒成立,则函数

4、)(xf的对称轴是函数 2 ba x ;两个函数 )(axfy与)(xbfy 的图象关于直线 2 ba x 对称. 10.若)()(axfxf,则函数)(xfy 的图象关于点)0 , 2 (a对称; 若)()(axfxf,则函数)(xfy 为 周期为a2的周期函数. 11.函数( )yf x的图象的对称性 (1)函数( )yf x的图象关于直线xa对称()()f axf ax(2)( )faxf x. (2)函数( )yf x的图象关于直线 2 ab x 对称()()f amxf bmx()()f abmxf mx. 12.几个常见的函数方程 (1)正比例函数( )f xcx(2)指数函数(

5、) x f xa(3)对数函数( )logaf xx(4)幂函数( )f xx,. (5)余弦函数( )cosf xx,正弦函数( )sing xx 13.几个函数方程的周期(约定 a0) （1）)()(axfxf，则)(xf的周期 T=a； （2）)()(axfxf， 或)0)( )( 1 )(xf xf axf， 或 1 () ( ) f xa f x ( () 0 )f x ,则)(xf的周期T=2a； (3)0)( )( 1 1)( xf axf xf，则)(xf的周期 T=3a； 14.分数指数幂 (1) 1 m n nm a a （0,am nN，且1n ）.(2) 1 m n m

6、 n a a （0,am nN，且1n ）. 15根式的性质 （1）()n n aa.（2）当n为奇数时， nn aa；当n为偶数时， ,0 | ,0 nn a a aa a a . 16.指数式与对数式的互化式 log b a NbaN(0,1,0)aaN. 17.对数的换底公式 log log log m a m N N a (0a,且1a ,0m,且1m, 0N ). 推论 loglog m n a a n bb m (0a,且1a ,0m n ,且1m,1n , 0N ). 18对数的四则运算法则 若 a0，a1，M0，N0，则 (1)log ()loglog aaa MNMN;(2)

7、 logloglog aaa M MN N ;(3)loglog() n aa MnM nR. 19.设函数)0)(log)( 2 acbxaxxf m ,记acb4 2 .若)(xf的定义域为R,则0a，且0;若 )(xf的值域为R,则0a，且0.对于0a的情形,需要单独检验. 20. 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有(1)xyNp. 21.数列的同项公式与前 n 项的和的关系 1 1 ,1 ,2 n nn sn a ssn ( 数列 n a的前 n 项的和为 12nn saaa). 22.等差数列的通项公式 * 11 (1)() n

8、aanddnad nN； 其前 n 项和公式为 1 () 2 n n n aa s 1 (1) 2 n n nad 23.等比数列的通项公式 1* 1 1 () nn n a aa qqnN q ； 其前 n 项的和公式为 1 1 (1) ,1 1 ,1 n n aq q sq na q 或 1 1 ,1 1 ,1 n n aa q q qs na q . 24常见三角不等式 2 1 1 () 22 d nad n （1）若(0,) 2 x ，则sintanxxx.(2) 若(0,) 2 x ，则1 sincos2xx. 25.同角三角函数的基本关系式 22 sincos1，tan= cos

9、sin 26.正弦、余弦的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2k(kZ) 2 2 正弦 sin sin sin sin cos cos 余弦 cos cos cos cos sin sin 正切 tan tan tan tan 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 27.和角与差角公式 sin()sincoscossin; cos()coscossinsin; tantan tan() 1tantan . sincosab= 22 sin()ab(辅助角所在象限由点( , )a b的象限决定,tan b a ). 28.二倍角公式 cossin22sin. 2222

10、cos2cossin2cos11 2sin （升幂公式） cos21cos 2 2 ；sin21cos 2 2 ；(降幂公式） 2 2tan tan2 1tan . 29.三角函数的周期公式 函数sin()yx， xR 及函数cos()yx， xR(A,为常数， 且 A0， 0)的周期 2 T ； 函数tan()yx，, 2 xkkZ (A,为常数，且 A0，0)的周期T . 30.正弦定理 2 sinsinsin abc R ABC . 31.余弦定理 222 2cosabcbcA; 222 2cosbcacaB; 222 2coscababC. 32.面积定理 （1） 111 222 ab

11、c Sahbhch（ abc hhh、 、分别表示 a、b、c 边上的高）. （2） 111 sinsinsin 222 SabCbcAcaB. 33.三角形内角和定理 在ABC 中，有()ABCCAB 222 CAB 222()CAB. 34.平面向量基本定理 如果 e e1 1、e e 2 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1、2， 使得 a=a=1e e1+ +2e e2 不共线的向量 e e1、e e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底基底 35. a a与 b b 的数量积(或内积) a ab b=|a a|b b|cos 36. ab

12、的几何意义 数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos的乘积 37.平面向量的坐标运算 (1)设 a a= 11 ( ,)x y,b b= 22 (,)xy，则 a+b=a+b= 1212 (,)xxyy. (2)设 a a= 11 ( ,)x y,b b= 22 (,)xy，则 a a- -b=b= 1212 (,)xxyy. (3)设 A 11 ( ,)x y，B 22 (,)xy,则 2121 (,)ABOB OAxx yy. (4)设 a a=( , ),x yR，则a=a=(,)xy. . (5)设 a a= 11 ( ,)x y,b b= 22

13、(,)xy，则 a ab=b= 1212 ()x xy y. 两向量的夹角公式公式 1212 2222 1122 cos x xy y xyxy (a a= 11 ( ,)x y,b b= 22 (,)xy). 平面两点间的距离公式 ,A B d=|ABAB AB 22 2121 ()()xxyy(A 11 ( ,)x y，B 22 (,)xy). 向量的平行与垂直 设 a a= 11 ( ,)x y,b b= 22 (,)xy，且 b b0 0，则 a a|b bb b=a a 1221 0 x yx y. a ab(ab(a0)0)a ab b= =0 1212 0 x xy y. 38.

14、三角形的重心坐标公式 ABC 三个顶点的坐标分别为 11 A(x ,y )、 22 B(x ,y )、 33 C(x ,y ),则ABC 的重心的坐标是 123123 (,) 33 xxxyyy G . 39. 三角形五“心”向量形式的充要条件 设O为ABC所在平面上一点，角, ,A B C所对边长分别为, ,a b c，则 （1）O为ABC的外心 222 OAOBOC. （2）O为ABC的重心0OA OBOC. （3）O为ABC的垂心OA OBOB OCOC OA. （4）O为ABC的内心0aOA bOBcOC. （5）O为ABC的A的旁心aOAbOBcOC. 40.基本不等式： （1）,

15、a bR 22 2abab(当且仅当 ab 时取“=”号) （2）, a bR 2 ab ab (当且仅当 ab 时取“=”号) 注：已知yx,都是正数，则有 （1）若积xy是定值p，则当yx 时和yx有最小值p2； （2）若和yx是定值s，则当yx 时积xy有最大值 2 4 1 s. 41.含有绝对值的不等式 当 a 0 时，有 2 2 xaxaaxa . 22 xaxaxa或xa . 42.指数不等式与对数不等式 (1)当1a 时： ( )( ) ( )( ) f xg x aaf xg x; ( )0 log( )log( )( )0 ( )( ) aa f x f xg xg x f

16、xg x . (2)当01a时： ( )( ) ( )( ) f xg x aaf xg x; ( )0 log( )log( )( )0 ( )( ) aa f x f xg xg x f xg x 43.斜率公式 21 21 yy k xx （ 111 ( ,)P x y、 222 (,)P xy）. 44.直线的五种方程 （1）点斜式 11 ()yyk xx (直线l过点 111 ( ,)P x y，且斜率为k) （2）斜截式 ykxb(b 为直线l在 y 轴上的截距). （3）两点式 11 2121 yyxx yyxx ( 12 yy)( 111 ( ,)P x y、 222 (,)P

17、 xy ( 12 xx). (4)截距式 1 xy ab (ab、分别为直线的横、纵截距，0ab、) （5）一般式 0AxByC(其中 A、B 不同时为 0). 45.两条直线的平行和垂直 (1)若 111 :lyk xb， 222 :lyk xb 121212 |,llkk bb; 121 2 1llk k . (2)若 1111 :0lAxB yC, 2222 :0lA xB yC,且 A1、A2、B1、B2都不为零, 111 12 222 | ABC ll ABC ； 121212 0llA AB B ； 46常用直线系方程 (1)平行直线系方程：直线ykxb中当斜率 k 一定而 b 变

18、动时，表示平行直线系方程与直线 0AxByC平行的直线系方程是0AxBy(0)，是参变量 (2)垂直直线系方程：与直线0AxByC (A0，B0)垂直的直线系方程是0BxAy,是 参变量 47.点到直线的距离 00 22 |AxByC d AB (点 00 (,)P xy,直线l：0AxByC). 48. 圆的方程 （1）圆的标准方程 222 ()()xaybr. （2）圆的一般方程 22 0 xyDxEyF( 22 4DEF0). （3）圆的参数方程 cos sin xar ybr .即三角换元 49.点与圆的位置关系 点 00 (,)P xy与圆 222 )()(rbyax的位置关系有三种

19、 若 22 00 ()()daxby，则 dr点P在圆外;dr点P在圆上;dr点P在圆内. 50.直线与圆的位置关系 直线0CByAx与圆 222 )()(rbyax的位置关系有三种: 0相离rd; 0相切rd; 0相交rd. 其中 22 BA CBbAa d . 51.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2，dOO 21 条公切线外离4 21 rrd; 条公切线外切3 21 rrd; 条公切线相交2 2121 rrdrr; 条公切线内切1 21 rrd; 无公切线内含 21 0rrd. 52.圆的切线方程 (1)已知圆 22 0 xyDxEyF 若已知切

20、点 00 (,)xy在圆上，则切线只有一条，其方程是 00 00 ()() 0 22 D xxE yy x xy yF . 当 00 (,)xy圆外时, 00 00 ()() 0 22 D xxE yy x xy yF 表示过两个切点的切点弦方程 过圆外一点的切线方程可设为 00 ()yyk xx，再利用相切条件求 k，这时必有两条切线，注意不要 漏掉平行于 y 轴的切线 斜率为 k 的切线方程可设为ykxb，再利用相切条件求 b，必有两条切线 (2)已知圆 222 xyr 过圆上的 000 (,)P x y点的切线方程为 2 00 x xy yr; 斜率为k的圆的切线方程为 2 1ykxrk

21、. 53椭圆的概念 平面内与两个定点 F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦 点间的距离叫做椭圆的焦距 集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c0，c0，且 a，c 为常数 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21 (ab0) y2 a2 x2 b21 (ab0) 图形 性 质 范围 axa byb bxb aya 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 坐标 A1(a,0)，A2(a,0) B1(0，b)，B2(0，b) A1(0，a)，A2(0，a) B1(b,0)，B2(b,0) 轴 长轴 A1

22、A2的长为 2a；短轴 B1B2的长为 2b 焦距 |F1F2|2c 离心率 ec a(0,1) a，b，c 的关系 a2b2c2 椭圆的切线方程 （1）椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上一点 00 (,)P xy处的切线方程是 00 22 1 x xy y ab . （2）过椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 外一点 00 (,)P xy所引两条切线的切点弦方程是 54.双曲线的概念 平面内与两个定点 F1， F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线 这两个定点叫做双曲线 的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 集合 PM|MF1|MF2

23、|2a，|F1F2|2c2a，其中 a，c 为常数且 a0，c0. 双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21 (a0，b0) y2 a2 x2 b21 (a0，b0) 图形 性 质 范围 xa 或 xa，yR xR，ya 或 ya 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A1(a,0)，A2(a,0) A1(0，a)，A2(0，a) 渐近线 y b ax y a bx 离心率 ec a，e(1，)，其中 c a 2b2 实虚轴 线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a，线段 B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a 叫做双曲 线的实半轴长，

24、b 叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c 的关系 c2a2b2 (ca0，cb0) 双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为1 2 2 2 2 b y a x 渐近线方程： 22 22 0 xy ab x a b y. (2)若渐近线方程为x a b y0 b y a x 双曲线可设为 2 2 2 2 b y a x . (3)若双曲线与1 2 2 2 2 b y a x 有公共渐近线，可设为 2 2 2 2 b y a x （0，焦点在 x 轴上，0，焦点在 y 轴上）. 双曲线的切线方程 00 22 1 x xy y ab (1)双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab

25、上一点 00 (,)P xy处的切线方程是 00 22 1 x xy y ab . （2）过双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 外一点 00 (,)P xy所引两条切线的切点弦方程是 55.抛物线的概念 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点 F 叫做抛物线的焦点，直 线 l 叫做抛物线的准线 抛物线的标准方程和几何性质 标准 方程 y22px (p0) y22px (p0) x22py (p0) x22py (p0) p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离 图形 顶点 坐标 O(0,0) 对称轴 x 轴 y 轴 焦点

26、坐标 F p 2，0 F p 2，0 F 0，p 2 F 0，p 2 离心率 e1 准线 方程 xp 2 xp 2 yp 2 yp 2 范围 x0，yR x0，yR y0，xR y0，xR 开口 方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 x0p 2 x0p 2 y0p 2 y0p 2 通径长 2p 抛物线pxy2 2 的焦半径公式 抛物线 2 2(0)ypx p焦半径 0 2 p CFx. 过焦点弦长pxx p x p xCD 2121 22 . 抛物线pxy2 2 上的动点可设为 P), 2 ( 2 y p y 或或)2 ,2( 2 ptptP P( ,)x y，其中 2 2ypx. 56.直线

27、与圆锥曲线相交的弦长公式 |AB| 1k2x1x224x1x2 1 1 k2 y1y224y1y2(k 为直线斜率) 57 （1）线面平行的判定定理和性质定理 00 22 1 x xy y ab 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与此平面内的 一条直线平行，则该直线与此 平面平行(简记为“线线平行 线面平行”) la a l l 性质定理 一条直线与一个平面平行，则 过这条直线的任一平面与此平 面的交线与该直线平行(简记 为“线面平行线线平行”) l l b lb （2）面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相 交直线与另一个

28、平面 平行，则这两个平面平 行(简记为“线面平行 面面平行”) a b abP a b 性质定理 如果两个平行平面同 时和第三个平面相交， 那么它们的交线平行 a b ab （3）直线与平面垂直判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面 内的两条相交直线都 垂直， 则该直线与此平 面垂直 a，b abO la lb l 性质定理 垂直于同一个平面的 两条直线平行 a b ab （4）平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一 个平面的垂线，则 这两个平面垂直 l l 性质定理 两个平面垂直，则 一个平面内垂直

29、于交线的直线与 另一个平面垂直 l a la l 58.共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b0 )，ab存在实数使 a=b PA B、 、三点共线|APABAPtAB(1)OPt OAtOB. |AB CDAB、CD共线且ABCD、不共线ABtCD且ABCD、不共线. 59.共面向量定理 向量 p p 与两个不共线的向量 a a、b b 共面的存在实数对, x y,使paxby 推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的存在有序实数对, x y,使MPxMAyMB， 或对空间任一定点 O，有序实数对, x y，使OPOMxMAyMB. 60.空间向量基本定理 如果三个向量 a a、b

30、b、c c 不共面，那么对空间任一向量 p p，存在一个唯一的有序实数组 x，y，z，使 p pxa ayb b zc c 推论 设 O、A、B、C 是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的三个有序实数 x，y，z，使 OPxOAyOBzOC. 61.空间向量的直角坐标运算 设a a 123 ( ,)a a a，b b 123 ( ,)b b b则 (1)a ab b 112233 (,)ab ab ab；(2)a ab b 112233 (,)ab ab ab； (3)a a 123 (,)aaa (R)；(4)a ab b 1 12 23 3 aba ba b； 62.设 A 11

31、1 ( ,)x y z，B 222 (,)xyz，则 ABOB OA= 212121 (,)xx yy zz. 63空间的线线平行或垂直 设 111 ( ,)ax y z r ， 222 (,)bxy z r ，则 a b rr P(0)ab b rr rr 12 12 12 xx yy zz ；ab rr 0a b r r 12121 2 0 x xy yz z. 64.夹角公式 设a a 123 ( ,)a a a，b b 123 ( ,)b b b，则 cosa a，b b= 1 1223 3 222222 123123 a ba ba b aaabbb . 65 （1）异面直线所成角

32、cos|cos,|a b r r = 12121 2 222222 111222 | | | x xy yz za b abxyzxyz r r rr （其中（090 oo ）为异面直线a b ,所成角，, a b r r 分别表示异面直线a b ,的方向向量） （2）直线AB与平面所成角 (m为平面的法向量). （3）.二面角l 的平面角 或 （m，n为平面，的法向量）. 66.（1）空间两点间的距离公式 若 A 111 ( ,)x y z，B 222 (,)xyz，则 ,A B d=|ABAB AB 222 212121 ()()()xxyyzz. （2）.异面直线间的距离 | | CD

33、n d n ( 12 ,l l是两异面直线，其公垂向量为n，CD、分别是 12 ,l l上任一点，d为 12 ,l l间的距离). （3）点B到平面的距离 | | AB n d n （n为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，A）. 67.球的半径是 R，则 其体积 3 4 3 VR,其表面积 2 4SR 68.球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的 直径是正方体的体对角线长. 69柱体、锥体的体积 shV 柱体 （S是柱体

34、的底面积、h是柱体的高）. 1 3 VSh 锥体 （S是锥体的底面积、h是锥体的高）. 70.分类计数原理（加法原理） 12n Nmmm . 分步计数原理（乘法原理） 71.排列数公式 m n A=) 1() 1(mnnn= ！ ！ )(mn n .(n，mN N *，且m n)注:规定1! 0 . 72.组合数公式 m n C= m n m m A A = m mnnn 21 ) 1() 1( = ！ ！ )(mnm n (nN N *，m N，且mn). 73.组合数的两个性质 (1) m n C= mn n C ; (2) m n C+ 1m n C= m n C 1 .注:规定1 0

35、n C. (3) nn n r nnnn CCCCC2 210 . (4) 1420531 2 n nnnnnn CCCCCC. (5) 1321 232 nn nnnn nnCCCC. 74.排列数与组合数的关系 mm nn Am C ！ . . 75.二项式定理 nn n rrnr n n n n n n n n bCbaCbaCbaCaCba 222110 )( ; 二项展开式的通项公式 rrnr nr baCT 1 )210(nr， . 76.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率 ( )(1). kkn k nn P kC PP 77.离散型随机变量的分布列的两个性质 （1

36、）0(1,2,) i Pi; （2） 12 1PP. 78.数学期望 1 122nn Ex Px Px P 数学期望的性质 （1）()( )E abaEb. （2）若( , )B n p,则Enp. 方差 12n Nmmm 222 1122nn DxEpxEpxEp 标准差 =D. 方差的性质 (1) 2 D aba D； (2）若( , )B n p，则(1)Dnpp. 79.正态分布密度函数 2 2 26 1 , 2 6 x f xex ，式中的实数，（0）是参数，分别表示个体的平均数与标准 差. 80.回归直线方程 yabx，其中 11 2 22 11 nn iiii ii nn ii

37、ii xxyyx ynx y b xxxnx aybx . 81.相关系数 |r|1，且|r|越接近于 1，相关关系越强；|r|越接近于 0，相关关系越弱. 82.)(xf在 0 x处的导数（或变化率或微商） 0 00 0 00 ()() ()limlim x x xx f xxf xy fxy xx . 83. 函数)(xfy 在点 0 x处的导数的几何意义 函数)(xfy 在点 0 x处的导数是曲线)(xfy 在)(,( 00 xfxP处的切线的斜率)( 0 x f ，相应的切线方程是 )( 000 xxxfyy. 84.几种常见函数的导数 (1) 0C（C 为常数）.(2) 1 ()()

38、 n n xnxnQ .(3) xxcos)(sin. (4) xxsin)(cos.(5) x x 1 )(ln； e a x x alog 1 )(log.(6) xx ee ) (; aaa xx ln)(. 85.导数的运算法则 （1） ()uvuv.（2） ()uvuvuv.（3） 2 ( )(0) uuvuv v vv . 86.复合函数的求导法则 设函数( )ux在点x处有导数 ( ) x ux，函数)(ufy 在点x处的对应点 U 处有导数 ( ) u yf u，则复 合函数( ( )yfx在点x处有导数，且 xux yyu，或写作 ( ( )( )( ) x fxf ux.

39、87.判别)( 0 xf是极大（小）值的方法 当函数)(xf在点 0 x处连续时， （1）如果在 0 x附近的左侧0)( x f，右侧0)( x f，则)( 0 xf是极大值； （2）如果在 0 x附近的左侧0)( x f，右侧0)( x f，则)( 0 xf是极小值. 88.复数的相等 ,abicdiac bd.（, , ,a b c dR） 89.复数za bi的模（或绝对值） |z=|abi= 22 ab. 90.复数的四则运算法则 (1)()()()()abicdiacbd i; ; (2)()()()()abicdiacbd i; ; (3)()()()()abi cdiacbdbcad i; ; (4) 2222 ()()(0) acbdbcad abicdii cdi cdcd .