2020年4月福建省泉州市惠安县中考数学模拟试卷（含答案解析）

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1、2020 年福建省泉州市惠安县中考数学模拟试卷（年福建省泉州市惠安县中考数学模拟试卷（4 月份）月份） 一、选择题（每题一、选择题（每题 4 分，满分分，满分 40 分）分） 1计算1+5，结果正确的是（ ） A4 B4 C6 D6 2举世瞩目的港珠澳大桥工程总投资约 726 亿元，用科学记数法表示 726 亿元正确的是（ ） A72.6109元 B7.261010元 C0.7261011元 D7.261011元 3某初中校学生会为了解 2017 年本校学生人均课外阅读量，计划开展抽样调查，下列抽样调查方案中最 合适的是（ ） A到学校图书馆调查学生借阅量 B对全校学生暑假课外阅读量进行调查

2、C对初三年级学生的课外阅读量进行调查 D在三个年级的学生中分别随机抽取一半学生进行课外阅读量的调查 4下列运算正确的是（ ） Aa3a2a6 Ba6a2a3 C （）00 D3 2 5由 6 个大小相同的小正方体拼成的几何体如图所示，则下列说法正确的是（ ） A主视图的面积最大 B左视图的面积最大 C俯视图的面积最大 D三种视图的面积相等 6不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 7如图，在等腰直角ABC 中，ACB90，D 为ABC 内一点，将线段 CD 绕点 C 逆时针旋转 90 后得到 CE，连接 BE，若DAB10，则ABE 是（ ） A75 B78 C80 D92

3、8若 96785p，则 96784 的值可表示为（ ） Ap967 Bp85 Cp1 D p 9如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，点 E 是 BC 上一点，且 ABBE，115，则2 的度数是（ ） A25 B30 C35 D15 10在欧洲有很多古老而且美丽的中世纪建筑群，如图，古罗马教堂建筑物 CD 的高为 30 米，从 C 点测得 A 点的仰角 等于 45，从 A 点看 D 点的俯角，因无法测得准确的角度，只能记为 则建筑物 AB 的 高度为（ ） A B C D 二、填空题（共二、填空题（共 6 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 24 分）分） 11在“我

4、爱我的祖国：合唱比赛中，10 位评委给某队的评分如下表所示： 成绩（分） 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 人数 3 2 3 1 1 则该队成绩的中位数是 12我国古代算法统宗里有这样一首诗：我问开店李三公众客都来到店中，一房七客多七客，一房 九客一房空诗中后两句的意思是：如果每一间客房住 7 人，那么有 7 人无房可住；如果每一间客房住 9 人，那么就空出一间房求该店有客房多少间？设该店有房 x 间，则可列方程： 13如图，已知 DE 为ABC 的中位线，ADE 的面积为 3，则四边形 DECB 的面积为 14 已知等腰三角形的一边长 6， 另一边长为方程 x28x+150 的根， 则

5、该等腰三角形的底边长为 15已知 a+120192+20202，计算： 16如图，ABC 中，ABC30，AB5，BC6，P 是ABC 内部的任意一点，连接 PA、PB、PC， 则 PA+PB+PC 的最小值为 三、解答题（共三、解答题（共 9 题，满分题，满分 74 分）分） 17 （8 分）解方程组 18 （8 分）如图，在ABCD 中，E 是 BC 延长线上的一点，且 DEAB，连接 AE、BD，证明 AEBD 19 （8 分）化简求值： （+m2）；其中 m+1 20 （8 分）如图，AEBF，AC 平分BAE，交 BF 于点 C （1）求证：ABBC； （2）尺规作图：在 AE 上找

6、一点 D，使得四边形 ABCD 为菱形（不写作法，保留作图痕迹） 21（8 分） 惠好商场用 24000 元购进某种玩具进行销售， 由于深受顾客喜爱， 很快脱销， 惠好商场又用 50000 元购进这种玩具，所购数量是第一次购进数量的 2 倍，但每套进价比第一次多了 10 元 （）惠好商场第一次购进这种玩具多少套？ （）惠好商场以每套 300 元的价格销售这种玩具，当第二次购进的玩具售出时，出现了滞销，商场 决定降价促销，若要使第二次购进的玩具销售利润率不低于 12%，剩余的玩具每套售价至少要多少元？ 22 （10 分）在文明县城的城市道路改造中，某路段上有 A、B 两处相距近 300m 且未设

7、红绿灯的斑马线为 使交通高峰期该路段车辆与行人的通行更有序，交通部门打算在汽车平均停留时间较长的一处斑马线上 放置移动红绿灯，图 1，图 2 分别是交通高峰期来往车辆在 A、B 斑马线前停留时间的抽样统计图根据 统计图解决下列问题： （1）若某日交通高峰期共有 300 辆车经过 A 斑马线，请估计该日停留时间为 6s8s 的车辆数； （2）请你利用所学的统计的知识，设计移动红绿灯放置在哪一处斑马线上较为合适？请说明理由 （说 明：组中值是各组上下限数的简单平均，如 6s8s 的组中值为 7s） 23 （10 分）如图，已知等腰 RtABC，ACBC4，将ABC 沿 CD 对折，展平后，再将点

8、B 折叠在边 AC 上（不与 A、C 重合） ，折痕为 EF，点 B 在 AC 上的对应点为 M，设 CD 与 EM 交于点 P，连接 PF （1）试探究PFM 的形状，并说明理由； （2）求PFM 的周长的取值范围 24 如图， 将O 内的一条弦 AB 绕点 A 按顺时针方向旋转得到弦 AC， 过点 B 作弦 BD， 与 AC 相交于点 M， 且BACCADACBACD （1）求证：ACBD； （2）作ACD 关于直线 AD 对称的AED（E 与 C 是对应点） 若 CD5，DM3，求点 O 到弦 AD 的 距离 25 （14 分）已知抛物线 C：yax2+bx+c（a0）的顶点在第一象限，

9、且与直线 y1 只有一个公共点 （1）若抛物线的对称轴为直线 x1，求 a、c 之间应当满足的关系式； （2）若 b2，点 P 是抛物线的顶点，且点 P 与点 Q 关于 y 轴对称，OPQ 是等腰直角三角形 求抛物线的解析式； 直线 ykx（k0）与抛物线 C1交于两不同点 A、B（点 A 在点 B 的左侧） ，与直线 y2x+4 交于点 R求证：对于每个给定的实数 k，总有+成立 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每题一、选择题（每题 4 分，满分分，满分 40 分）分） 1计算1+5，结果正确的是（ ） A4 B4 C6 D6 【分析】直接利用有理数的加减运算法则计算得出答

10、案 【解答】解：1+54 故选：A 2举世瞩目的港珠澳大桥工程总投资约 726 亿元，用科学记数法表示 726 亿元正确的是（ ） A72.6109元 B7.261010元 C0.7261011元 D7.261011元 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值大于 10 时， n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时，n 是负数 【解答】解：726 亿72600 000 000，用科学记数法表示时 n10， 72600 000 0007.261010

11、 故选：B 3某初中校学生会为了解 2017 年本校学生人均课外阅读量，计划开展抽样调查，下列抽样调查方案中最 合适的是（ ） A到学校图书馆调查学生借阅量 B对全校学生暑假课外阅读量进行调查 C对初三年级学生的课外阅读量进行调查 D在三个年级的学生中分别随机抽取一半学生进行课外阅读量的调查 【分析】抽取样本注意事项就是要考虑样本具有广泛性与代表性，所谓代表性，就是抽取的样本必须是 随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现 【解答】解：A、抽查对象不具有代表性，故 A 错误； B、调查对象时间不具有代表性，故 B 错误； C、调查对象不具广泛性和代表性，故 C 错误； D、在三个年级的学

12、生中分别随机抽取一半学生进行课外阅读量的调查，调查对象比较合适，故此选项 正确； 故选：D 4下列运算正确的是（ ） Aa3a2a6 Ba6a2a3 C （）00 D3 2 【分析】根据同底数幂的乘、除法法则、零次幂和负整数指数幂的性质进行计算即可 【解答】解：A、a3a2a5，故原题计算错误； B、a6a2a4，故原题计算错误； C、 （）01，故原题计算错误； D、3 2 ，故原题计算正确； 故选：D 5由 6 个大小相同的小正方体拼成的几何体如图所示，则下列说法正确的是（ ） A主视图的面积最大 B左视图的面积最大 C俯视图的面积最大 D三种视图的面积相等 【分析】根据从正面看得到的图形

13、是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯 视图，可得答案 【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边起 2 个小正方形，主视图的面积是 5； 从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，左视图的面积为 3； 从上边看第一列是 2 个小正方形， 第二列是 1 个小正方形， 第三列是 1 个小正方形， 俯视图的面积是 4， 主视图的面积最大，故 A 正确； 故选：A 6不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可 【解答】解：解不等式 x10，得：x1； 解不等式 x

14、+10，得：x1， 所以不等式组的解集为：1x1， 在数轴上表示为：， 故选：D 7如图，在等腰直角ABC 中，ACB90，D 为ABC 内一点，将线段 CD 绕点 C 逆时针旋转 90 后得到 CE，连接 BE，若DAB10，则ABE 是（ ） A75 B78 C80 D92 【分析】证明BCEACD，求出EBC 度数，利用ABEEBC+ABC 求解 【解答】解：ABC 是等腰直角三角形， ABCBAC45 DAC451035 在BEC 和ADC 中 BCEACD（SAS） EBCDAC35 ABEEBC+ABC80 故选：C 8若 96785p，则 96784 的值可表示为（ ） Ap96

15、7 Bp85 Cp1 D p 【分析】将 96785p 代入 96784967（851）96785967 可得 【解答】解：96785p， 96784967（851）96785967p967， 故选：A 9如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，点 E 是 BC 上一点，且 ABBE，115，则2 的度数是（ ） A25 B30 C35 D15 【分析】根据矩形的性质得出ABCBAD90，OBOD，OAOC，ACBD，求出 OBOC， OBOA，根据矩形性质和已知求出BAEDAE45，求出OBCOCB30，求出AOB 是等边三角形，推出 ABOBBE，求出OEB75，最后减去

16、AEB 的度数，即可求出答案 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， ABCBAD90，OBOD，OAOC，ACBD， OBOC，OBOA， OCBOBC， ABBE，ABE90， BAEAEB45， 115， OCBAEBEAC451530， OBCOCB30， AOB30+3060， OAOB， AOB 是等边三角形， ABOB， BAEAEB45， ABBE， OBBE， OEBEOB， OBE30，OBE+OEB+BEO180， OEB75， AEB45， 2OEBAEB30， 故选：B 10在欧洲有很多古老而且美丽的中世纪建筑群，如图，古罗马教堂建筑物 CD 的高为 30 米，从 C

17、 点测得 A 点的仰角 等于 45，从 A 点看 D 点的俯角，因无法测得准确的角度，只能记为 则建筑物 AB 的 高度为（ ） A B C D 【分析】如图，过点 D 作 DEAB 于点 E，得矩形 DCBE，在 RtADE 中，AEABBEAB30，根 据锐角三角函数可得 tan，进而可表示 AB 【解答】解：如图，过点 D 作 DEAB 于点 E，得矩形 DCBE， BECD30，DEBC，ADE， ACB45， ABBC， DEAB， 在 RtADE 中，AEABBEAB30， tan， 解得 AB 则建筑物 AB 的高度为米 故选：A 二、填空题（共二、填空题（共 6 题，每题题，每

18、题 4 分，满分分，满分 24 分）分） 11在“我爱我的祖国：合唱比赛中，10 位评委给某队的评分如下表所示： 成绩（分） 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 人数 3 2 3 1 1 则该队成绩的中位数是 9.35 分 【分析】利用中位数的定义求得答案后即可 【解答】解：共 10 名评委， 中位数应该是第 5 和第 6 人的平均数，为 9.3 分和 9.4 分， 中位数为 9.35 分， 故答案为：9.35 分 12我国古代算法统宗里有这样一首诗：我问开店李三公众客都来到店中，一房七客多七客，一房 九客一房空诗中后两句的意思是：如果每一间客房住 7 人，那么有 7 人无房可住；如果每一

19、间客房住 9 人，那么就空出一间房求该店有客房多少间？设该店有房 x 间，则可列方程： 7x+79（x1） 【分析】直接利用住店人数不变进而得出等式即可 【解答】解：设该店有房 x 间，则可列方程：7x+79（x1） 故答案为：7x+79（x1） 13如图，已知 DE 为ABC 的中位线，ADE 的面积为 3，则四边形 DECB 的面积为 9 【分析】根据中位线的性质以及相似三角形的判定与性质即可求出答案 【解答】解：DE 为ABC 的中位线， DEBC，2DEBC， ADEABC， ， SABC4SADE12， 四边形 DECB 的面积为 1239， 故答案为：9 14已知等腰三角形的一边长

20、 6，另一边长为方程 x28x+150 的根，则该等腰三角形的底边长为 3 或 5 或 6 【分析】利用因式分解法解方程求出 x 的值，再根据等腰三角形的概念分类讨论求解可得 【解答】解：x28x+150， （x3） （x5）0， 则 x30 或 x50， 解得 x3 或 x5， 若 3 为腰的长，则三角形三边长度为 3、3、6，不能构成三角形，舍去； 若 5 为腰长，则三角形三边长度为 5、5、6，此时符合题意，所以底边长为 6； 若 6 为腰长，则三角形三边长度为 6、6、3 或 6、6、5，均符合题意，所以底边长为 3 或 5； 故答案为：3 或 5 或 6 15已知 a+120192+

21、20202，计算： 4039 【分析】把 a+120002+20012代入得到，再根据完全平方公式得到原式 ，再根据完全平方公式和二次根式的性 质化简即可求解 【解答】解：a+120002+20012， 4039 故答案为：4039 16如图，ABC 中，ABC30，AB5，BC6，P 是ABC 内部的任意一点，连接 PA、PB、PC， 则 PA+PB+PC 的最小值为 【分析】以 BP 为边作等边三角形 BPD，将BPC 绕点 B 顺时针旋转 60，得到BDC，连接 AC，可 得 BPBDDP，PBD60，PCCD，PBCDBC，BCBC6，则当点 A，点 P，点 D， 点 C共线时，PA+

22、PB+PC 有最小值为 PC，由勾股定理可求解 【解答】解：如图，以 BP 为边作等边三角形 BPD，将BPC 绕点 B 顺时针旋转 60，得到BDC，连 接 AC， BPD 是等边三角形， BPBDDP，PBD60， 将BPC 绕点 B 顺时针旋转 60， PCCD，PBCDBC，BCBC6， ABCABP+PBD+DBCPBD+ABC+PBC60+3090， PA+PB+PCPA+PD+DC， 当点 A，点 P，点 D，点 C共线时，PA+PB+PC 有最小值为 PC， PC， 故答案为： 三、解答题（共三、解答题（共 9 题，满分题，满分 74 分）分） 17 （8 分）解方程组 【分析

23、】用加减消元法解方程组即得到答案 【解答】解： 得： （x+y）（x2y）41 y+2y3 3y3 y1 把 y1 代入得：x+14， x3 原方程组的解为 18 （8 分）如图，在ABCD 中，E 是 BC 延长线上的一点，且 DEAB，连接 AE、BD，证明 AEBD 【分析】首先根据平行四边形的性质可得 ABCD，ABCD，再根据等腰三角形的性质可得DCE DEC，即可证明ABEDEB，再根据全等三角形性质可得到结论 【解答】证明： 四边形 ABCD 是平行四边形， ABDC，ABDC， DEAB， DEDC DCEDEC， ABDC， ABCDCE ABCDEC 在ABE 与DEB 中

24、 ， ABEDEB（SAS） AEBD 19 （8 分）化简求值： （+m2）；其中 m+1 【分析】先化简分式，然后将 m 的值代入求值 【解答】解：原式（） ， 当 m+1 时， 原式 20 （8 分）如图，AEBF，AC 平分BAE，交 BF 于点 C （1）求证：ABBC； （2）尺规作图：在 AE 上找一点 D，使得四边形 ABCD 为菱形（不写作法，保留作图痕迹） 【分析】 （1）根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论； （2）在射线 AE 上截取 ADAB，根据菱形的判定定理即可得到结论 【解答】 （1）证明：AEBF， EACACB， 又AC 平分BAE， BACEAC，

25、 BACACB， BABC； （2）在射线 AE 上截取 ADAB，连接 CD，则四边形 ABCD 即为所求 21（8 分） 惠好商场用 24000 元购进某种玩具进行销售， 由于深受顾客喜爱， 很快脱销， 惠好商场又用 50000 元购进这种玩具，所购数量是第一次购进数量的 2 倍，但每套进价比第一次多了 10 元 （）惠好商场第一次购进这种玩具多少套？ （）惠好商场以每套 300 元的价格销售这种玩具，当第二次购进的玩具售出时，出现了滞销，商场 决定降价促销，若要使第二次购进的玩具销售利润率不低于 12%，剩余的玩具每套售价至少要多少元？ 【分析】 （）设惠好商场第一次购 x 套玩具，那么

26、第二次购进 2x 套玩具，根据第二次比第一次每套进 价多了 10 元，可列方程求解 （）根据利润售价进价，根据且全部售完后总利润率不低于 12%，这个不等量关系可列式求解 【解答】解： （）设惠好商场第一次购进这种玩具 x 套， 依题意，得 解得 x100 经检验，x100 是该方程的根 答：惠好商场第一次购进这种玩具 100 套； （）设剩余玩具每套的售价为 y 元，则： 第二次进价为 50000200250（元/套） （300250）200+（1）200（y250）5000012% 解得 y200 答：剩余玩具每套售价至少要 200 元 22 （10 分）在文明县城的城市道路改造中，某路段

27、上有 A、B 两处相距近 300m 且未设红绿灯的斑马线为 使交通高峰期该路段车辆与行人的通行更有序，交通部门打算在汽车平均停留时间较长的一处斑马线上 放置移动红绿灯，图 1，图 2 分别是交通高峰期来往车辆在 A、B 斑马线前停留时间的抽样统计图根据 统计图解决下列问题： （1）若某日交通高峰期共有 300 辆车经过 A 斑马线，请估计该日停留时间为 6s8s 的车辆数； （2）请你利用所学的统计的知识，设计移动红绿灯放置在哪一处斑马线上较为合适？请说明理由 （说 明：组中值是各组上下限数的简单平均，如 6s8s 的组中值为 7s） 【分析】 （1）从条形统计图 1 中的数据可得 6s8s

28、的车辆占，用总车辆乘以这个百 分比即可； （2）利用加权平均数分别求出在 A 处、B 处停留时间的平均数即可得到结论 【解答】解： （1）30048（辆） ， 答：估计该日停留时间为 6s8s 的车辆数为 48 辆； （2）车辆在 A 处的停留时间为（110+312+510+78+97+111）4.72s， 车辆在 B 处的停留时间为（13+32+510+713+912）6.45s， 4.726.45， 移动红绿灯放置在 B 处斑马线上较为合适 23 （10 分）如图，已知等腰 RtABC，ACBC4，将ABC 沿 CD 对折，展平后，再将点 B 折叠在边 AC 上（不与 A、C 重合） ，折

29、痕为 EF，点 B 在 AC 上的对应点为 M，设 CD 与 EM 交于点 P，连接 PF （1）试探究PFM 的形状，并说明理由； （2）求PFM 的周长的取值范围 【分析】 （1）PFM 的形状是等腰直角三角形，想办法证明POFMOC，可得PFOMCO 45，延长即可解决问题； （2）设 FMy，由勾股定理可知：PFPMy，可得PFM 的周长（1+）y，由 2y4，可 得结论 【解答】解： （1）PFM 的形状是等腰直角三角形，不会发生变化， 理由如下：由折叠的性质可知，PMFB45， CD 是中垂线， ACDDCF45， PMOFCO， POMFOC， POMFOC， ， ， POFMO

30、C， POFMOC， PFOMCO45， PFMPMF45， MPF90， PFM 是等腰直角三角形 （2）PFM 是等腰直角三角形，设 FMy， 由勾股定理可知：PFPMy， PFM 的周长（1+）y， 2y4， PFM 的周长满足：2+2（1+）y4+4 24 如图， 将O 内的一条弦 AB 绕点 A 按顺时针方向旋转得到弦 AC， 过点 B 作弦 BD， 与 AC 相交于点 M， 且BACCADACBACD （1）求证：ACBD； （2）作ACD 关于直线 AD 对称的AED（E 与 C 是对应点） 若 CD5，DM3，求点 O 到弦 AD 的 距离 【分析】 （1） 根据已知条件得到B

31、AC+ACDACB+CAD， 等量代换得到BAC+ABDACB+ CBD，得到AMB90，于是得到结论； （2）根据旋转的性质得到 ABAC，根据轴对称的性质得到 ACAEAB，ADCADE，推出 B， D，E 三点共线，作 OHAD 于 H，作O 的直径 DF，连接 AF，则 AHDH，FAD90，得到 ADFBAC，求得 AFBC，根据勾股定理得到 AF4，于是得到结论 【解答】 （1）证明：BACCADACBACD， BAC+ACDACB+CAD， ACDABD，CADCBD， BAC+ABDACB+CBD， BAC+ABD+ACB+CBD180， BAC+ABD90， AMB90， A

32、CBD； （2）将弦 AB 绕点 A 按顺时针方向旋转得到弦 AC， ABAC， ABCACBADB， ACD 与AED 关于直线 AD 对称， ACAEAB，ADCADE， ABC+ADCADB+ADE180， B，D，E 三点共线， 作 OHAD 于 H，作O 的直径 DF，连接 AF，则 AHDH，FAD90， F+ADF90， FABD，ABD+BAC90， ADFBAC， ， AFBC， CD5，DM3， EMED+DMCD+DM8， ABAE，ACBD， BMEM8，CM4， BC4， AF4， AHDH，ODOF， OHAF2， 即点 O 到弦 AD 的距离为 2 25 （14

33、分）已知抛物线 C：yax2+bx+c（a0）的顶点在第一象限，且与直线 y1 只有一个公共点 （1）若抛物线的对称轴为直线 x1，求 a、c 之间应当满足的关系式； （2）若 b2，点 P 是抛物线的顶点，且点 P 与点 Q 关于 y 轴对称，OPQ 是等腰直角三角形 求抛物线的解析式； 直线 ykx（k0）与抛物线 C1交于两不同点 A、B（点 A 在点 B 的左侧） ，与直线 y2x+4 交于点 R求证：对于每个给定的实数 k，总有+成立 【分析】 （1）抛物线顶点坐标为（1，1） ，当 x1 时，ya+b+c1，而 x1，即可求解； （2）PQ2t，OPOQ，OPQ 是等腰直角三角形，

34、则 OP2+OQ2PQ2，即可求解；求 出点 A、B、R 的横坐标，即可求解 【解答】解： （1）抛物线与直线 y1 只有一个公共点，则抛物线顶点的纵坐标为 1， 而抛物线的对称轴为直线 x1，故顶点坐标为（1，1） ， 当 x1 时，ya+b+c1， 而 x1，即 b2a， 故a+c1， 故 ac1； （2）b2，则抛物线的表达式为：yax22x+c， 设点 P（t，1） ，则点 Q（t，1） ， 则 PQ2t，OPOQ， OPQ 是等腰直角三角形， OP2+OQ2PQ2，即 2（t2+1）4t2， 解得：t1（舍去1） ， 故点 P（1，1） ， 由（1）得，b2a2，解得：a1，ca+12， 故抛物线的表达式为：yx22x+2； 如图，过点 A、R、B 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 M、H、N， 则， 设（m0，m 为常数） ， 则 OMmAO，ONmOB，OHmOR 点 A、B 是直线 ykx 与抛物线的交点， 联立两个函数表达式并整理得：x2（2+k）x+20， 故 x1+x22+k，x1x22， 故， ，即， 联立两条直线表达式得，解得：xOHmOR， （） ， 故每个给定的实数 k，总有+成立