2021年江苏省常州市中考数学模拟试卷（A）解析版

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1、 1 2 202002020212021 学年常州市中考数学模拟试卷（学年常州市中考数学模拟试卷（A A） 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 1 （2 分）3 的相反数是（ ） A3 B 1 3 C3 D3 【分析】根据只有符号不同的两数叫做互为相反数解答 【解答】解：3 的相反数是 3 故选：C 【点评】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键 2 （2 分）某种商品每件进价为 a 元，按进价增加 50%出售，现“双十二”打折促销按售价的八折出售，每 件还能盈利（ ） A0.12a 元 B0.2a 元 C1.2a 元

2、D1.5a 元 【分析】依题意列出等量关系式：盈利售价成本解答时按此关系式直接求出结果 【解答】解：依题意可得，a（1+50%）0.8a0.2a（元） 故选：B 【点评】此题主要考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系注意找准 题目中的关键语言，如“增加 50%” 、 “八折出售”等，然后列代数式求出结果 3 （2 分）如图所示的几何体，从上面看得到的图形是（ ） A B C D 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案 【解答】解：从上边看是一个六边形，中间为圆 故选：D 【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是要把所看到的棱都表示到图中 4 （2 分

3、） “翻开数学书，恰好翻到第 16 页” ，这个事件是（ ） A随机事件 B必然事件 C不可能事件 D确定事件 【分析】根据随机事件的概念即可求解 【解答】解： “翻开数学书，恰好翻到第 16 页”确实有可能刚好翻到第 16 页，也有可能不是翻到第 16 2 页，故这个事件是随机事件 故选：A 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下，一定发生 的事件 不可能事件是指在一定条件下， 一定不发生的事件， 不确定事件即随机事件是指在一定条件下， 可能发生也可能不发生的事件 5 （2 分）下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】把一个图形

4、绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就 叫做中心对称图形，据此可得结论 【解答】解：A是中心对称图形，故本选项不合题意； B是中心对称图形，故本选项不合题意； C属于中心对称图形，故本选项不合题意； D不是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D 【点评】本题主要考查了中心对称图形，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等 6 （2 分）对于反比例函数y = 2 x，下列说法正确的是（ ） A图象经过点（2，1） B图象位于第二、四象限 C当 x0 时，y 随 x 的增大而减小 D当 x0 时，y 随 x 的增大而增大 【分析】根据反比例函数

5、的性质即可直接作出判断 【解答】解：A、把 x2 代入 y= 2 x得，y1，则（2，1）不在图象上，选项错误； B、图象位于第一、三象限，选项错误； C、当 x0 时，y 随 x 的增大而减小，选项正确； D、当 x0 时，y 随 x 的增大而减小，选项错误 故选：C 【点评】本题考查了反比例函数的性质： 3 （1）反比例函数 y= k x（k0）的图象是双曲线； （2）当 k0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小； （3）当 k0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大 7 （2 分）若正比例函数 ykx（k0）的

6、图象经过 A（m，4） ，B（m3，10）两点，则 k 的值为（ ） A 3 4 B 4 3 C2 D2 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于 k，m 的方程组，解之即可得出 k 值 【解答】解：正比例函数 ykx（k0）的图象经过 A（m，4） ，B（m3，10）两点， 4 = km 10 = k(m 3)， 解得：k = 2 m = 2 故选：C 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，利用一次函数图象上点的坐 标特征，找出关于 k，m 的方程组是解题的关键 8 （2 分）已知一次函数 ykx+6 的图象经过 A（2，2） ，则 k 的值为（ ） A

7、1 B4 C4 D1 【分析】把点 A 的坐标代入一次函数解析式求出即可 【解答】解：把点 A（2，2）代入 ykx+6，得22k+6， 解得 k2 故选：C 【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，是一道比较典型的题目 二填空题（共二填空题（共 10 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9 （2 分）如果某数的一个平方根是5，那么这个数是 25 【分析】利用平方根定义即可求出这个数 【解答】解：如果某数的一个平方根是5，那么这个数是 25， 故答案为：25 【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根定义是解本题的关键 10 （2 分）分解因式：4a3b26

8、a2b2 2a2b2（2a3） 【分析】直接找出公因式进而提取分解因式即可 【解答】解：4a3b26a2b22a2b2（2a3） 4 故答案为：2a2b2（2a3） 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键 11 （2 分）已知点 P 在第二象限，点 P 到 x 轴的距离是 2，到 y 轴的距离是 3，那么点 P 的坐标是 （3， 2） 【分析】根据第二象限内点的坐标特征和点到 x 轴的距离等于纵坐标的长度，到 y 轴的距离等于横坐标 的长度解答 【解答】解：点 P 在第二象限，点 P 到 x 轴的距离是 2，到 y 轴的距离是 3， 点 P 的横坐标是3，纵坐标是

9、 2， 点 P 的坐标为（3，2） 故答案为： （3，2） 【点评】本题考查了点的坐标，是基础题，熟记点到 x 轴的距离等于纵坐标的长度，到 y 轴的距离等于 横坐标的长度是解题的关键 12 （2 分）2020 年 6 月 23 日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌发射中心发射升空，6 月 30 日成功 定点于距离地球 36000 公里的地球同步轨道将 36000 用科学记数法表示应为 3.6104 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数 【解答】解：将 36000 用科学记数法表示应为 3.6104， 故答案为：3.6104 【点评】 此题考查了科学

10、记数法的表示方法 科学记数法的表示形式为 a10n的形式， 其中 1|a|10， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 13 （2 分）如图，AD 是BAC 的平分线，EF 垂直平分 AD 交 BC 的延长线于点 F，若FAC65，则 B 的度数为 65 【分析】根据角平分线的定义得出CADBAD，根据线段垂直平分线的性质得出 FAFD，推出 FDAFAD，根据三角形的外角性质得出FDAB+BAD，代入求出即可 【解答】解：AD 平分CAB， 5 CADBAD， 设CADBADx， EF 垂直平分 AD， FAFD， FDAFAD， FAC65， FADFAC+CAD65+

11、x， FDAB+BADB+x， 65+xB+x， B65， 故答案为：65 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，能求出 FDAFAD 是解此题的关键 14 （2 分）如图，在圆内接四边形 ABCD 中，DE 为 AD 边的延长线，已知，B70，则CDE 的度 数是 70 【分析】直接利用圆内接四边形的外角等于它的内对角即可求得答案 【解答】解：四边形 ABCD 内接于圆 O，B70， CDEB70 故答案为：70 【点评】此题考查了圆的内接多边形的性质注意圆的内接四边形的对角互补是解题的关键 15 （2 分）圆心角为 120，弧长为 12 的扇形

12、半径为 18 【分析】根据弧长的公式 l= 180进行计算即可 【解答】解：设该扇形的半径是 r 根据弧长的公式 l= 180， 得到：12= 120 180 ， 6 解得 r18 故答案为：18 【点评】本题考查了弧长的计算熟记公式是解题的关键 16 （2 分）若实数 m、n 满足 m+n2，则代数式 2m2+mn+mn 的最小值是 6 【分析】设 y2m2+mn+mn，由 m+n2 得 n2m，再由二次函数的性质即可解决问题 【解答】解：设 y2m2+mn+mn， m+n2， n2m， y2m2+m（2m）+m（2m）m2+4m2（m+2）26， 此为一个二次函数，开口向上，有最小值， 当

13、 m2 时，y 有最小值为6， 故答案为：6 【点评】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键 17 （2 分） 如图所示的三角形纸片中， AB8cm， BC6cm， AC5cm 沿过点 B 的直线折叠这个三角形， 使点 C 落在 AB 边上的点 E 处，折痕为 BD则 BE 6cm ，ADE 的周长等于 7cm 【分析】根据翻折变换的性质可得 BEBC，DECD，然后求出 AE，再求出ADE 的周长AC+AE 【解答】解：折叠这个三角形点 C 落在 AB 边上的点 E 处，折痕为 BD， BEBC6cm，DECD， AEABBEABBC862（cm） ， ADE 的周长A

14、D+DE+AE， AD+CD+AE， AC+AE， 5+2， 7（cm） 故答案为：6cm；7cm 【点评】本题考查了翻折变换的性质，三角形的周长，熟练掌握折叠的性质是解题的关键 7 18 （2 分）在平面直角坐标系中，直线 yx+6 分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B 两点，点 C 在 y 轴左边， 且ACB90，则点 C 的横坐标 xc的取值范围是 332 xc0 【分析】首先根据题意画出图形，由圆周角定理可得点 C 位于以 AB 为直径，AB 的中点 D 为圆心的圆 上，继而求得答案 【解答】解：直线 yx+6 分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B 两点， A（6，0） ，B（0，6）

15、 ， OBOA6， ACB90， 点 C 位于以 AB 为直径，AB 的中点 D 为圆心的圆上， AB= 2+ 2=62， DC32， DE= 1 2OB3， CE32 3， 点 C 的横坐标 xc的取值范围是：332 xc0 故答案为：332 xc0 【点评】此题考查了圆周角定理与一次函数的性质此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用 三解答题（共三解答题（共 10 小题，满分小题，满分 84 分）分） 19 （8 分）计算： （1） （1 2） 1+（3 1）0+（3）2； （2）1 + 3 +6 23 【分析】 （1）利用负整数指数幂、零指数幂、平方先计算（1 2） 1、 （3 1）0、

16、 （3）2，再加减； （2）按异分母分式的加减法则进行计算即可 【解答】解： （1）原式2+1+9 12； 8 （2）原式= 3 (3) + 2 (3) +6 (3) = 3+26 (3) = 29 (3) = (+3)(3) (3) = +3 【点评】本题考查了零指数幂、负整数指数幂、实数的加减及分式的加减，掌握零指数幂和负整数指数 幂的意义是解决（1）的关键，掌握异分母分式的加减法则，是解决（2）的关键 20 （6 分）解下面一元一次不等式组，并写出它的所有非负整数解 51 6 + 2 +5 4 2 + 5 3(5 ) 【分析】求出不等式组的解集，根据不等式组的解集求出即可 【解答】解：

17、51 6 + 2 +5 4 2 + 5 3(5 ) ， 解不等式得 x1； 解不等式得 x2； 原不等式组的解集为1x2， 原不等式组的所有非负整数解为 0，1，2 【点评】本题考查了解一元一次不等式的整数解，关键是求出不等式组的解集 21 （8 分）如图，矩形 ABCD，过点 B 作 BEAC 交 DC 的延长线于点 E过点 D 作 DHBE 于 H，G 为 AC 中点，连接 GH （1）求证：BEAC （2）判断 GH 与 BE 的数量关系并证明 9 【分析】 （1）根据矩形的性质得出 ABCD，根据平行四边形的判定得出四边形 ABEC 是平行四边形， 即可得出答案； （2）连接 BD，根

18、据矩形的性质得出 ACBD，求出 G 为 BD 的中点，根据直角三角形斜边上的中线性 质得出 GH= 1 2BD 即可 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形， ABCD， ACBE， 四边形 ABEC 是平行四边形， BEAC； （2）GH= 1 2BE， 证明：连接 BD， 四边形 ABCD 是矩形，G 为 AC 的中点， G 为 BD 的中点，ACBD， DHBE，即DHB90， GH= 1 2BD， ACBD，ACBE， 10 GH= 1 2BE 【点评】 本题考查了矩形的性质， 平行四边形的性质和判定， 直角三角形斜边上的中线的性质等知识点， 能灵活运用性质进行推理是解此题的

19、关键 22 （8 分）某公司 15 名营销人员某月销售某种商品的数量如下（单位：件） ： 月销售数量 600 500 400 350 300 250 人数 1 3 1 3 5 2 （1）请补全下列表格： 月销售量的平均数（件） 月销售量的中位数（件） 月销售量的众数（件） 370 350 300 （2）根据上表，你认为用平均数、中位数、众数中的哪一个描述该公司全体营销人员月销售量的“集中 趋势”较为合适？说明理由 【分析】 （1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据平均数、中位数和众数的意义求解即可 【解答】解： （1）这组数据的中位数是第 8 个数据， 所以这组数据的中位数是 350

20、 件， 这组数据 300 件出现次数最多， 所以这组数据的众数是 300 件， 故答案为：350、300； （2）用中位数或众数来描述较为合适， 理由：平均数受极端值的影响，只有 5 个人的月销售量达到了平均水平， 所以不合适， 而中位数和众数多数人可以达到，较为合适 【点评】此题主要考查了一组数据众数与中位数的求法，解题的关键是掌握中位数、众数和平均数的意 义 23 （8 分）持续大面积雾霾天气让环保和健康问题成为焦点，某校为了调查学生对雾霾天气知识的了解程 度，在学生中做了一次抽样调查，跟进调查统计结果，绘制了不完整的三种统计图表 11 对雾霾天气了解程度统计表 了解程度 百分比 A非常了

21、解 5% B比较了解 m C一般了解 45% D不太了解 n 请结合统计图表，回答下列问题 （1）本次参与调查的学生共有 400 人，m 15% ，n 35% ； （2）扇形统计图中 D 部分所对应的圆心角是 126 度； （3）请补全条形统计图； （4）学校计划从对雾霾天气知识“非常了解”的同学中随机选择 5 名同学，到某社区开展防雾霾天气知 识宣传，本次调查中对雾霾天气知识“非常了解”的小明被选中的概率是多少？ 【分析】 （1）根据 C 等级人数及其所占百分比可得总人数，再根据百分比的概念和百分比之和等于 1 可 得 m、n 的值； （2）用 360乘以 D 等级对应的百分比； （3）用总

22、人数乘以 D 等级对应的百分比求出其人数即可补全图形； （4）直接根据概率公式求解可得 【解答】解： （1）本次参与调查的学生共有 18045%400（人） ， m= 60 400 100%15%， 则 n1（5%+15%+45%）35%， 故答案为：400、15%，35%； （2）扇形统计图中 D 部分所对应的圆心角是 36035%126， 故答案为：126； 12 （3）D 等级人数为 40035%140（人） ， 补全图形如下： （4）本次调查中对雾霾天气知识“非常了解”的小明被选中的概率是 5 20 = 1 4 【点评】本题考查的是条形统计图、扇形统计图和概率公式的应用，读懂统计图，从

23、统计图中得到必要 的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据 24 （8 分）为防控新冠肺炎，某药店用 1000 元购进若干医用防护口罩，很快售完，接着又用 2500 元购进 第二批口罩，已知第二批所购口罩的数量是第一批所购口罩数的 2 倍，且每只口罩的进价比第一批的进 价多 0.5 元求第一批口罩每只的进价是多少元？ 【分析】设第一批口罩每只的进价是 x 元，则第二批口罩每只的进价是（x+0.5）元，根据数量总价 单价结合第二批所购口罩的数量是第一批所购口罩数的 2 倍，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验 后即可得出结论 【解答】解：设第一批口罩每只的进价是 x 元，

24、则第二批口罩每只的进价是（x+0.5）元， 依题意，得： 2500 +0.5 =2 1000 ， 解得：x2， 经检验，x2 是原方程的解，且符合题意 答：第一批口罩每只的进价是 2 元 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键 25 （8 分）如图，点 A，B 在 x 轴上，以 AB 为边的正方形 ABCD 在 x 轴上方，点 C 的坐标为（1，4） ， 反比例函数 y= （k0）的图象经过 CD 的中点 E，F 是 AD 上的一个动点，将DEF 沿 EF 所在直线折 叠得到GEF （1）求反比例函数 y= （k0）的表达式； （2）若点 G 落在 y 轴

25、上，求线段 OG 的长及点 F 的坐标 13 【分析】 （1）根据正方形的性质得出 CD4，进而求得 E 的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例 函数的解析式； （2）根据勾股定理求得 MG，即可求得 OG，通过证得EGMGFN，求得 GN，从而求得 F 的坐标 【解答】解： （1）设 DC 与 y 轴的交于点 M， C（1，4） ， BC4，MC1， 四边形 ABCD 正方形， CDBC4， 点 E 是 CD 的中点， CE= 1 2CD2， EMECMC1， E（1，4） ， kxy144， 反比例函数为 y= 4 ； （2）如图，过点 F 作 FNy 轴于点 N， 由折叠可知，DEEG

26、2，FGED90， 在 RtGME 中，GME90， MG= 2 2= 22 12= 3 OGOMMG43， FNGFGEGME90， FGN+EGM90，FGN+GFN90， EGMGFN， EGMGFN， 14 = ， 1 = 3 3 ， GN= 3， ONOMMGGN43 3 =423， F（3，423） 【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，正方形的性质，三角形相似的判定和性质，勾 股定理的应用， （1）求得 E 的坐标， （2）求得 MG 和 GN 的长是解题的关键 26 （10 分）如图 1，在ABC 中，AEBC 于点 E，AEBE，D 是 AE 上的一点，且 DEC

27、E，连接 BD， CD （1）试判断 BD 与 AC 的位置关系是： BDAC ；数量关系是： BDAC ； （2）如图 2，若将DCE 绕点 E 旋转一定的角度后，试判断 BD 与 AC 的位置关系和数量关系是否发生 变化，并说明理由； （3）如图 3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变 试猜想 BD 与 AC 的数量关系为： BDAC ； 你能求出 BD 与 AC 的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由 【分析】 （1）可以证明BDEACE 推出 BDAC，BDAC （2）如图 2 中，不发生变化只要证明BEDAEC，推出 BDAC，BDEA

28、CE，由DEC 90，推出ACE+EOC90，因为EOCDOF，所以BDE+DOF90，可得DFO 15 1809090，即可证明 （3）如图 3 中，结论：BDAC，只要证明BEDAEC 即可 能；由BEDAEC 可知，BDEACE，推出DFC180（BDE+EDC+DCF） 180（ACE+EDC+DCF）180（60+60）60即可解决问题 【解答】解： （1）结论：BDAC，BDAC 理由：延长 BD 交 AC 于 F AECB， AECBED90 在AEC 和BED 中， = = = ， AECBED（SAS） ， ACBD，CAEEBD， AEC90， ACB+CAE90， CBF

29、+ACB90， BFC90， ACBD， 故答案为：BDAC，BDAC （2）如图 2 中，不发生变化，设 DE 与 AC 交于点 O，BD 与 AC 交于点 F 16 理由是：BEADEC90， BEA+AEDDEC+AED， BEDAEC， 在BED 和AEC 中， = = = ， BEDAEC（SAS） ， BDAC，BDEACE， DEC90， ACE+EOC90， EOCDOF， BDE+DOF90， DFO1809090， BDAC； （3）如图 3 中，结论：BDAC， 理由是：ABE 和DEC 是等边三角形， AEBE，DEEC，BEADEC60， BEA+AEDDEC+AED

30、， BEDAEC， 在BED 和AEC 中， = = = ， BEDAEC（SAS） ， BDAC， 17 故答案为：BDAC 能；设 BD 与 AC 交于点 F， 由知，BEDAEC， BDEACE， DFC180（BDE+EDC+DCF） 180（ACE+EDC+DCF） 180（60+60） 60， 即 BD 与 AC 的夹角中的锐角的度数为 60 【点评】本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质全等三角形的判定和 性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会利用“8 字型”证明角相等，属于 中考压轴题 27 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，已

31、知抛物线 yax22x+c 与直线 ykx+b 都经过 A（0，3） ， B（3，0）两点，该抛物线的顶点为 C （1）求此抛物线和直线 AB 的解析式； （2） 设点 P 是直线 AB 下方抛物线上的一动点， 当PAB 面积最大时， 试求出点 P 的坐标， 并求出PAB 面积的最大值； （3）设直线 AB 与该抛物线的对称轴交于点 E，在射线 EB 上是否存在一点 M，过点 M 作 x 轴的垂线交 抛物线于点 N，使点 M、N、C、E 是平行四边形的四个顶点？若存在，试求出点 M 的坐标；若不存在， 请说明理由 【分析】 （1）利用待定系数法求二次函数和一次函数解析式； （2） 作 PQy

32、轴交直线 AB 于点 Q， 设 P （m， m22m3） ， 则 Q （m， m3） ， 先表示出 PQm2+3m， 利用三角形面积公式得到 SPAB= 1 2 3（m2+3m） ，然后根据二次函数的性质解决问题； 18 （3）先求出 C 点坐标和 E 点坐标，则 CE2，分两种情况讨论：若点 M 在 x 轴下方，四边形 CEMN 为平行四边形，则 CEMN，若点 M 在 x 轴上方，四边形 CENM 为平行四边形，则 CEMN，设 M （a，a3） ，则 N（a，a22a3） ，可分别得到方程求出点 M 的坐标 【解答】解： （1）抛物线 yax22x+c 经过 A（0，3） ，B（3，0）

33、两点， 9 6 + = 0 = 3 ， 解得 = 1 = 3， 抛物线的解析式为 yx22x3， 直线 ykx+b 经过 A（0，3） ，B（3，0）两点， = 3 3 + = 0， 解得 = 1 = 3， 直线 AB 的解析式为 yx3； （2）如图 1， 作 PQy 轴交直线 AB 于点 Q， 设 P（m，m22m3） ，则 Qm，m3） ， PQm3（m22m3）m2+3m， SPAB= 1 2 3（m2+3m） = 3 2m 2+9 2m = 3 2（m 3 2） 2+27 8 ， 当 m= 3 2时，PAB 面积有最大值，最大值是 27 8 ，此时 P 点坐标为（3 2， 15 4

34、） 19 （3）存在，理由如下： yx22x3（x1）24， 抛物线的顶点 C 的坐标为（1，4） ， CEy 轴， E（1，2） ， CE2， 如图 2，若点 M 在 x 轴下方，四边形 CEMN 为平行四边形，则 CEMN， 设 M（a，a3） ，则 N（a，a22a3） ， MNa3（a22a3）a2+3a， a2+3a2， 解得：a2，a1（舍去） ， M（2，1） ， 如图 3，若点 M 在 x 轴上方，四边形 CENM 为平行四边形，则 CEMN， 设 M（a，a3） ，则 N（a，a22a3） ， MNa22a3（a3）a23a， a23a2， 解得：a= 3+17 2 ，a=

35、317 2 （舍去） ， 20 M（3+17 2 ，3+17 2 ） ， 综合可得 M 点的坐标为（2，1）或（3+17 2 ，3+17 2 ） ， 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数求最值问题，平行四边形 的性质，利用数形结合思想和分类讨论思想解决问题是本题的关键 28 （10 分）如图，AB 是半圆 O 的直径，C 是 的中点，点 D 在上，AC、BD 相交于点 E，F 是 BD 上一点，且 BFAD （1）求证：CFCD； （2）连接 AF，若CAF2ABF； 求证：ACAF； 当ACF 的面积为 12 时，求 AC 的长 【分析】 （1）证明CBFCA

36、D（SAS） ，推出BCFACD，可得结论 （2）过点 A 作 AGCF 于点 G，则FGAFCD90，想办法证明ACGAFG，即可推出 ACAF 证明 AGCH3CG，设 CGx，则 CF2x，AG3x，利用三角形面积公式构建方程求出 x，再利 用勾股定理求解即可 【解答】 （1）证明：AB 是直径， ACB90， C 是 的中点， = ， ACCB， CBFCAD，BFAD， CBFCAD（SAS） ， BCFACD， FCDACB90， CFCD 21 （2）证明：过点 A 作 AGCF 于点 G，则FGAFCD90， AGCD， CAGACDABF， CAF2ABF， CAF2CAG，

37、即CAGFAG， CAG+ACG90，FAG+AFG90， ACGAFG， ACAF 过点 A 作 AGCF 于点 G，过点 B 作 BHCF 交 CF 的延长线于点 H则BHCCGA90 CAG+GCA90， BCH+GCA90， BCHCAG， CBCA， BCHCAG（AAS） ， CHAG，BHCG， FCD90，CFCD， CFDCDF45， BHF90， BFH45FBH， BHHF， HFCG， ACAF，AGCF， CF2CG， AGCH3CG， 设 CGx，则 CF2x，AG3x， 则有，SACF= 1 2CFAG= 1 2 2x3x12， x2 或2（舍弃） ， CG2，AG6， 22 AGC90， AC= 2+ 2= 22+ 62=210 【点评】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解 题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型