2019-2020学年黑龙江省牡丹江市八年级下学期期末数学试卷（含答案解析）

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1、2019-2020 学年黑龙江省牡丹江市八年级（下）期末数学试卷学年黑龙江省牡丹江市八年级（下）期末数学试卷 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列二次根式中，不是最简二次根式是（ ） A B C D 2下列计算正确的是（ ） A B2+24 C2 D+45 3下列四个命题中，真命题是（ ） A对角线互相垂直的四边形是菱形 B对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 C顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形 D对角线互相垂直相等的四边形是正方形 4一组数据2，1，x，4，10 的平均数为 2，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A2，2 B1，2 C1，1 D2

2、，1 5 如图， 平面直角坐标系中， 在边长为 1 的正方形 ABCD 的边上有一动点 P 沿 ADCBA 运动一周， 则 P 的纵坐标 y 与 P 点走过的路程 s 之间的函数关系用图象表示大致是（ ） A B C D 6一次函数 y1k1x+b1与 y2k2x+b2的图象如图所示，则下列结论中：k1k20；b1b20；当 x 3 时 y1y2正确的序号是（ ） A B C D 7如图，在ABC 中，BAC120，AC6，AB4，则 BC 的长是（ ） A6 B2 C2 D9 8在平面直角坐标系中，点 O 为原点，点 A 的坐标为（1，0） ，直线 ykx3 交 x 轴于点 B，交 y 轴于

3、点 C，若ABC 的面积 6，则 k（ ） A1 B C1 或 D1 或 9如图，E 为矩形 ABCD 的边 AB 上一点，将矩形沿 CE 折叠，使点 B 恰好落在 ED 上的点 F 处，若 CD 5，BC3，则 BE 的长为（ ） A0.5 B1 C1.5 D2 10如图，正方形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上，连接 AE，过点 A 作 AFAE 交 CB 的延长线于点 F，连接 EF，AG 平分FAE，AG 分别交 BC，EF 于点 G，H，连接 EG，DH则下列结论中：AFAE； EGC2BAG；DE+BGEG；AD+DEDH；若 DECE，则 CE：CG：EG3：4：5，其 中正

4、确的结论有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，共分，共 30 分）分） 11在函数 y中，自变量 x 的取值范围是 12如图， 平行四边形 ABCD 中， F， E 分别在边 AD，BC 上， 要使 AECF， 需要添加的条件是 （只 填一个你认为正确的即可） 13若一组数据 x1，x2，x3的方差是 2，则数据 x1+3，x2+3，x3+3 的方差是 14若直线 yx+2 向下平移 4 个单位长度后与 x 轴的交点为点 A，点 B 的坐标为（0，3）则线段 AB 的长为 15已知 a，b，则 a22ab+b2的值为 16如果一次函数 ym

5、x+3 与 ynx6 的图象相交于 x 轴上一点，那么 m：n 17等腰ABC 中，ABAC，BDAC 于点 D，BD6，AD8，则 CD 的长为 18如图所示，矩形 ABCD 中，AD16，AB18，将矩形 ABCD 沿直线 l 折叠，使直线 l 两侧的部分能够 完全重合，点 E 在边 CD 上，且 DE：CE2：1，在直线 l 上有一个动点 F，连接 DF，EF，则DEF 周 长的最小值是 19如图放置A1B1A2，A2B2A3，A3B3A4，都是全等的等边三角形，边 A1B1在 y 轴上，点 A2在 x 轴上，点 A1，A2，A3，都在直线 yx1 上，则点 B2020的坐标是 20菱形

6、 ABCD 的周长为 40，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AC12，点 E 为边 AD 的中点，以 DE 为边 作正方形 DEFG，连接 BF，DF，则BFD 的面积为 三、解答题（共三、解答题（共 60 分）分） 21 （16 分）计算题 （1） （+）+（+）； （2） （+2） （5）（）2； （3）先化简，再求值：（） ，其中 x+1 22 （8 分）如图，在 RtABC 中，BAC90，点 D 是 BC 的中点，点 E 是 AB 的中点，过点 A 作 AF BC 交 DE 的延长线于点 F，连接 BF （1）求证：四边形 ADBF 是菱形； （2）若 DE3，BF5，求 AB

7、 的长 23 （7 分）八年级两名学生对本班一次数学成绩分别用了两种方法进行了一次初步统计，如图、表所示： （分数取整数，满分 120 分） 分数 x40 40 x60 60 x80 x100 x100 人数 4 6 35 25 （1）填上图和表中空缺部分； （2）班级共有 名学生； （3）已知全市参加本次测试的学生共有 6000 人，求全市中本次测试数学成绩不低于 100 分的学生大约 有多少人？ 24 （10 分）某商场购进甲、乙两种商品，每个乙种商品的价格比每个甲种商品的价格 2 倍少 20 元，用 900 元购进甲种商品的数量与用 1200 元购进乙种商品的数量相同，请回答下列问题：

8、（1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ （2）若商场从厂家购进甲、乙两种品共 100 个，且甲种商品的数量不多于乙种商品的数量，设购进甲 x 个，总成本是 y 元，求 y 与 x 的函数关系式，并求出最少成本的方案和最少成本； （3）用（2）中的最少成本的再次同时购进甲、乙两种商品，在钱全部用尽的情况下，请直接写出再 次购进甲、乙两种商品有多少种方案 25 （9 分）在菱形 ABCD 中，点 E 为边 BC 的中点，EFAD，垂足为点 F，BGAD，垂足为点 G （1）如图，求证：AGDFCD； （2）如图，如图，请分别写出线段 AG，DF，CD 之间的数量关系，不需要证明； （3）在

9、（1） （2）的条件下，若菱形 ABCD 的面积为 156，菱形 ABCD 的周长为 52，四边形 BEFG 的面 积为 ，线段 DF 的长为 26 （10 分）快、慢两车分别从相距 360 千米的 A，B 两地出发，匀速行驶，先相向而行，慢车在快车出发 1 小时后出发，到达 A 地后停止行驶，快车到达 B 地后，停留 1 小时后原路原速返回 A 地（调头时间忽 略不计） 在两车行驶的过程中，快、慢两车距各自出发地的路程 y（千米）与慢车行驶的时间 x（小时） 之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： （1）直接写出快、慢两车的速度； （2）求快车从 B 地返回 A 地的过程中 y

10、（千米）与 x（小时）的函数关系式，直接写出自变量 x 的取值 范围，并在图中（ ）内填入正确数值； （3）慢车出发后几小时，两车在途中相距 60 千米？请直接写出答案 2019-2020 学年黑龙江省牡丹江市八年级（下）期末数学试卷学年黑龙江省牡丹江市八年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列二次根式中，不是最简二次根式是（ ） A B C D 【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案 【解答】解：A、，是最简二次根式，不合题意； B、，是最简二次根式，不合题意； C、，是最简二次根式，不合

11、题意； D、，不是最简二次根式，符合题意 故选：D 2下列计算正确的是（ ） A B2+24 C2 D+45 【分析】直接利用二次根式的加减运算法则分别计算得出答案 【解答】解：A、与不是同类二次根式，无法合并，故此选项错误； B、2与 2 无法合并，故此选项错误； C、2，正确； D、，故此选项错误； 故选：C 3下列四个命题中，真命题是（ ） A对角线互相垂直的四边形是菱形 B对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 C顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形 D对角线互相垂直相等的四边形是正方形 【分析】利用菱形、矩形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项 【解答】解：A、对角线互相垂直

12、的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形，正确，是真命题，符合题意； D、对角线互相垂直相等的四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； 故选：C 4一组数据2，1，x，4，10 的平均数为 2，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A2，2 B1，2 C1，1 D2，1 【分析】先利用平均数求出 x 的值，再从小到大排列数据，即可求出这组数据的众数与中位数 【解答】解：一组数据2，1，x，4，10 的平均数为 2， （21+x+4+10）2， 解得

13、 x1， 从小到大排列为2，1，1，4，10， 故这组数据的众数是1，中位数是1 故选：C 5 如图， 平面直角坐标系中， 在边长为 1 的正方形 ABCD 的边上有一动点 P 沿 ADCBA 运动一周， 则 P 的纵坐标 y 与 P 点走过的路程 s 之间的函数关系用图象表示大致是（ ） A B C D 【分析】将动点 P 的运动过程划分为 AD、DC、CB、BA 共 4 个阶段，分别进行分析，最后得出结论 【解答】解：动点 P 运动过程中： 当 0s1 时，动点 P 在线段 AD 上运动，此时 y2 保持不变； 当 1s2 时，动点 P 在线段 DC 上运动，此时 y 由 2 到 1 逐渐

14、减少； 当 2s3 时，动点 P 在线段 CB 上运动，此时 y1 保持不变； 当 3s4 时，动点 P 在线段 BA 上运动，此时 y 由 1 到 2 逐渐增大； 结合函数图象，只有 D 选项符合要求 故选：A 6一次函数 y1k1x+b1与 y2k2x+b2的图象如图所示，则下列结论中：k1k20；b1b20；当 x 3 时 y1y2正确的序号是（ ） A B C D 【分析】根据 y1、y2所在象限可知判断出 k1、k2的大小，从而判断；根据 y1、y2与 y 轴交点从而判断 ；根据两直线的交点，以交点为分界，图象在上方的函数值大，图象在下方的函数值小即可判断 【解答】解：y1过一三四象

15、限， k10， y2过一二四象限， k20， k1k20，故错误； 由 y1、y2与 y 轴交点可知；b10，b20， b1b20，故错误； 当 x3 时，y1k1x+b1在 y2k2x+b2的图象下面， y1y2，故正确 故选：B 7如图，在ABC 中，BAC120，AC6，AB4，则 BC 的长是（ ） A6 B2 C2 D9 【分析】作 CDAB，根据直角三角形的性质求出 AD，根据勾股定理求出 CD，根据勾股定理计算，得 到答案 【解答】解：过点 C 作 CDAB，交 BA 的延长线于点 D， BAC120， DAC18012060， ACD30， ADAC3， BDAB+AD7， 由

16、勾股定理得，CD3， 在 RtBCD 中，BC2， 故选：B 8在平面直角坐标系中，点 O 为原点，点 A 的坐标为（1，0） ，直线 ykx3 交 x 轴于点 B，交 y 轴于点 C，若ABC 的面积 6，则 k（ ） A1 B C1 或 D1 或 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点 B，C 的坐标，进而可得出 OC，AB 的长，利用三 角形的面积公式结合ABC 的面积为 6，即可得出关于 k 的方程，解之即可得出结论 【解答】解：当 x0 时，yk033， 点 C 的坐标为（0，3） ，OC3； 当 y0 时，kx30， 解得：x， 点 B 的坐标为（，0） ，AB|1| SA

17、BCABOC6，即3|1|6， 解得：k1 或 k 故选：D 9如图，E 为矩形 ABCD 的边 AB 上一点，将矩形沿 CE 折叠，使点 B 恰好落在 ED 上的点 F 处，若 CD 5，BC3，则 BE 的长为（ ） A0.5 B1 C1.5 D2 【分析】求出 DF4，设 BEx，则 AE5x，根据勾股定理列方程可得 BE 的长 【解答】解：设 BEx，则 AE5x， 由折叠得：CFBC3，BCFE90， CFD90， DF4， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC3，A90， RtAED 中，AE2+AD2ED2， （5x）2+32（x+4）2， x1， BE1， 故选：B 10如图，

18、正方形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上，连接 AE，过点 A 作 AFAE 交 CB 的延长线于点 F，连接 EF，AG 平分FAE，AG 分别交 BC，EF 于点 G，H，连接 EG，DH则下列结论中：AFAE； EGC2BAG；DE+BGEG；AD+DEDH；若 DECE，则 CE：CG：EG3：4：5，其 中正确的结论有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【分析】正确证明ADEABF（ASA）可得结论 正确证明AGFAGE（SAS） ，推出AGFAGE90BAG，推出EGF1802 BAG 可得结论 正确证明GAFGAE，推出 GFGE 可得结论 正确过点 H 作 HM

19、AD 于 M，HNCD 于 N，证明HMAHNE（AAS） ，推出 AMEN，HM HN，再证明四边形 HMDN 是正方形可得结论 正确当 DEEC 时，设 DEECa，BGx，则 EGa+x，GC2ax，利用勾股定理构建方程求 出 x 即可解决问题 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， ABAD，ABCABFADEBAD90， AEAF， EAFBAD90， BAFDAE， ADEABF（ASA） ， AEAF，故正确， AG 平分EAF， GAFGAE， AFAE，AGAG， AGFAGE（SAS） ， AGFAGE90BAG， EGF1802BAG， EGF180EGC， EGC2B

20、AG，故正确， ADEABF， DEBF， GAFGAE， GFGE， FGBF+BGDE+BG， EGBG+DE，故正确， 过点 H 作 HMAD 于 M，HNCD 于 N， AEAF，EAF90，AH 平分EAF， AHEF，HFHE， HAHEHF， ADE+AHE180， HAD+DEH180， DEH+HEN180， HAMHEN， AMHENH90， HMAHNE（AAS） ， AMEN，HMHN， HMDHNDMDN90， 四边形 HMDN 是矩形， HMHN， 四边形 HMDN 是正方形， DMDNHMHN，DHDM， DA+DEDM+AM+DNEN2DMDH，故正确， 当 D

21、EEC 时，设 DEECa，BGx，则 EGa+x，GC2ax， 在 RtECG 中，EG2EC2+CG2， （x+a）2a2+（2ax）2， 解得 xa， CGa，EGa， CE：CG：EGa：a：3：4：5，故正确， 故选：D 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，共分，共 30 分）分） 11在函数 y中，自变量 x 的取值范围是 x0 且 x1 【分析】 根据二次根式的性质和分式的意义， 被开方数大于或等于 0， 分母不等于 0， 可以求出 x 的范围 【解答】解：根据题意得：x0 且 x10， 解得：x0 且 x1 故答案为：x0 且 x1 12如图，平行四边形 ABCD 中，F

22、，E 分别在边 AD，BC 上，要使 AECF，需要添加的条件是 AFCE （只填一个你认为正确的即可） 【分析】 根据平行四边形的性质： 对边相等， 从而可以得到四边形 AFCE 是平行四边形， 从而确定结论 【解答】解：AFCE； 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， AFEC， AFEC， 四边形 BFDE 是平行四边形， AECF， 故答案为：AFCE 13若一组数据 x1，x2，x3的方差是 2，则数据 x1+3，x2+3，x3+3 的方差是 2 【分析】根据“当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据 的波动情况不变”求解可得 【解答】解：

23、数据 x1，x2，x3的方差是 2， 数据 x1+3，x2+3，x3+3 的波动幅度不变， 数据 x1+3，x2+3，x3+3 的方差为 2， 故答案为：2 14若直线 yx+2 向下平移 4 个单位长度后与 x 轴的交点为点 A，点 B 的坐标为（0，3）则线段 AB 的长为 5 【分析】根据“上加下减”的原则求得平移后的直线解析式，令 y0，求得 A 的坐标，然后根据勾股定 理即可求得线段 AB 的长 【解答】解：直线 yx+2 向下平移 4 个单位长度后的解析式为 y+24，即 y2， 令 y0，则x20，解得 x4， A（4，0） ， 点 B 的坐标为（0，3） ， AB5， 故答案为

24、 5 15已知 a，b，则 a22ab+b2的值为 8 【分析】二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值二次根式运算的最后，注意结果要化到最简 二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰 【解答】解：a22ab+b2（ab）2（）（）2（2）28， 故答案为 8 16如果一次函数 ymx+3 与 ynx6 的图象相交于 x 轴上一点，那么 m：n 1：2 【分析】根据两直线的交点在 x 轴上，可分别令 y 等于 0 求出两个解析式相应的 x，因为两直线交于一点 且在 x 轴上，所以求得的两个 x 相等，变形可得 m 与 n的比值 【解答】解：因为两一次函数的图象都为直线且交点

25、在 x 轴上，分别令 y0， 由 ymx+3 得 x，由 ynx6 得 x， 即， 可得 m：n1：2 故答案为：1：2 17等腰ABC 中，ABAC，BDAC 于点 D，BD6，AD8，则 CD 的长为 2 或 18 【分析】利用勾股定理先求解 AB 的长，再根据等腰三角形的性质可得 AC 的长，进而求解 【解答】解：如图，当AB 此时锐角三角形时， BDAC， ADBBDC90， BD6，AD8， AB， ABAC， AC10， CDACAD1082， 当ABC 是钝角三角形时，同法可得 CDAC+AD10+818， 故答案为 2 或 18 18如图所示，矩形 ABCD 中，AD16，AB

26、18，将矩形 ABCD 沿直线 l 折叠，使直线 l 两侧的部分能够 完全重合，点 E 在边 CD 上，且 DE：CE2：1，在直线 l 上有一个动点 F，连接 DF，EF，则DEF 周 长的最小值是 32 【分析】连接 AE 交直线 l 于点 F，则此时 DF+EFDF+EF，可知DEF的周长最小，求出 DE12， AE20，则可得出答案 【解答】 解：将矩形 ABCD 沿直线 l 折叠，使直线 l 两侧的部分能够完全重合， 点 A 与点 D 关于直线 l 对称， 连接 AE 交直线 l 于点 F，则此时 DF+EFDF+EF， DEF的周长最小 DE：CE2：1，DCAB18， DE12，

27、CE6， 矩形 ABCD 中，ADE90，AD16，AB18， AE20， DEF的周长DE+EF+DFDE+AE12+2032 即DEF 周长的最小值是 32 故答案为：32 19如图放置A1B1A2，A2B2A3，A3B3A4，都是全等的等边三角形，边 A1B1在 y 轴上，点 A2在 x 轴上，点 A1，A2，A3，都在直线 yx1 上，则点 B2020的坐标是 （2019，2020） 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可分别求出点 A1、A2的坐标，利用点的坐标的变化可找出点 An的坐标为（n，n2） ，结合等边三角形的边长，即可得出点 Bn的坐标为（n，n） ， 再代入 n202

28、0 即可求出点 B2020的坐标 【解答】解：当 x0 时，y011， 点 A1的坐标为（0，1） ； 当 y0 时，x10， 解得：x， 点 A2的坐标为（，0） 点 An的坐标为（n，n2） A1B12OA12， 点 Bn的坐标为（n，n） ， 点 B2020的坐标（2019，2020） 故答案为： （2019，2020） 20菱形 ABCD 的周长为 40，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AC12，点 E 为边 AD 的中点，以 DE 为边 作正方形 DEFG，连接 BF，DF，则BFD 的面积为 56 或 8 【分析】 分两种情况： 当正方形 DEFG 与点 B 在 AD 的异侧

29、时； 当正方形 DEFG 与点 B 在 AD 的同侧时 分 别画出图形，延长 FE 或 FE 与 BC 交于点 H，过 ALBC 于点 L，过 F 作 FKBD 于点 K，通过菱形的 面积公式求得 AL，进而求得 BH，BF，设 BKx，由勾股定理列出 x 的方程，求得 FK，便可根据三角 形的面积公式求得结果 【解答】解：当正方形 DEFG 与点 B 在 AD 的异侧时，如图 1，延长 FE 与 BC 交于点 H，过 ALBC 于 点 L，过 F 作 FKBD 于点 K， 四边形 DEFG 是正方形， EFDE， 菱形 ABCD 中，ADBC， FHBC， 菱形 ABCD 的周长为 40，A

30、C12， ABBCCDAD10，OCAC6，ACBD， OB， BD2OB16， ， 即， EH9.6， E 为 AD 的中点，四边形 DEFG 是正方形， DEEF5， FHFE+EH14.6， ALBC，EHAD，EHBC， 四边形 ALHE 是矩形， ALEH9.6，AELH5， BL2.8， BHBL+LH7.8， BF2BH2+FH2274， DF， 设 BKx，则 DK16x， BF2BK2FK2DF2DK2， ， x15，即 BK15， 7， 56； 当正方形 DEFG 与点 B 在 AD 的同侧时，如图 2，延长 EF 与 BC 交于点 H，过 F 作 FKBD 于点 K， 由

31、上知，BH7.8，EH9.6，DEEF5，DF5， BF2BH2+CF27.82+（9.65）282， 设 BKx，则 DK16x， BF2BK2FK2DF2DK2， 82， 解得，x9，即 BK9， FK， ， 综上，BFD 的面积为 56 或 8 故答案为 56 或 8 三、解答题（共三、解答题（共 60 分）分） 21 （16 分）计算题 （1） （+）+（+）； （2） （+2） （5）（）2； （3）先化简，再求值：（） ，其中 x+1 【分析】 （1）原式利用二次根式的乘除法则计算，合并即可得到结果； （2）原式利用多项式乘以多项式法则，以及完全平方公式计算即可求出值； （3）原式

32、括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结 果，把 x 的值代入计算即可求出值 【解答】解： （1）原式+ + + 4+2+6+3 10+5； （2）原式35+210（22+6） 35+2102+26 15； （3）原式 ， 当 x+1 时，原式1+ 22 （8 分）如图，在 RtABC 中，BAC90，点 D 是 BC 的中点，点 E 是 AB 的中点，过点 A 作 AF BC 交 DE 的延长线于点 F，连接 BF （1）求证：四边形 ADBF 是菱形； （2）若 DE3，BF5，求 AB 的长 【分析】 （1）证AEFBED（AAS） ，得 AFB

33、D，则四边形 ADBF 是平行四边形，由直角三角形的 性质得 ADBCBDCD，即可得出四边形 ADBF 是菱形； （2）由菱形的性质得 DFAB，BDBF5，由勾股定理求出 BE4，即可得出 AB2BE8 【解答】 （1）证明：AFBC， AFEBDE， 点 E 是 AB 的中点， AEBE， 在AEF 和BED 中， AEFBED（AAS） ， AFBD， 四边形 ADBF 是平行四边形， BAC90，点 D 是 BC 的中点， ADBCBDCD， 四边形 ADBF 是菱形； （2）解：由（1）得：四边形 ADBF 是菱形， DFAB，BDBF5， BE4， AB2BE8 23 （7 分）

34、八年级两名学生对本班一次数学成绩分别用了两种方法进行了一次初步统计，如图、表所示： （分数取整数，满分 120 分） 分数 x40 40 x60 60 x80 x100 x100 人数 4 6 10 35 25 （1）填上图和表中空缺部分； （2）班级共有 60 名学生； （3）已知全市参加本次测试的学生共有 6000 人，求全市中本次测试数学成绩不低于 100 分的学生大约 有多少人？ 【分析】 （1）直接利用表格中数据以及条形统计图分别得出各范围内的人数； （2）直接利用表格中数据得出班级人数； （3）利用样本估计总体得出数学成绩不低于 100 分的学生数 【解答】解： （1）x40 的人

35、数为 4 人， 20 x40 的人数为：413（人） ， x100 的人数为 35 人， 80 x100 的人数为：351310615（人） ， 如图所示： （2）班级共有 35+2560 名学生； 故答案为：60； （3）全市参加本次测试的学生共有 6000 人， 全市中本次测试数学成绩不低于 100 分的学生大约有：60002500（人） ， 答：全市中本次测试数学成绩不低于 100 分的学生大约有 2500 人 24 （10 分）某商场购进甲、乙两种商品，每个乙种商品的价格比每个甲种商品的价格 2 倍少 20 元，用 900 元购进甲种商品的数量与用 1200 元购进乙种商品的数量相同，

36、请回答下列问题： （1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ （2）若商场从厂家购进甲、乙两种品共 100 个，且甲种商品的数量不多于乙种商品的数量，设购进甲 x 个，总成本是 y 元，求 y 与 x 的函数关系式，并求出最少成本的方案和最少成本； （3）用（2）中的最少成本的再次同时购进甲、乙两种商品，在钱全部用尽的情况下，请直接写出再 次购进甲、乙两种商品有多少种方案 【分析】 （1）设每件甲种商品的进价为 x 元，则每件乙种商品的进价为（2x20）元，根据题意建立方 程求出其解即可解答； （2）根据总成本等于 x 甲种商品的成本加上（100 x）个乙种商品的成本列出 y 与 x 的函

37、数关系式，根 据甲种商品的数量不多于乙种商品的数量得出 x 的取值范围，根据一次函数的性质即可求解； （3）设购进甲、乙两种品分别为 a 个，b 个，根据题意建立方程，用含 a 的代数式表示 b，根据 a，b 的整数性即可求解 【解答】解： （1）设每件甲种商品的进价为 x 元，则每件乙种商品的进价为（2x20）元， 根据题意，得， 解得：x30， 经检验，x30 是原方程的根， 每件乙种商品的进价为：2x20602040（元） 答：每件甲种商品的进价为 30 元，每件乙种商品件的进价为 40 元； （2）根据题意，得 y30 x+40（100 x）400010 x， x100 x， x50，

38、 k100， y 随 x 的增大而减小， x50 时，成本最少， 1005050（个） ， 最少成本 y400010 x400010503500（元） ， 购进甲、乙两种商品各 50 个时，最少成本为 3500 元； （3）35001000（元） ， 设购进甲、乙两种品分别为 a 个，b 个，根据题意，得 30a+40b1000 解得：b， b 是整数， 1003a 是 4 的倍数， 有以下四种方案： 购进甲、乙两种商品的数量分别为 0 个，25 个； 购进甲、乙两种商品的数量分别为 4 个，22 个； 购进甲、乙两种商品的数量分别为 8 个，19 个； 购进甲、乙两种商品的数量分别为 12

39、个，16 个 25 （9 分）在菱形 ABCD 中，点 E 为边 BC 的中点，EFAD，垂足为点 F，BGAD，垂足为点 G （1）如图，求证：AGDFCD； （2）如图，如图，请分别写出线段 AG，DF，CD 之间的数量关系，不需要证明； （3）在（1） （2）的条件下，若菱形 ABCD 的面积为 156，菱形 ABCD 的周长为 52，四边形 BEFG 的面 积为 78 ，线段 DF 的长为 或 【分析】 （1）如图中，如图 1 中，过点 D 作 DHBC 于 H证明AGBCHD（AAS）可得结论 （2）如图中，结论：DF+AGCD如图中，结论：DFAGCD利用全等三角形的性质解 决问题

40、即可 （3） 根据菱形的周长求出菱形的边长， 利用菱形的面积公式求出菱形的高 EF， 再利用勾股定理求出 AG， 利用（2）中结论解决问题即可 【解答】解： （1）如图中，如图 1 中，过点 D 作 DHBC 于 H 四边形 ABCD 是菱形， BCCDAB，ADBC，AC， BGAD，EFAD，DHBC， BGDHEF，AGBDHC90， 四边形 DFEH 是平行四边形， DFEH， AGBCHD90，AC，ABAC， AGBCHD（AAS） ， AGCH， AGDFCHHEEC， BEEC， ECBCCD， AGDFCD （2）如图中，结论：DF+AGCD 理由：过点 D 作 DHBC 于

41、 H 同法可证，AGCH，DFEH， DF+AGEH+CHECBCCD 如图中，结论：DFAGCD 理由：过点 D 作 DHBC 于 H 同法可证，AGCH，DFEH， DFAGEHCHECBCCD （3）菱形 ABCD 的周长为 52， BC5213， 菱形 ABCD 的面积156，EFAD， 13EF156， EF12， BGEF12， 四边形 BEFG 的面积1278 BGAD， G90， AG5， 如图中，DFCDAG5， 如图DFAG+CD5+， 故答案为 78，或 26 （10 分）快、慢两车分别从相距 360 千米的 A，B 两地出发，匀速行驶，先相向而行，慢车在快车出发 1 小

42、时后出发，到达 A 地后停止行驶，快车到达 B 地后，停留 1 小时后原路原速返回 A 地（调头时间忽 略不计） 在两车行驶的过程中，快、慢两车距各自出发地的路程 y（千米）与慢车行驶的时间 x（小时） 之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： （1）直接写出快、慢两车的速度； （2）求快车从 B 地返回 A 地的过程中 y（千米）与 x（小时）的函数关系式，直接写出自变量 x 的取值 范围，并在图中（ ）内填入正确数值； （3）慢车出发后几小时，两车在途中相距 60 千米？请直接写出答案 【分析】 （1）根据函数图象中的数据，可以计算出快、慢两车的速度； （2）根据题意和函数图象

43、中的数据，可以求得快车从 B 地返回 A 地的过程中 y（千米）与 x（小时）的 函数关系式，直接写出自变量 x 的取值范围，并在图中（ ）内填入正确数值； （3）根据题意，利用分类讨论的方法可以解答本题 【解答】解： （1）由图可得， 快车的速度为：1201120（千米/小时） ， 慢车的速度为：360660（千米/小时） ， 即快、慢两车的速度分别为 120 千米/小时、60 千米/小时； （2）设快车从 B 地返回 A 地的过程中 y（千米）与 x（小时）的函数关系式是 ykx+b， （360120）120+13， 则点（3，360） ， （6，0）在函数 ykx+b 的图象上， ， 解

44、得， 即快车从 B 地返回 A 地的过程中 y（千米）与 x（小时）的函数关系式是 y120 x+720； 60 x120+720， 解得 x4， 则图象中（ ）应填入的数据为：604240， 由上可得，快车从 B 地返回 A 地的过程中 y（千米）与 x（小时）的函数关系式是 y120 x+720（3x 6） ，图中（ ）内填入正确数值如右图所示； （3）设慢车出发后 x 小时，两车在途中相距 60 千米， 当相向而行相遇前， 120（x+1）+60 x36060， 解得 x1； 当相向而行相遇后，快车未到达 B 地前， 120（x+1）+60 x360+60， 解得 x； 快车从 B 地返回 A 地时， 120（x3）+6060 x， 解得 x5； 由上可得，慢车出发后 1 小时、小时或 5 小时，两车在途中相距 60 千米