人教版高中数学必修一第13讲：函数与方程（教师版）

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1、1 函数与方程 _ _ 1、 掌握函数的零点和二分法的定义 2、 会用二分法求函数零点的近似值。 一、函数的零点：一、函数的零点： 定义：一般地，如果函数 yf x在实数a处的值等于零即 0f a ，则a叫做这个函数的 零点。对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过 零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。 特别提醒：特别提醒： 函数零点个数的确定方法： 1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成； 2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结 合二次函数的图像进行； 3、

2、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间, a b上是连续不间断的， 且 f(a)f （b） 0， 还必须结合函数的图像和性质才能确定。 函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。 二、二分法：二、二分法： 定义：对于区间, a b上连续的，且 0f af b的函数 yf x，通过不断地把函数 f x的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方 法，叫做二分法。 特别提醒：特别提醒： 用二分法求函数零点的近似值 第一步：确定区间, a b，验证：f(a)f（b）0，给定精确度； 第二步：求区间, a b得中点 1 x； 第三步：计算 1 f x；若

3、 1 f x=0，则 1 x就是函数零点；若 f(a)f（1）0，则令 1 bx； 若 f(1)f（b）0，则令 1 ax 第四步： 判断是否达到精确度， 即若ab， 则得到零点近似值a()b或， 否则重复第二、 三、四步。 2 类型一类型一求函数的零点求函数的零点 例例 1 1：求函数yx1 的零点： 解析解析：令yx10，得x1， 函数yx1 的零点是 1. 答案：答案：1 练习练习 1 1：求函数yx 3x24x4 的零点 答案：答案：2,1,2. 练习练习 2 2：函数f(x)2x7 的零点为( ) A7 B7 2 C7 2 D7 答案：答案：C 类型二类型二 零点个数的判断零点个数的

4、判断 例例 2 2：判断函数f(x)x 27x12 的零点个数 解析解析：由f(x)0，即x 27x120 得 4941210， 方程x 27x120 有两个不相等的实数根 3,4， 函数f(x)有两个零点，分别是 3,4. 答案：答案：2 个 练习练习 1 1：二次函数yax 2bxc 中，ac9 且a0 Ba9 Ca0 或a0 答案答案：A 类型三类型三 函数零点的应用函数零点的应用 例例 3 3：若关于x的方程x 2(k2)x2k10 的两实数根中，一根在 0 和 1 之间，另一根在 1 和 2 之间，求实数k的取值范围 解析：解析：设函数 f(x)x 2(k2)x2k1，先画出函数的简

5、图，如图所示，函数 f(x)x2(k 2)x2k1 的图象开口向上，零点 x1(0,1)，x2(1,2)， 由 (0)0 (1)0 (2)0 f f f ， 3 解得，1 2k 2 3， 实数k的取值范围是 1 2， 2 3 . 答案：答案： 1 2， 2 3 . 练习练习1 1： 已知方程x 22px10有一个根大于1， 有一个根小于1， 则p的取值范围为_ 答案：答案：(，1) 练习练习 2 2：函数f(x)2(m1)x 24mx2m1 的一个零点在原点，则 m的值为_ 答案：答案：1 2 类型四类型四 二分法的概念二分法的概念 例例 4 4：函数图象与x轴均有公共点，但不能用二分法求公共

6、点横坐标的是( ) 解析：解析：选项 B 中的函数零点是不变号零点，不能用二分法求解 答案：答案：B 练习练习 1 1：函数yf(x)在区间a，b上的图象不间断，并且f(a)f(b)0，则这个函数在这个 区间上( ) A只有一个变号零点 B有一个不变号零点 C至少有一个变号零点 D不一定有零点 答案答案：C 练习练习 2 2：用二分法求函数f(x)x 32 的零点时，初始区间可选为( ) A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4) 答案：答案：B 类型五类型五 用二分法求函数零点的近似值用二分法求函数零点的近似值 例例 5:5: 求函数f(x)x 32x23x6 的一个为正数的零点

7、(精确到 0.1) 解析：解析：由于f(1)60，可取区间1,2作为计算的初始区间用二分法逐次计 算，列表如下： 4 端点(中点)坐标 计算中点的函数值 取区间 a01，b02 f(1)6，f(2)4 1,2 x112 2 1.5 f(x1)2.6250 1.5,1.75 x31.51.75 2 1.625 f(x3)1.302 70 1.625,1.75 x41.6251.75 2 1.6875 f(x4)0.561 80 1.687 5,1.75 x51.687 51.75 2 1.718 75 f(x5)0.1710 1.718 75, 1.734 375 因此可以看出，区间1.718

8、75,1.734 375内的所有值精确到 0.1 都为 1.7，所以 1.7 就是所 求函数精确到 0.1 的实数解 答案：答案：1.7 练习练习 1:1: 试用计算器求出函数f(x)x 2，g(x)2x2 的图象交点的横坐标(精确到 0.1) 答案：答案：0.7. 练习练习 2:2: (20142015 学年度四川省中学高一月考)用二分法求方程x 33x70 在(1,2)内近 似解的过程中，设函数f(x)x 33x7，算得 f(1)0，f(1.25)0，f(1.75)0，则该 方程的根落在区间( ) A(1,1.25) B(1.25,1.5) C(1.5,1.75) D(1.75,2) 答案

9、：答案：B 1、(2014 湖北文)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x23x.则函数 g(x)f(x) x3 的零点的集合为( ) A1,3 B3，1,1,3 C2 7，1,3 D2 7，1,3 答案： D 2、已知x1 是函数f(x)a xb(a0)的一个零点，则函数 g(x)ax 2bx 的零点是( ) A1 或 1 B0 或1 C1 或 0 D2 或 1 答案: C 3、三次方程x 3x22x10 的根不可能所在的区间为( ) A(2，1) B(1,0) C(0,1) D(1,2) 5 答案: C 4、 (20142015 学年度黑龙江省哈尔滨市第三十二中学

10、高一期中测试)若函数f(x)x 3x22x 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： f(1)2 f(1.5)0.625 f(1.25)0.984 f(1.375)0.260 f(1.438)0.165 f(1.406 5)0.052 那么方程x 3x22x20 的一个近似根(精确到 0.1)为( ) A1.2 B1.3 C1.4 D1.5 答案: C 5、已知函数yf(x)的图象是连续不断的，有如下的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 y 123.56 21.45 7.82 11.45 53.76 128.88 则函数yf(x)在区间1,6上的零点至少有( ) A

11、2 个 B3 个 C4 个 D5 个 答案： B _ _ 基础巩固基础巩固 1若函数f(x)在定义域x|x0上是偶函数，且在(0，)上是减函数，f(2)0，则函数 f(x)的零点有( ) A一个 B两个 C至少两个 D无法判断 答案： B 2若关于x的方程ax 2bxc0(a0)有两个实根 1、2，则实数 f(x)cx 2bxa 的零点为 ( ) A1,2 B1，2 C1，1 2 D1，1 2 答案： C 6 3若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于 区间( ) A(a，b)和(b，c)内 B(，a)和(a，b)内 C(b，c)和(c，)内

12、D(，a)和(c，)内 答案： A 4下列命题中正确的是( ) A方程(x2)(x5)1 有两个相异实根，且一个大于 5，一个小于 2 B函数yf(x)的图象与直线x1 的交点个数是 1 C零点存在性定理能用来判断函数零点的存在性，也能用来判断函数零点的个数 D利用二分法所得方程的近似解是惟一的 答案： A 5 在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时， 经计算， f(0.64)0, f(0.68)0 成立的 x的取值范 围是_. x 3 2 1 0 1 2 3 4 y 6 0 4 6 6 4 0 6 答案： (，2)(3，) 7已知函数f(x)x 2axb(a、bR R)的值域为0，)，若

13、关于 x的方程f(x)c(cR R) 有两个实根m、m6，则实数c的值为_ 答案：9 8给出以下结论，其中正确结论的序号是_ 函数图象通过零点时，函数值一定变号； 相邻两个零点之间的所有函数值保持同号； 函数f(x)在区间a，b上连续，若满足f(a)f(b)0，则方程f(x)0 在区间a，b上一定 有实根； “二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效 答案： 9. 设函数f(x) x 2bxc x 2 x ， 7 若f(4)2,f(2)2，则关于x的方程f(x)x的解的个数是_ 答案：3 10. 已知函数f(x)ax 32ax3a4 在区间(1,1)上有一个零点 (1)求实数a的取值范围； (2)若a32 17，用二分法求方程 f(x)0 在区间(1,1)上的根 答案： （1）1a0, f(0) 28 170, f(1) 4 170， 函数零点在(0,1)，又f(1 2)0， 方程f(x)0 在区间(1,1)上的根为1 2. 课程顾问签字课程顾问签字： ： 教学主管签字教学主管签字：