人教版高中数学必修一第9讲：指数运算与指数函数（教师版）

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1、1 指数运算与指数函数 _ _ 1、 理解根式、分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质 2、 掌握指数函数的概念、图像和性质。 一、一、有理数指数幂及运算性质有理数指数幂及运算性质 1、有理数指数幂的分类 （1）正整数指数幂() n n aa a aanN 个 ； （2）零指数幂)0(1 0 aa； （3）负整数指数幂 1 0, n n aanN a （4）0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义。 2、有理数指数幂的性质 （1）0, , mnm n a aaam nQ （2） 0, , n mmn aaam nQ （3）0,0, m mm aba babmQ 二、二、根式根

2、式 1、根式的定义：一般地，如果ax n ，那么x叫做a的n次方根，其中 Nnn, 1，na叫 做根式，n叫做根指数，a叫被开方数。 2、对于根式记号 n a，要注意以下几点： （1）nN， 且1n ； （2） 当n是奇数， 则aa nn ； 当n是偶数， 则 0 0 aa aa aa nn ； （3）负数没有偶次方根； （4）零的任何次方根都是零。 3、规定： （1）0,1 m nm n aaam nNn ； （2） 11 0,1 m n m nm n aam nNn a a 三、对指数函数定义的理解对指数函数定义的理解 2 一般地，函数) 10(aaay x 且叫做指数函数。 1、定义域是

3、R。因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数，所以在0a 的前提下，x可以 是任意实数。 2、规定0a ,且1a 的理由： （1）若0a ， 00 0 x x xa xa 当时，恒等于 ； 当时，无意义。 （2）若0a ，如( 2)xy ，当 1 4 x 、 1 2 等时，在实数范围内函数值不存在。 （3）若1a ，11 x y ，是一个常量，没有研究的必要性。 为了避免上述各种情况，所以规定0a ,且1a 。 3、式上的严格性： 指数函数的定义表达式 x ya中， x a前的系数必须是 1。自变量x在指数的位置上。比如 1 2,1, xxx yayaya 等，都不是指数函数；有些函数看起来不像

4、指数函数，实际上却是， 如 x ya(01)aa且，因为它可以化为 1 x y a ，其中 1 0 a ，且 1 1 a 。 四、指数函数的图象和性质：四、指数函数的图象和性质： 1a 01a 图象 性 质 定义域：R 值域：0, 图像都过点0,1 在R上是增函数 在R上是减函数 特别提醒：特别提醒： 角坐标系中的图像的相对位置关系与底数大小的关系有如下规律： 在y轴右侧，图像从下往上相应的底数由小变大；在y轴左侧，图像从上往下相应的底数由小变 大。即不论在y轴右侧还是左侧，底数按逆时针增大。 五、比较幂值得大小五、比较幂值得大小 底数相同：利用函数的单调性进行比较； 指数相同：方法一：可转化

5、为底数相同进行比较；方法二：可借助函数图像进行比较。指数函 数在同一直角坐标系中的图像与底数大小的关系有如下规律：即无论在 y 轴右侧还是在 y 轴左侧底 数按逆时针方向由小变大。 指数、底数都不同：可利用中间量进行比较。 六、指数方程的可解类型，可分为：六、指数方程的可解类型，可分为： 形如 0,1 f xg x aaaa的方程，化为 f xg x求解。 形如 2 0 xx abac的方程， 可令 x ta进行换元， 转化成 2 00tbtct一元二次方程 进行求解。 七、七、指数不等式的解法：指数不等式的解法： 当1a 时 ， fxgx aa 与 f xg x 同 解 ， 当01a时 ，

6、fxgx aa 与 f xg x 同解。 3 类型一类型一根式与分数指数幂的互化根式与分数指数幂的互化 例例 1 1：(1)用根式表示下列各式：a 1 5 ；a； 2 3 a ； (2)用分数指数幂表示下列各式：3a 5；3 a 6； 1 3 a 2 . 解析：解析：(1)a 1 5 5 a；a 3 4 4 a 3；a 2 3 1 3 a 2 . (2)3a 5a 5 3 ；3 a 6a 6 3 a2； 1 3 a 2 1 a 2 3 a 2 3 . 答案：答案：见解析 练习练习 1 1：把根式化为分数指数幂的形式：4a 2b3_. 答案：答案：ab 练习练习 2 2：用根式表示下列各式：x

7、3 5 ；x 1 3 答案：答案：x5x 3. x 1 3 1 3 x . 类型二类型二根式与分数指数幂的混合运算根式与分数指数幂的混合运算 例例 2 2：计算： 2 32 (0) a a aa 解析：解析：原式 125 22 2 236 13 32 22 aa aa aa aa 答案：答案：38 练习练习 1 1：化简：1.5 1 3 7 6 080.254 2(32 3) 6 3 2 2 3； 答案：答案：110 练习练习 2 2：(20142015 学年度西藏拉萨中学高一上学期月考)化简 2 3 3 3 3 ( ) A2 B6 C2 D6 答案：答案：D 类型三类型三指数函数的定义指数函

8、数的定义 例例 3 3：下列函数中，哪些是指数函数？ 4 y10 x； y10 x1； y10 x1；y210 x； y(10) x；y(10a)x(a10，且 a9)； yx 10. 解析：解析：y10 x符合定义，是指数函数； y10 x1是由 y10 x和 y10 这两个函数相乘得到的复合函数，不是指数函数； y10 x1 是由 y10 x和 y1 这两个函数相加得到的复合函数； y210 x是由 y2 和y10 x这两个函数相乘得到的复合函数，不是指数函数； y(10) x的底数是负数，不符合指数函数的定义； 由于 10a0，且 10a1，即底数是符合要求的常数，故y(10a) x(a

9、10，且 a 9)是指数函数； yx 10的底数不是常数，故不是指数函数 综上可知，、是指数函数 答案答案: :、 练习练习 1 1：若函数y(a3)(2a1) x是指数函数，求 a的值 答案答案: :4 练习练习 2 2：(20142015 学年度武汉二中、龙泉中学高一上学期期中测试)函数y(a 23a3)ax 是指数函数，则有( ) Aa1 或a2 Ba1 Ca2 Da0 且a1 答案：答案：C 类型四类型四指数函数的图象和性质指数函数的图象和性质 例例 4 4：函数f(x)a xb的图象如图所示，其中 a、b为常数，则下列结论正确的是( ) Aa1，b1，b0 C0a0 D0a1，b0

10、解析：解析：由图象呈下降趋势可知 0a1，又由图象与y轴的交点的纵坐标小于 1 可知a b0，b0)的图象经过第一、三和第四象限，则( ) Aa1 Ba1，且m0 C0a0 D0a1，所以指数函数y1.7 x在(，)上是增函数 2.53，1.7 2.51.73. (2)考察函数y0.8 x，由于 00.80.2，0.8 0.11.701， 0.93.10.93.1. 答案：答案： 练习练习 1:1:比较下列各题中两个值的大小 (1)0.3 x与 0.3x1； (2) 1 2 2与 2. 答案：答案： 练习练习 2:2: (20142015 学年度潍坊四县市高一上学期期中测试)函数f(x)a x

11、12(a0，a1) 恒过定点_ 答案：答案：(1,3) 类型六指数函数性质的综合应用类型六指数函数性质的综合应用 例例 6:6:函数f(x)x 2bxc， 满足 f(1x)f(1x)， 且f(0)3， 比较f(b x)与 f(c x)的大小 解析：解析：f(1x)f(1x)， f(x)x 2bxc 的对称轴为x1. 即b 21b2.又 f(0)3，c3. f(b x)f(2x)，f(cx)f(3x) 若x0，则 3 x2x1，而 f(x)x 22x3 在1，)上为增函数， f(3 x)f(2x)，即 f(c x)f(bx)， 若x0，则 03 x2xf(2x)，即 f(c x)f(bx)， 综

12、上所述，f(c x)f(bx) 答案：答案：f(c x)f(bx) 练习练习 1:1:(2015陕西文，4 改编)设 1- 0 ( ) 2 0 x xx f x x ，则ff(2)_. 6 答案：答案：1 2 练习练习 2:2:设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x1 对称，且当x1 时，f(x)3 x 1，则f(1 3)、f( 3 2)、f( 2 3)的大小关系为_ 答案：答案：f(2 3)f( 3 2)f( 1 3) 1、把下列各式中的a写成分数指数幂的形式 （1） 5 256a ； （2） 4 28a； 答案： （1） 1 5 256a ； （2） 1 4 28a 2、计算（1

13、） 3 2 9； （2） 3 2 16 答案： （1） 333 2 23 222 933327 ； （2） 33 231 22 1 164464 64 3、求下列各式的值 （1） 3 3 2； （2） 4 4 2； 答案： （1） 3 3 22 ； （2） 4 4 22 4、用分数指数幂的形式表示下列各式： （1） 2 aa （2） 332 aa 答案： （1） 115 2 22 222 aaaaaa ； （2） 2211 3 3323 333 aaaaaa 5、若函数 2 23 x yaa是一个指数函数，求实数a的取值范围。 答案： ,1515, 13,1515, 6、函数 3 23 x y

14、 恒过定点_。 答案：3,4 _ _ 7 基础巩固基础巩固 1(20142015 学年度河北刑台二中高一上学期月考)下列命题中正确命题的个数为( ) na na；若 aR R，则(a 2a1)01；3 x 4y3x4 3 y； 3 5 2 6 ( 5). A0 B1 C2 D3 答案：B 2(20142015 学年度四川成都七中实验学校高一上学期期中测试)设a0，将 a 2 a3a 2 写成 分数指数幂，其结果是( ) A 3 2 a B 1 2 a C 5 6 a D 7 6 a 答案：D 3(20142015 学年度山东济宁兖州区高一上学期期中测试)计算：2 1 2 2 2 1 21 5

15、0_. 答案：2 2 4(20142015 学年度潍坊四县市高一上学期期中测试)若a0 且 a1)的图象 必经过定点_ 答案：(1,2) 7(20142015 学年度山东济宁兖州区高一上学期期中测试)设f(x)是定义在 R R 上的奇函数， 且当x0 时，f(x)2 x3，则当 x0 且 a1) 是奇函数 (1)求常数k的值； (2)若a1，试判断函数f(x)的单调性，并加以证明 答案：(1)函数f(x)的定义域为 R R. 又f(x)为奇函数，f(0)0， 即k10，k1. (2)当a1 时，函数f(x)是 R R 上的增函数 由(1)知f(x)a xax. 设任意实数x1x2， f(x2)

16、f(x1)a x2ax2a x1a-x1 a x2a x11 ax1 1 a x2 a x2a x1a x2a x1 a x1x2 (a x2a x1) 1 1 a x1x2 x11，a x10. 又 1 1 a x1x20， f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1) 故当a1 时，函数f(x)在 R R 上是增函数 9.已知定义域为 R R 的函数f(x)b2 x 2 xa是奇函数 (1)求a、b的值； (2)用定义证明f(x)在(，)上为减函数； (3)若对于任意tR R，不等式f(t 22t)f(2t2k)0 恒成立，求 k的范围 答案：(1)f(x)为 R R 上的奇函数， 9

17、f(0)0，b1. 又f(1)f(1)，得a1. (2)任取x1，x2R R，且x1x2，则 f(x1)f(x2) 12 x1 2 x11 12 x2 2 x21 21 12 2(22 ) (12 )(12 ) xx xx ， x10， 又(2 x11)(2 x21)0，f(x 1)f(x2)0. f(x)为 R R 上的减函数 (3)tR R，不等式f(t 22t)f(2t2k)0 恒成立， f(t 22t)f(2t2k) f(x)是奇函数，f(t 22t)k2t2. 即k3t 22t 恒成立， 而 3t 22t3(t1 3) 21 3 1 3， k1 3. 课程顾问签字课程顾问签字： ： 教学主管签字教学主管签字：