人教版高中数学必修一第5讲：函数的单调性（教师版）

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1、1 函数的单调性 _ _ 1、 通过已学过的函数模型，特别是二次函数，理解函数的单调性； 2、 掌握单调性的判断方法，并能简单应用； 一、一、函数单调性的定义函数单调性的定义 1 1、图形描述：、图形描述： 对于函数)(xf的定义域 I I 内某个区间 D D 上，若其图像为从左到右的一条上升的曲线， 我们就说 函数)(xf在区间 D D 上为单调递增函数； 若其图像为从左到右的一条下降的曲线， 我们就说函数)(xf 在区间 D D 上为单调递减函数。 2 2、定量描述、定量描述 对于函数)(xf的定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 21,x x， （1）若当 1 x 2 x时

2、，都有 1 ()f x)( 2 xf,则说)(xf在区间 D 上是增函数； （2）若当 1 x 2 x时，都有)( 1 xf)( 2 xf,则说)(xf在区间 D 上是减函数。 3 3、单调性与单调区间、单调性与单调区间 若函数y=)(xf在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(xf在这一区间具有（严格的） 单调性，这一区间叫做函数)(xf的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。在单调区间 上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 特别提醒：特别提醒： 1、 函数是增函数还是减函数， 是对定义域内某个区间而言的。 有的函数在一些区间上是增函数， 而在另一些区间上不是增函数.例

3、如函数 2 xy （图 1） ，当0,x时是增函数，当,0 x 时是减函数。 而有的函数在整个定义域上都是单调的。 2、 函数的单调区间是其定义域的子集； 3、 21,x x 应是该区间内任意的两个实数， 忽略需要任意取值这个条件， 就不能保证函数是增函数 （或减函数） 。 二、用定义证明函数的单调性用定义证明函数的单调性： 定义法证明函数在某个区间上是增（减）函数是最基本方法其步骤是： 1、取量定大小：即设 21,x x是区间上的任意两个实数，且 1 x 2 x； 2、作差定符号：即 12 f xf x，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差 2 的符号的方向变形； 3、判断定结

4、论： 即根据定义得出结论。 三、三、判断较复杂函数的单调性的几条有用的结论判断较复杂函数的单调性的几条有用的结论 1、函数 yf x 与函数 yf x的单调性相反 2、当 f x恒为正或恒为负时，函数 1 y f x 与函数 yf x的单调性相反 3、在公共区间内，增函数增函数增函数，增函数减函数增函数，减函数增函数减 函数。 四四、复合函数单调性的判断复合函数单调性的判断 对于函数)(ufy 和)(xgu ， 如果)(xgu 在区间),(ba上是具有单调性， 当),(bax时， ),(nmu， 且)(ufy 在区间),(nm上也具有单调性， 则复合函数)(xgfy 在区间),(ba具有 单调

5、性的规律见下表： )(ufy ),(nmu 增 减 )(xgu ),(bax 增 减 增 减 )(xgfy ),(bax 增 减 减 增 以上规律还可总结为： “同增异减” 。 类型一类型一用定义证明函数的单调性用定义证明函数的单调性 例例 1 1：证明：函数f(x)2x 24x 在(，1上是减函数 解析解析：设x10， yf(x2)f(x1)(2x4x2)(2x4x1) 2(xx)4(x2x1) 2(x2x1)(x1x22) x1x21，x1x220，y0. f(x)在(，1上是减函数 答案：答案：见解析 练习练习 1 1：证明函数f(x)x在定义域上是减函数 答案：答案：设x1、x2是0，

6、)内的任意两个实数，且x10， yf(x2)f(x1)x2(x1)x1x2 x1x2x1x2 x1x2 x1x2 x1x2. x1x2x0，y0. f(x)x在0，)上是减函数 练习练习 2 2： (20142015 学年度宁夏育才中学中学高一上学期月考)设函数 f(x)=+2 +1,用单调性定义 证明在（-1，+）上是减函数。 答案：答案：设任意x1(1，)，x2(1，)，且x1x2. f(x2)f(x1)x 22 x21 x12 x11 3 x1x2 x2x1 类型二类型二 证明含参数的函数的单调性证明含参数的函数的单调性 例例 2 2：已知函数f(x) ax x 21(a为常数且a0)，

7、试判断函数f(x)在(1,1)上的单调性 解析解析 任取x1、x2，使得1x1x20. yf(x2)f(x1)a x1x2x1x2 x 2 1x 2 2 ， 1x1x20，x 2 110，x 2 210， x1x2x1x2 x 2 1x 2 2 0 时，f(x2)f(x1)0， 故此时函数f(x)在(1,1)上是减函数， 当a0， 故此时f(x)在(1,1)上是增函数 综上所述，当a0 时，f(x)在(1,1)上为减函数， 当a0 时， f(x)在(0，)上是减函数，当a0 时， f(x)在(0，)上是增函数 练习练习 2 2：判断函数 2 0 xa f xa x 在,0上的单调性 答案：答案

8、：单调递减函数 类型三类型三 证明抽象函数的单调性证明抽象函数的单调性 例例 3 3：已知函数yf(x)在(0，)上为增函数，且f(x)0)，试判断F(x) 1 fx 在(0， )上的单调性，并证明 解析：解析：F(x)在(0，)上为减函数下面给出证明： 任取 x1、x2(0，)，且xx2x10. yF(x2)F(x1) 1 fx2 1 fx1 f x1fx2 fx2fx1 ， 又yf(x)在(0，)上为增函数，且 xx2x10， yf(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)， f(x1)f(x2)0. 而f(x1)0，f(x2)0， 4 F(x2)F(x1)0， F(x)在(0，)上为减

9、函数 答案：答案：减函数 练习练习 1 1：已知函数 yf(x)在(0，)上为减函数，且 f(x)0)，试判断 F(x)f (x)在 (0，)上的单调性，并证明 答案：答案：增函数 练习练习2 2： (20142015学年度江苏泰州三中高一上学期期中测试)函数f(x)x2x3在1， )的单调性为_ 答案：答案：增函数。 类型四类型四 求函数的单调区间求函数的单调区间 例例 4 4：求函数yx1 x，x(0，)的单调区间，并画出函数的大致图象 解析：解析：设x1、x2是任意两个不相等的正数，且x10， yf(x2)f(x1)(x21 x2)(x 1 1 x1)(x 2x1)x 1x2 x1x2

10、(x2x1)x 1x21 x1x2 . 由于 0x10，x1x20， 当x1、x2(0,1时，有x1x210，此时y0，此时y0， 即函数yx1 x，x(0，)的单调减区间(0,1，单调增区间是(1，) 函数的大致图象如图所示 答案：答案：单调减区间(0,1，单调增区间是(1，)。 练习练习 1 1：求函数f(x) 1 1x的单调区间 答案答案：单调递增区间为(，1)和(1，) 练习练习 2 2：函数 2 11 xx y x 的单调递减区间是 答案：答案： 1,2和2, 。 类型五类型五 利用单调性解不等式利用单调性解不等式 例例 5 5：已知yf(x)在定义域(1,1)上是减函数，且f(1a

11、)f(a 21)，求 a的取值范围 解析：解析：由题意可得 11a1， 1a 21a 21， 5 由得 0a2， 由得 0a 22，0|a| 2， 2a 2，且a0. 由得a 2a20，即(a1)(a2)0 a20 或 a10 ， 2a1.综上可知 0a1， a的取值范围是 0a1. 答案：答案：0a1. 练习练习 1 1：已知f(x)是定义在1,1上的增函数，且f(x2)f(1x)，求x的取值范围 答案：答案： x的取值范围为 x|1x3 2 . 练习练习 2 2：函数f(x)在(，)上是减函数，且a为实数，则有( ) Af(a)f(2a) Bf(a 2)f(a) Cf(a 21)f(a)

12、Df(a 2a)f(a) 答案：答案：C， 类型六类型六 用单调性求最值用单调性求最值 例例 6:6: 求f(x)xx1的最小值 解析：解析：f(x)xx1的定义域为1，)， 任取x1、x21，)，且x10， 则yf(x2)f(x1)(x2x21)(x1x11) (x2x1)(x21x11) (x2x1) x2x1 x21x11 (x2x1) 1 1 x11x21 . xx2x10,1 1 x11x210， f(x2)f(x1)0. f(x)在1，)上为增函数，f(x)minf(1)1. 答案：答案：1 练习练习1:1: (20142015学年度山东济宁市兖州区高一上学期期中测试)已知f(x)

13、 1 x1， x2,6， 求函数f(x)的最大值和最小值 答案：答案：f(x)maxf(2)1, f(x)minf(6)1 5. 练习练习 2:2: 函数1yx在2,2上的最大值与最小值分别为 。 答案答案: : maxmin 3,0yy 6 1、证明函数 3 )(xxfxR是增函数。 答案：证明：设 21,x x是 R 上的任意两个实数，且 1 x1 2 Ba1 2 Ca1 2 Da0 B(x1x2)f(x1)f(x2)0 Cf(a)f(x1)f(x2)0 答案：C 4(20142015 学年度武汉二中、龙泉中学高一上学期期中测试)函数f(x)x 22ax3 在 区间(，4)上单调递增，则实

14、数a的取值范围是( ) Aa4 Da4 答案：D 5若函数f(x)在区间(a，b上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a， c)上( ) A必是增函数 B必是减函数 C是增函数或是减函数 D无法确定单调性 答案：D 6(20142015 学年度四川德阳五中高一上学期月考)下列函数在区间(0,1)上是增函数的是 ( ) Ay|x| By32x Cy 1 2x Dyx 24x3 答案：A 函数y|x|在(0,1)上是增函数 7(20142015 学年度宁夏育才中学高一上学期月考)函数yx 2bxc 在区间(，1)上是 减函数时，b的取值范围是( ) Ab2 Bb2 Cb2

15、 Db2 答案：A 8 能力提升能力提升 8. (20142015 学年度四川德阳五中高一上学期月考)已知函数f(x) x 2x1，证明函数 f(x) 在区间(1，)上是减函数 答案: 设任意x1(1，)，x2(1，)，且x1x2. f(x2)f(x1) x2 2x21 x1 2x11 2x1x2x22x1x2x1 x2x1 x1x2 x2x1 x1x2，x1x21，x21， 2x110,2x210， x1x2 x2x1 0， f(x2)0 时， f(x)0，f(1) 2 3. (1)求证：f(x)是 R R 上的单调递减函数； (2)求f(x)在3,3上的最小值 答案：(1)证明：设x1、x2是任意的两个实数，且x10， x0 时，f(x)0，f(x2x1)0， 又x2(x2x1)x1， f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)， f(x2)f(x1)f(x2x1)0，f(x2)f(x1) f(x)是 R R 上的单调递减函数 (2)解：由(1)可知f(x)在 R R 上是减函数， f(x)在3,3上也是减函数， 9 f(x)在3,3上的最小值为f(3) 而f(3)f(1)f(2)3f(1)3 2 3 2. 函数f(x)在3,3上的最小值是2. 课程顾问签字课程顾问签字： ： 教学主管签字教学主管签字：