人教版高中数学必修一第6讲：函数的奇偶性（教师版）

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1、1 函数的奇偶性 _ _ 1、 理解函数的奇偶性及其图像特征； 2、 能够简单应用函数的奇偶性及其图像特征； 一、一、函数奇偶性定义函数奇偶性定义 1 1、图形描述：、图形描述： 函数 f x的图像关于y轴对称 f x为偶函数； 函数 f x的图像关于原点轴对称 f x为奇函数 定量描述 一般地，如果对于函数 f x的定义域内任意一个x，都有()( )fxf x，则称 f x为偶函 数；如果都有 -fxf x，则称 f x为奇函数；如果()( )fxf x与 -fxf x同时成 立，那么函数 f x既是奇函数又是偶函数；如果()( )fxf x与 -fxf x都不能成立，那 么函数 f x既不

2、是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。 如果函数 f x是奇函数或偶函数，则称函数( )yf x具有奇偶性。 特别提醒：特别提醒： 1、 函数具有奇偶性的必要条件是： 函数的定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称。 换言之， 若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具备奇偶性。2、用函数奇偶性的定义判断 函数是否具有奇偶性的一般步骤： （1）考察函数的定义域是否关于原点对称。若不对称，可直接判 定该函数不具有奇偶性；若对称，则进入第二步； （2）判断 fxf x与 fxf x 这 两个等式的成立情况，根据定义来判定该函数的奇偶性。 二、函数具有奇偶性的几个结论函数具有奇偶性的几个结

3、论 1、 yf x是偶函数 yf x的图像关于y轴对称； yf x是奇函数 yf x 的图像关于原点对称。 2、奇函数 f x在0 x有定义，必有 00f。 3、偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在定义域内关于原点对称 2 的两个区间上单调性相同。 4、 ,f xg x是定义域为 12 ,D D且 12 DD要关于原点对称，那么就有以下结论： 奇奇奇 偶偶偶 奇奇偶 偶偶偶 奇偶奇 5、复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”。 6、多项整式函数 1 10 ( ) nn nn P xa xaxa 的奇偶性 多项式函数( )P x是奇函数( )P x的偶次项的系数和

4、常数项全为零； 多项式函数( )P x是偶函数( )P x的奇次项的系数全为零。 类型一类型一 函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断 例例 1 1：判断下列函数是否具有奇偶性： (1)f(x)2x 43x2； (2)f(x)1 xx； 解析解析：(1)函数f(x)的定义域为 R R， 又f(x)2(x) 43(x)2 2x 43x2f(x)， 函数f(x)2x 43x2是偶函数 (2)函数f(x)的定义域为(，0)(0，)， 又f(x) 1 xx( 1 xx)f(x)， 函数f(x)1 xx 是奇函数 答案：答案： （1）偶函数 （2）奇函数 练习练习 1 1：判断下列函数的奇偶性： (1)f(x

5、)x 21； (2)f(x)|x1|x1|； 答案：答案： （1）偶函数 （2）奇函数 练习练习 2 2：(20142015 学年度山东枣庄第八中学高一上学期期中测试)下列函数中，既是奇函数 又是增函数的是( ) Ayx1 Byx 2 Cy1 x Dyx|x| 答案：答案：D 类型二类型二 分段函数奇偶性的判定分段函数奇偶性的判定 例例 2 2：用定义判断函数f(x) x 2 x x 2 x 的奇偶性 解析解析：任取x0，则x0. f(x)(x) 21x21 (x 21)f(x) 又任取x0. f(x)(x) 21x21 3 (x 21)f(x) 对x(，0)(0，)都有f(x)f(x)成立函

6、数f(x)为奇函数 答案：答案：奇函数 练习练习 1 1：判断函数f(x) x 22 x 0 x x 2 x 的奇偶性 答案：答案：奇函数. 练习练习 2 2：如果F(x) 2x3 x fx x 是奇函数，则f(x)_.的单调性 答案：答案：2x3 类型三类型三 利用奇利用奇( (偶偶) )函数图象的对称特征，求关于原点对称的区间上的解析式函数图象的对称特征，求关于原点对称的区间上的解析式 例例 3 3：若f(x)是定义在 R R 上的奇函数，当x0 时，x0， 当x0 时，f(x)2x1，则函数f(x)的解析式为_ 答案：答案： f(x) 2x1 x 0 x 2x1 x 练习练习 2 2：(

7、20142015 学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)函数f(x)是定义在 R R 上的奇 函数，当x0 时，f(x)x1，则当x0，2 |1a|0)， f(1)f(1)，f(1)f(1)， 当 a0 时，函数 f(x)是非奇非偶函数 答案：答案：非奇非偶. 练习练习 1 1：(20142015 学年度河南省实验中学高一月考)已知函数f(x)x 2a x，常数 aR R，讨 论函数f(x)的奇偶性，并说明理由 答案：答案：偶函数 练习练习2 2： (20142015学年度潍坊市四县市高一上学期期中测试)已知函数f(x)axb x(其中 a、 b为常数)的图象经过两点(1,2)和(2，5 2

8、) (1)求函数f(x)的解析式； (2)判断函数f(x)的奇偶性 5 答案：答案：(1)f(x)x1 x.(2)f(x)为奇函数 类型六类型六 利用奇偶性确定函数中字母的值利用奇偶性确定函数中字母的值 例例 6:6: 已知函数f(x)ax 22 3xb是奇函数，且 f(2)5 3.求实数 a、b的值； 解析：解析：f(x)为奇函数， f(x)f(x)0， ax 22 3xb ax 22 3xb， 3xb3xb，b0. 又 f(2)5 3， 4a2 6 5 3，a2. 答案：答案：a2.b0. 练习练习 1:1: (20142015 学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)已知函数f(x)xb

9、 1x 2为奇函 数.求b的值； 答案：答案：b=0 练习练习 2:2: 若函数(0)ykxb k是奇函数，则b ；若函数 2 (0)yaxbxc a为偶 函数，则b 。 答案答案: : 0 ; 0 类型七：利用奇偶性解不等式类型七：利用奇偶性解不等式 例例 7 7：已知函数 f(x)是定义在(2,2)上的奇函数且是减函数，若 f(m1)f(12m)0，求 实数 m 的取值范围 解析：解析：由题意知 2m12 212m2 ， 得1 2m 3 2. 由函数f(x)是定义在(2,2)上的奇函数及f(m1)f(12m)0，得f(m1)f(2m1) 函数f(x)在(2,2)上是减函数， m12m1，得

10、m0. 实数m的取值范围是0，3 2) 答案：答案：0，3 2) 练习练习 1 1：定义在2,2上的偶函数 f(x)，当 x0 时单调递减，设 f(1m)f(m)，求 m 的取值 范围 答案：答案： 1，1 2 . 练习练习 2 2：(20142015 学年度河南省实验中学高一上学期月考)已知偶函数f(x)在区间(， 0上单调递减，则满足f(2x1)、 ) 答案： 9(20142015 学年度青海师范大学附属第二中学高一上学期月考)设函数f(x)x 22|x|( 3x3) (1)证明：f(x)是偶函数； (2)画出此函数的图象，并指出函数的单调区间 答案： (1)3x3，函数f(x)的定义域关于原点对称 f(x)(x) 22|x|x22|x|f(x)， f(x)是偶函数 (2)函数f(x)的图象如图所示 9 由图象可知， 函数f(x)的单调递增区间为1,0， 1,3， 单调递减区间为3， 1， 0,1 10已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)g(x)(x 21)(x1)，求 f(x)、g(x) 答案： 得f(x)x 21，g(x)x(x21) 课程顾问签字课程顾问签字： ： 教学主管签字教学主管签字：