人教版高中数学必修一第2讲：集合的关系与运算（教师版）

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1、1 集合的关系与运算 _ _ 1、 掌握两个集合之间的包含关系和相等关系，能识别给定集合的子集。 2、 了解空集的含义与性质。 3、 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。 4、 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。 一、一、子集子集： 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何 一个元素都是集合B的元素，我们就说集合 A包含于集合B，或集合B包含集合B。 记作:ABBA或 ， 读作：A包含于B或B包含A。 特别提醒：特别提醒： 1、“A是B的子集” 的含义是： 集合A的任何 一个元素都是集合B的元素， 即由xA， 能推出xB。如：1, 11,0

2、,1,2 ；深圳人中国人。2、当“A不是B的子集”时， 我们记作：“ABBA 或” ， 读作：“A不包含于B，（或B不包含A） ” 。 如：1,2,31,3,4,5 。 3、任何集合都是它本身的子集。即对于任何一集合A，它的任何一个元素都属于集合A本身，记 作AA。4、我们规定：空集是任何集合的子集，即对于任一集合A，有A 。5、在子集的 定义中，不能理解为子集A是集合B中部分元素组成的集合。因为若A，则A中不含有任何元 素；若A=B，则A中含有B中的所有元素，但此时都说集合A是集合B的子集。 二、集合相等集合相等： 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何 一个元素都是集合B的元素，同时

3、集合B的 任何 一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。 特别提醒：特别提醒： 集合相等的定义实际上给出了我们判断或证明两个集合相等的办法， 即欲证AB， 只需证AB与BA都成立即可。 三、三、真子集真子集： 对于两个集合A与B，如果BA，并且BA ，我们就说集合A是集合B的真子集， 记作：AB 或 BA, 读作 A 真包含于 B 或 B 真包含 A 奎屯 王新敞 新疆 2 特别提醒：特别提醒：1、空集是任何非空集合的真子集。2、对集合A，B，C，如果AB，BC， 那么AC。3、两个集合A、B之间的关系： ABABBA AB ABAB AB AB 且 四、四、并集并集：

4、 1 1、并集的概念：、并集的概念： 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集。 记作：AB，读作：A并B。 符号语言表达式为：AB x xAxB，或 。 韦恩（Venn）图表示，如右图（阴影部分） 如： 1,2,3,61,2,5,10=1,2,3,5,6,10 。 特别提醒：特别提醒： （1）定义中“或”字的意义：用“或”字连接的并列成份之间不一定是互相排斥的。 “xAxB，或”这一条件包含下列三种情况：xAxB，但；xBxA，但； xAxB，且。 （2）对于ABx xAxB，或，不能认为是由A的所有元素和B的所 有元素组成的集合， 因为A与B可能有公共元素，

5、 所以上述看法， 从集合元素的互异性看是错误的。 2 2、并集的性质、并集的性质： （1）,ABA ABB； （2）AAA； （3）AA ； （4）ABBA。 3 3、讨论两集合在各种关系下的并集情况：讨论两集合在各种关系下的并集情况： （1）若AB，则ABB，如图； （2）若BA，则ABA，如图； （3）若AB，则ABA（ABB） ，如图； （4）若A与B相交，则AB 图中的阴影部分； （5）若A与B相离，则AB 图中的阴影部分。 五、五、交集：交集： 1 1、交集的概念：、交集的概念： 一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A与B的交集。 记作：AB；读作：A交B。 符号语言

6、表达式为：ABx xAxB，且 韦恩（Venn）图表示，如右图（阴影部分） ： 如： 1,2,3,61,2,5,10=1,2 特别提醒：特别提醒：对于ABx xAxB，且，是指AB中的任一元素都是A与B的公共 元素，同时这些公共元素都属于AB。还有并不是任何两个集合总有公共元素，当集合A与集合 B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是AB 。 2 2、交集的运算性质：交集的运算性质： （1）,ABA ABB； （2）AAA； （3）A ； （4）ABBA。 3 3 3、讨论两集合在各种关系下的交集情况：、讨论两集合在各种关系下的交集情况： （1）若AB，则ABA，如图； （2）若BA，则A

7、BB，如图； （3）若AB，则ABA（ABB） ，如图； （4）若A与B相交，则AB 图中的阴影部分； （5）若A与B相离，则AB ，如图。 六：六：全集与补集全集与补集： 1 1、全集的概念：全集的概念： 如果一个给定的集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素， 这个集合就可以看作一个全集， 全集通常用U表示。 2 2、补集的概念补集的概念： 一般地，设U是一个集合，A是U的一个子集（即AU） ，由U中所有不属于A的元素组 成的集合，叫做U中子集A的补集（或余集） 。 记作：UA；读作：A在U中的补集； 符号语言表达式为：UA ,x xUxA且； 韦恩（Venn）图表示，如右图（阴影部分）

8、： 类型一类型一 子集、真子集的概念子集、真子集的概念 例例 1 1：已知集合M满足1,2M 1,2,3,4,5，求所有满足条件的集合M. 解析解析：由条件知，集合M中一定有元素 1,2，可能含有 3,4,5 中的部分数故满足条件的集合M 可以是：1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,5，1,2,3,4，1,2,3,5，1,2,4,5 答案：答案：1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,5，1,2,3,4，1,2,3,5，1,2,4,5 练习练习 1 1：写出满足3,4P0,1,2,3,4的所有集合P. 答案：答案：0,3,4，1,3,4，2,3,4，0,1,3,4，0,2,3,4，1,2,

9、3,4，0,1,2,3,4 练习练习 2 2： (20142015 学年度重庆一中高一上学期期中测试)以下表示正确的是( ) A0 B0 C0 D0 答案：答案：D 类型二类型二 集合相等关系的应用集合相等关系的应用 例例 2 2：已知集合x 2，xy,0 x，y x，1，求 x 2 015y2 015的值为_ 解析解析：由题意知，0 x，y x，1， 又x0，y0. 集合x 2，xy,0 x2，x,0 又 1x 2，x,0，且 x1，x 21，x1. 故x 2 015y2 015(1)2 01502 0151. 答案：答案：-1 练习练习 1：已知集合A2，a，b，集合B2a,2，b 2，若

10、 AB，求a、b的值 4 答案：答案： a0 b1 或 a1 4 b1 2 . 练习练习 2 2：将下列两集合相等的组的序号填在横线上 。 2 ,21 ,Px xn nZQx xnnZ； 21,21,Px xnnNQx xnnN 2 11 0 , 2 n Px xxQx xnZ 答案：答案： 类型三类型三 由集合关系求参数取值范围由集合关系求参数取值范围 例例 3 3：已知集合Ax|3x4，Bx|2m1xm1，且BA求实数m的取值范围 解析：解析：(1)当B时，m12m1. 解得m2，这时BA (2)当B时，由BA得 32m1 m14 2m1m1 ， 解得1m2. 综上得m1. 答案：答案：m

11、1. 练习练习 1 1：若x|2xa0 x|1x3，则实数a的取值范围是_ 答案：答案：a|2a6 练习练习 2 2：(20142015 学年河南洛阳市高一上学期期中测试)设集合Ax|x 24x0，B xR|x 22(a1)xa210，若 BA，求实数a的取值范围 答案：答案：a1 或a1. 类型四类型四 交集的概念交集的概念 例例 4 4：设集合 Ax|x20，集合 Bx|x240，则 AB( ) A2 B2 C2,2 D 解析：解析：Ax|x202，Bx|x2402,2，AB2 答案：答案：A 练习练习 1 1：(2015广东理)若集合 Mx|(x4)(x1)0，Nx|(x4)(x1)0，

12、则 MN ( ) A1,4 B1，4 C0 D 答案答案：D 练习练习 2 2：(2015广东文)若集合 M1,1，N2,1,0，则 MN( ) A0，1 B0 C1 D1,1 答案：答案： C 类型五类型五 并集的概念并集的概念 例例 5 5：集合 A0,2，a，B1，a2，若 AB0,1,2,4,16，则 a 的值为( ) A0 B1 C2 D4 解析：解析： A0,2，a，B1，a 2，AB0,1,2,4,16， 5 a 216 a4 或 a 24 a16 ， 由得a4，无解综上，得a4. 答案：答案：D 练习练习 1 1：(20142015 学年度江西临川一中高一上学期期中测试)若集合

13、 A0,1,2,3，集合 B 1,2,4，则 AB( ) A0,1,2,3,4 B1,2,3,4 C1,2 D0 答案答案：A 练习练习 2 2：(20142015 学年度广东珠海斗门一中高一上学期期中测试)已知集合 M1,1,2， N1,4，则 MN( ) A1 B1,4 C1,1,2,4 D 答案：答案： C 类型六类型六 补集的运算补集的运算 例例 6 6：设全集 U2,3，a22a3，A|2a1|,2，UA5，则 a 的值为_ 解析：解析：因为UA5，且AUA2，|2a1|,5U2,3，a 22a3， a 22a35 |2a1|3 ， 解得a2 或a4；解得a2 或a1. 所以a的值为

14、 2. 答案：答案： 2 练习练习 1 1： (20142015 学年度山西朔州一中高一上学期期中测试)已知全集 U1,2,3,4,5,6,7， A2,4,6，B1,3,5,7，则 A(UB)等于( ) A2,4,6 B1,3,5 C2,4,5 D2,5 答案答案：A 练习练习 2 2： (2014湖北文， 1)已知全集 U1,2,3,4,5,6,7， 集合 A1,3,5,6， 则 UA( ) A1,3,5,6 B2,3,7 C2,4,7 D2,5,7 答案：答案： C 类型七类型七 应用应用 VennVenn 图进行集合间的交、并、补运算图进行集合间的交、并、补运算 例例 7 7：全集 U不

15、大于 15 的正奇数，MN5,15，U(MN)3,13， (UM)N9,11， 求 M. 解析：解析： 答案：答案： 1,5，7，15 练习练习 1 1：已知 M、N 为集合 I 的非空真子集，且 M、N 不相等，若 N(IM)，则 MN( ) AM BN CI D 答案答案：A 练习练习 2 2：(2015湖南文，11)已知集合 U1,2,3,4，A1,3，B1,3,4，则 A(UB) _. 答案：答案： 1,2,3 6 1. (20142015 学年度江西临川一中高一上学期期中测试)下列集合中， 只有一个子集的集合是 ( ) Ax|x33 B(x，y)|y 2x2，x、yR Cx|x 20

16、 Dx|x 2x10 答案：D 2. 已知集合 A0,1，B1,0，a3，且 AB，则 a( ) A1 B0 C2 D3 答案： C 3. (20142015 学年度北京市丰台二中高一上学期期中测试)已知集合 Ax|x22x0，B 0,1,2，则 AB( ) A0 B0,1 C0,2 D0,1,2 答案：C 4. (20142015 学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)满足条件 M11,2,3的集合 M 的个数是( ) A4 B3 C2 D1 答案：C 5(20142015 学年度宁夏银川一中高一上学期期中测试)如果 U1,2,3,4,5，M1,2,3，N 2,3,5，那么(UM)N( )

17、 A B1,3 C1 D5 答案：D _ _ 基础巩固基础巩固 1.集合 Ax|0 x3 且 xN的真子集个数是( ) A16 B8 C7 D4 7 答案：答案：C C 2. 满足a，bAa，b，c，d的集合 A 有_个( ) A1 B2 C3 D4 答案：答案：C C 3. (20142015 学年度广东肇庆市高一上学期期中测试)已知 Px|1x3， Qx|2x1， 则 PQ( ) Ax|2x1 Bx|2x3 Cx|1x3 Dx|1x1 答案：D 4. (20142015学年度山西太原市高一上学期期中测试)设全集UR R， 集合Ax|2x2， Bx|1x3，则图中阴影部分表示的集合为( )

18、Ax|2x3 Bx|1x2 Cx|0 x2 Dx|1x2 答案：答案：B B 5. (2015 安徽文)设全集 U1,2,3,4,5,6，A1,2，B2,3,4，则 A(UB)( ) A1,2,5,6 B1 C2 D1,2,3,4 答案：答案：B B 6. (2014 江西文)设全集为 R，集合 Ax|x290，Bx|1x5，则 A(RB)( ) A(3,0) B(3，1) C(3，1 D(3,3) 答案：答案：C C 能力提升能力提升 7. 若集合 A1,3，x，Bx2,1，且 BA，则实数 x 的值是_ 答案：答案：0 或 3 8. 已知集合 M 含有三个元素 1,2，x2，则 x 的值为_ 答案：答案：x 1，且 x 2 9. 已知集合 Ax|1x6，Bx|m1x2m1 (1)若 BA，求实数 m 的取值范围； (2)若 xN，求集合 A 的子集的个数 答案：答案： （1）m2 或 0m5 2. （2）2 7128. 8 10. (20142015 学年度湖北重点中学高一上学期期中测试)已知全集 UR，集合 Ax| 2x5，Bx|1x6，求(UA)(UB) 答案：答案：x|x6 课程顾问签字课程顾问签字： ： 教学主管签字教学主管签字：