新课标版数学（理）高三总复习之：第九章解析几何第6节

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1、高考调研高考调研第第1页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第九章第九章解解析析几几何何高考调研高考调研第第2页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第第6课时课时椭椭圆圆 (二二) 高考调研高考调研第第3页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 1能够把研究直线与椭圆位置关系的问题转化为研究方程解的问题，会根据韦达定理及判别式解决问题 2通过对椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想请注意作为

2、高考热点的直线与圆锥曲线的位置关系主要体现在直线与椭圆中，所以我们必须要对直线与椭圆的位置关系熟练掌握，并适度强化高考调研高考调研第第4页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习课前自助餐课前自助餐授授人以渔人以渔自助餐自助餐题组层级快练题组层级快练高考调研高考调研第第5页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习课前自助餐课前自助餐高考调研高考调研第第6页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 1椭圆

3、x 2 a2 y2 b21(ab0)的参数方程为_ _ xacos ybsin (是参数) 高考调研高考调研第第7页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 2点 P(x0，y0)和椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的关系 (1)P(x0，y0)在椭圆内_. (2)P(x0，y0)在椭圆上_. (3)P(x0，y0)在椭圆外_. x2 0 a2 y2 0 b21 高考调研高考调研第第8页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 3焦点三角形椭圆上的点P(x0，y0)与两焦

4、点构成的三角形PF1F2称做焦点三角形(如图)F1PF2. SPF1F2_ . 1 2r1r2sin c|y0| 高考调研高考调研第第9页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 0有交点相交； 0 相切； b0)，由 b2x2a2y2a2b20， x 3y40，得(a23b2)y28 3b2y16b2a2b20. 由 0，可得 a27，2a2 7. 高考调研高考调研第第15页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 3 (2015 安徽庐江统测)设 A1， A2是椭圆x

5、 2 4 y 2 2 1 的左、右顶点，P 在椭圆上，若 kPA12，则 kPA2的值为( ) A1 4 B1 2 C1 D.1 4 答案 A 高考调研高考调研第第16页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习解析 A1(2,0)，A2(2,0)，设 P(x，y)，则 kPA1 y x22，kPA2 y x2. 2kPA2 y2 x24，kPA2 1 2 y2 x24. P 在椭圆上，x 2 4 y 2 2 1，y 2 2 4x 2 4 ，即 y2 x24 1 2，kPA2 1 2 1 2 1 4. 高考调研高考调研第第17页页

6、第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 4直线 m 与椭圆x 2 2 y21 交于 P1，P2两点，线段 P1P2 的中点为 P，设直线 m 的斜率为 k1(k10)，直线 OP 的斜率为 k2，则 k1k2的值为_ 答案 1 2 解析由点差法可求出 k11 2 x中 y中， k1 y中 x中 1 2，即 k1k2 1 2. 高考调研高考调研第第18页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 5已知斜率为 1 的直线过椭圆x 2 4 y21 的右焦点交椭圆于 A，B 两点，则

7、弦 AB 的长为_ 答案 8 5 高考调研高考调研第第19页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习解析右焦点( 3，0)，直线 AB 的方程为 yx 3，由 yx 3， x2 4 y21，得 5x28 3x80. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)则 x1x28 3 5 ，x1x28 5. |AB|1k28 3 5 248 5 8 5. 高考调研高考调研第第20页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习授授人人以以渔渔高考调研高考调研第第21页页第九章第九章

8、解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习题型一题型一直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系例 1 求证：不论 m 取何值，直线 l：mxym10 与椭圆 x2 16 y2 9 1 总有交点高考调研高考调研第第22页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习【解析】方法一：由 mxym10， x2 16 y2 9 1，消去 y，得 x2 16 mxm12 9 1.整理，得 (16m29)x232m(m1)x16m232m1280.(*) 322m2(m1)24(16m29)(16m23

9、2m128) 576(15m22m8)57615(m 1 15) 2119 15 0，方程(*)恒有实根原方程组恒有解故直线 l 与椭圆总有交点高考调研高考调研第第23页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习方法二：直线 l 的方程可化为 m(x1)(1y)0，故直线 l 恒过 x10 和y10 的交点 A(1,1) 又点A在椭圆 x2 16 y2 9 1内部，直线l与椭圆总有交点【答案】略高考调研高考调研第第24页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习探

10、究1 直线与椭圆位置关系的判断有两种方法，一是联立方程，借助一元二次方程的判别式来判断；二是借助几何性质来判断如本例中的方法二则更为简捷，根据直线系方程抓住直线恒过定点的特征，将问题转化为点和椭圆的位置关系，这也是解决该题的难点所在，破解此类问题的关键是熟练掌握直线系方程，另外抓住题中“kR”这个条件结合图形，也是很容易想到直线必过定点高考调研高考调研第第25页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习思考题思考题1 已知直线 l：y2xm，椭圆 C： x2 4 y 2 2 1，试问：当 m 取何值时，直线 l 与椭圆

11、C， (1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点？高考调研高考调研第第26页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习【解析】由 y2xm， x2 4 y 2 2 1，得 9x28mx2m240. 其 (8m)249(2m24)8m2144. (1)由 0，得3 2m3 2，此时直线与椭圆 C 有两个不同的公共点； (2)由 0，得 m 3 2，此时直线与椭圆 C 有且只有一个公共点；高考调研高考调研第第27页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高

12、三总复习高三总复习 (3)由 0，得 m3 2，此时直线与椭圆 C 没有公共点综上所述，当3 2m3 2时，直线 l 与椭圆 C 有两个不重合的公共点；当 m 3 2时，直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点；当 m3 2时，直线 l 与椭圆 C 没有公共点【答案】 (1)m(3 2，3 2) (2)m 3 2 (3)m(，3 2)(3 2，) 高考调研高考调研第第28页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习题型二题型二弦长问题弦长问题例 2 已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的一个顶点为 B(0,4)，

13、离心率 e 5 5 ，直线 l 交椭圆于 M，N 两点 (1)若直线 l 的方程为 yx4，求弦 MN 的长 (2)如果BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F，求直线 l 方程的一般式高考调研高考调研第第29页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习【解析】 (1)由已知得 b4，且c a 5 5 ，即c 2 a2 1 5. a 2b2 a2 1 5，解得 a 220. 椭圆方程为 x2 20 y2 161. 则 4x25y280 与 yx4 联立消去 y，得 9x240 x0，x10，x240 9 . 所求弦长|MN| 112|

14、x2x1|40 2 9 . 高考调研高考调研第第30页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (2)椭圆右焦点 F 的坐标为(2,0)，设线段 MN 的中点为 Q(x0，y0)，由三角形重心的性质知BF 2FQ .又 B(0,4)，(2， 4)2(x02，y0)故得 x03，y02，即得 Q 的坐标为 (3，2) 高考调研高考调研第第31页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x26，y1y24，且 x2 1 20 y2 1

15、161， x2 2 20 y2 2 161. 以上两式相减，得x 1x2x1x2 20 y 1y2y1y2 16 0. kMNy 1y2 x1x2 4 5 x1x2 y1y2 4 5 6 4 6 5. 故直线 MN 的方程为 y26 5(x3)，即 6x5y280. 【答案】 (1)40 2 9 (2)6x5y280 高考调研高考调研第第32页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习探究2 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立，解决相关问题，涉及

16、弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单 (2)设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB| 1k2x1x224x1x2 1 1 k2y1y2 24y 1y2(k 为直线斜率) 提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式高考调研高考调研第第33页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习思考题思考题2 (2015 济南统考)已知椭圆 x2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 2 2 ，短轴的一个端点为 M(0,1)，直线 l：ykx1 3与椭圆相交于不

17、同的两点 A，B. (1)若|AB|4 26 9 ，求实数 k 的值； (2)求证：不论 k 取何值，以 AB 为直径的圆恒过点 M. 高考调研高考调研第第34页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习【解析】 (1)由题意知c a 2 2 ，b1. 由 a2b2c2，可得 cb1，a 2. 椭圆的方程为x 2 2 y21. 由 ykx1 3， x2 2 y21，得(2k21)x24 3kx 16 9 0. 16 9 k24(2k21)(16 9 )16k264 9 0 恒成立高考调研高考调研第第35页页第九章第九章解析几何

18、解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2 4k 32k21，x1x2 16 92k21. |AB|1k2 |x1x2|1k2 x1x224x1x2 4 1k29k24 32k21 4 26 9 . 化简得 23k413k2100，即(k21)(23k210)0，解得 k 1. 高考调研高考调研第第36页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (2)MA (x1，y11)，MB (x2，y21)， MA MB x1x2(y11)(y21) (1k2)

19、x1x24 3k(x1x2) 16 9 161k 2 92k21 16k2 92k21 16 9 0. 不论 k 取何值，以 AB 为直径的圆恒过点 M. 【答案】 (1)1 (2)略高考调研高考调研第第37页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习题型三题型三中点弦、弦中点问题中点弦、弦中点问题例 3 已知椭圆x 2 2 y21. (1)求斜率为 2 的平行弦中点的轨迹方程； (2)过 N(1,2)的直线 l 与椭圆相交，求被 l 截得的弦的中点的轨迹方程； (3)求过点 P(1 2， 1 2)且被 P 点平分的弦所在直线的

20、方程高考调研高考调研第第38页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习【解析】设弦的两端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为 M(x0，y0)，则有x 2 1 2 y2 11，x 2 2 2 y2 21. 两式作差，得x 2x1x2x1 2 (y2y1)(y2y1)0. x1x22x0，y1y22y0，y 2y1 x2x1kAB，代入后求得 kAB x0 2y0. 高考调研高考调研第第39页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (1)设弦中点为 M(x，

21、y)，由式，2 x 2y，x4y 0. 故所求的轨迹方程为 x4y0(4 3x 4 3) 高考调研高考调研第第40页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (2)不妨设 l 交椭圆于 A，B，弦中点为 M(x，y)，由式 k1kAB x 2y. 又k1kMNy2 x1， x 2y y2 x1. 整理，得 x22y2x4y0(24 7 9 x24 7 9 ， 4 7 9 y4 7 9 )，此即所求的轨迹方程高考调研高考调研第第41页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习

22、【讲评】在求中点弦的轨迹时，要注意由于中点一定在曲线内部(含有焦点的一侧)，因此只能是轨迹方程表示的曲线在圆锥曲线内部的那部分而不是全部若是轨迹方程，则必须确定出变量的取值范围注意本例(2)中只规定x，y之一的范围是不够的，具体原因请读者结合图形自行思考 (3)由式，弦所在的直线的斜率 k x0 2y0 1 2，其方程为 y1 2 1 2(x 1 2)，即 2x4y30. 高考调研高考调研第第42页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习【答案】 (1)x4y0(4 3x 4 3) (2)x2 2y2 x 4y 0( 24

23、 7 9 x 24 7 9 ， 4 7 9 yb0)， A，B 的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则 x1x24，y1y22. 又 kAB1 2，即 y1y2 x1x2 1 2. 高考调研高考调研第第46页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 A，B 在椭圆上，有x 2 1 a2 y2 1 b21， x2 2 a2 y2 2 b21，得x 2 1x 2 2 a2 y 2 1y 2 2 b2 0. b2 a2 y1y2y1y2 x1x2x1x2 1 4，a 24b2. 椭圆方程化为 x24y24b2. 直线 AB 的方程为 y

24、11 2(x2)，即 y1 2x2. 高考调研高考调研第第47页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习把直线方程代入椭圆方程得 x24(1 2x2) 24b2，即 x24x82b20. x1x24，x1x282b2. |AB| 1k2|x1x2|，即 10 11 2 2 (x1x2)24x1x2 5 4164(82b 2)，解之得 b23，a212. 所求椭圆方程为 x2 12 y2 3 1. 【答案】 x2 12 y2 3 1 高考调研高考调研第第48页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学

25、（理）高三总复习高三总复习题型四题型四最值与范围综合问题最值与范围综合问题例 4 (2015 衡水调研)已知椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1，F2，椭圆的离心率为1 2，且椭圆经过点 P(1， 3 2) (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)线段PQ是椭圆过点F2的弦，且PF2 F2Q ，求PF1Q 内切圆面积最大时实数的值高考调研高考调研第第49页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习【解析】 (1)ec a 1 2，P(1， 3 2)满足 1 a2 3 2 2 b2 1，又 a2b2c2，a24，b23，x

26、2 4 y 2 3 1. 高考调研高考调研第第50页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (2)显然直线 PQ 不与 x 轴重合当直线 PQ 与 x 轴垂直时，|PQ|3，|F1F2|2，SPF1Q 3；当直线PQ不与x轴垂直时，设直线PQ： yk(x1)， k0 代入椭圆 C 的标准方程，整理，得(34k2)y26ky9k20. 高考调研高考调研第第51页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 0，y1y2 6k 34k2，y1y2 9k2 34k2， SPF1Q

27、 1 2 |F1F2|y1y2|y1y224y1y2 6k 34k2 24 9k2 34k212 k4k2 34k22. 令 t34k2，t3，k2t3 4 . SPF1Q331 t 1 3 24 3. 高考调研高考调研第第52页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 01 t b0)过点 P(2,1)，且离心率 e 3 2 . (1)求椭圆 C 的方程； (2)直线的l的斜率为1 2，直线l与椭圆C交于A， B两点求 PAB 面积的最大值高考调研高考调研第第55页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理

28、）数学（理）高三总复习高三总复习【解析】 (1)e2c 2 a2 a2b2 a2 3 4，a 24b2. 又椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)过点 P(2,1)， 4 a2 1 b21.a 28，b22. 故所求椭圆方程为x 2 8 y 2 2 1. 高考调研高考调研第第56页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (2)设 l 的方程为 y1 2xm，点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立 y1 2xm， x2 8 y 2 2 1，整理，得 x22mx2m240. 4m28m2160，解得|m|b0)的一条

29、弦，M(x0，y0)是 AB 的中点，则 kABb 2x 0 a2y0，kAB kOM b2 a2. 高考调研高考调研第第59页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 3涉及弦长的问题，应熟练地应用韦达定理“设而不求”地去计算弦长(即运用弦长公式)，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，“设而不求”，简化运算高考调研高考调研第第60页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习自助餐自助餐高考调研高考调研第第61页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（

30、理）数学（理）高三总复习高三总复习 1直线 ykx1，当 k 变化时，此直线被椭圆x 2 4 y2 1 截得的最大弦长是( ) A2 B.4 3 3 C4 D不能确定答案 B 高考调研高考调研第第62页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习解析直线所过的定点为(0,1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x，y)，则弦长为 x2y12 44y2y22y1 3y22y5，当 y1 3时，弦长最大为 4 3 3 . 高考调研高考调研第第63页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高

31、三总复习 2若椭圆 x2 36 y2 9 1 的弦被点(4,2)平分，则这条弦所在的直线方程是( ) Ax2y0 Bx2y40 C2x3y120 Dx2y80 答案 D 高考调研高考调研第第64页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习解析设这条弦的两端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为 k，则 x2 1 36 y2 1 9 1， x2 2 36 y2 2 9 1，两式相减再变形，得x 1x2 36 ky 1y2 9 0. 又弦中点为(4,2)，k1 2. 这条弦所在的直线方程为 y21 2(x4)，即 x2y

32、 80. 高考调研高考调研第第65页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 3椭圆 x2 16 y2 4 1 上的点到直线 x2y 20 的最大距离是( ) A3 B. 11 C2 2 D. 10 答案 D 高考调研高考调研第第66页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习解析设椭圆 x2 16 y2 4 1 上的点 P(4cos， 2sin)，则点 P 到直线 x2y 20 的距离为 d|4cos4sin 2| 5 |4 2sin 4 2| 5 ， dmax|4 2

33、2| 5 10. 高考调研高考调研第第67页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 4(2013 大纲全国理)椭圆 C：x 2 4 y 2 3 1 的左、右顶点分别为 A1， A2，点 P 在 C 上且直线 PA2斜率的取值范围是 2，1，那么直线 PA1斜率的取值范围是( ) A1 2， 3 4 B 3 8， 3 4 C1 2，1 D3 4，1 答案 B 高考调研高考调研第第68页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习解析设 P 点坐标为(x0，y0)，则x 2 0

34、 4 y 2 0 3 1， kPA2 y0 x02，kPA1 y0 x02，于是 kPA1 kPA2 y2 0 x2 02 2 33 4x 2 0 x2 04 3 4.故 kPA1 3 4 1 kPA2. kPA22，1，kPA13 8， 3 4故选 B. 高考调研高考调研第第69页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 5(2015 天津七校联考)设椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)过点(0,4)，离心率为3 5. (1)求椭圆 C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为4 5的直线被 C 所截线段的中点坐标答案

35、 (1) x2 25 y2 161 (2)( 3 2， 6 5) 高考调研高考调研第第70页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习解析 (1)将点(0,4)代入 C 的方程得16 b2 1，所以 b4. 又 ec a 3 5，得 a2b2 a2 9 25，即 1 16 a2 9 25，所以 a5. 所以椭圆 C 的方程为 x2 25 y2 161. 高考调研高考调研第第71页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (2)过点(3,0)且斜率为4 5的直线方程为 y 4 5(x3)，设直线与 C 的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 x2 25 y2 161， y4 5x3，消去 y，得 x2 25 x32 25 1，即 x23x 80. 所以 AB 的中点坐标 x0 x 1x2 2 3 2，y0 4 5(x03) 6 5，即所截线段的中点坐标为(3 2， 6 5) 高考调研高考调研第第72页页第九章第九章解析几何解析几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习题组层级快练题组层级快练