新课标版数学（理）高三总复习之：第八章立体几何第七节

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1、高考调研高考调研第第1页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第八章第八章立体几何立体几何高考调研高考调研第第2页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第第7课时课时空间向量的应用空间向量的应用(一一) 平行与垂直平行与垂直高考调研高考调研第第3页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 1能够运用向量的坐标判断两个向量的平行或垂直 2理解直线的方向向量与平面的法向量 3能用向量方法解决线面、面面的垂直与平

2、行问题，体会向量方法在立体几何中的作用高考调研高考调研第第4页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习请注意本节知识是高考中的重点考查内容，着重考查线线、线面、面面的平行与垂直，考查以选择题、填空题形式，出现时灵活多变，以解答题出现时，往往综合性较强属于中档题高考调研高考调研第第5页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习课前自助餐课前自助餐授授人以渔人以渔题组层级快练题组层级快练高考调研高考调研第第6页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标

3、版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习课前自助餐课前自助餐高考调研高考调研第第7页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 1直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量 (或共线)的向量，显然一条直线的方向向量可以有个平行无数多高考调研高考调研第第8页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 2平面的法向量 (1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有，它们是 _ 向量 (2)在空间中，给定一个点A和一个向量a

4、，那么以向量a 为法向量且经过点A的平面是确定的无数多个共线唯一高考调研高考调研第第9页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 3直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用直线l1的方向向量u1(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量为 u2(a2，b2，c2) 如果l1l2，那么u1u2 如果l1l2，那么u1u2 . 直线l的方向向量为u(a1，b1，c1)，平面的法向量为n (a2，b2，c2) 若l，则unun0 ；若l，则unukn ； (a1，b1，c1)(a2，b2，c2) a1a2b1b2

5、c1c20 a1a2b1b2c1c20 (a1，b1，c1)k(a2，b2，c2) 高考调研高考调研第第10页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习平面1的法向量为u1(a1，b1，c1)，平面2 的法向量为 u2(a2，b2，c2) 若12，则u1u2u1 ku2_ 若12，则u1u2u1u20 . (a1，b1，c1)k(a2，b2，c2) a1a2b1b2c1c20 高考调研高考调研第第11页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 1已知a(2，3,1)，b(2,0,

6、4)，c(4，6,2)，则下列结论正确的是( ) Aac，bc Bab，ac Cac，ab D以上都不对答案 C 高考调研高考调研第第12页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 2若两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1(1,0， 1)，v2(2,0,2)，则l1与l2的位置关系是( ) A平行 B相交 C垂直 D不确定答案 A 解析 v22v1，l1l2. 高考调研高考调研第第13页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 3若平面，垂直，则下面可以作为这两个平面

7、的法向量的是( ) An1(1,2,1)，n2(3,1,1) Bn1(1,1,2)，n2(2,1,1) Cn1(1,1,1)，n2(1,2,1) Dn1(1,2,1)，n2(0，2，2) 答案 A 高考调研高考调研第第14页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 4已知平面内有一个点M(1，1,2)，平面的一个法向量是n(6，3,6)，则下列点P在平面内的是( ) AP(2,3,3) BP(2,0,1) CP(4,4,0) DP(3，3,4) 答案 A 解析 n(6，3,6)是平面的法向量， nMP ，在选项A中，MP (1,4,

8、1)，n MP 0. 高考调研高考调研第第15页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 5已知AB (2,2,1)，AC (4,5,3)，则平面ABC的单位法向量为( ) A(1 3， 2 3， 2 3) B( 1 3， 2 3， 2 3) C (1 3， 2 3， 2 3) D( 2 3， 1 3， 2 3) 答案 C 高考调研高考调研第第16页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习解析设平面ABC的法向量n(x，y，z)，则 AB n0， AC n0，即 2x2

9、yz0， 4x5y3z0. 令z1，得 x1 2， y1. n(1 2，1,1) 平面ABC的单位法向量为n |n| ( 1 3， 2 3， 2 3) 高考调研高考调研第第17页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 6若平面，的法向量分别为n1(2，3,5)，n2( 3,1，4)，则( ) A B C，相交但不垂直 D以上均不正确答案 C 高考调研高考调研第第18页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习授授人人以以渔渔高考调研高考调研第第19页页第八章第八章立体

10、几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习例1 (1)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4，AD 3，AA12，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点，证明：PQRS. 题型一题型一证明平行关系证明平行关系高考调研高考调研第第20页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习【证明】以D为原点，DA ，DC ，DD1 分别为x，y，z 轴建立空间直角坐标系Dxyz，则P(3,0,1)，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4,1) PQ (3,2,1)，RS (3,

11、2,1) PQ RS ，PQ RS 即PQRS. 高考调研高考调研第第21页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (2)在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱 PD底面ABCD，且PDDC，E是PC的中点，求证：PA平面EBD. 高考调研高考调研第第22页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习【证明】连接AC交BD于O，设DA a，DC b，DP c，则PA DA DP ac，EO DO DE 1 2(DA DC ) 1 2(DP DC )1 2(DA DP

12、 )1 2(ac) PA 2EO ，PAEO. 又PA平面EBD，且OE平面EBD， PA平面EBD. 高考调研高考调研第第23页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (3)在正方体AC1中，M，N，E，F分别是A1B1，A1D1， B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN平面EFDB. 【证明】如图所示，以D为原点，分别以DA，DC， DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设AD1，则D(0,0,0)，A(1,0,0)， M(1， 1 2，1)，N( 1 2，0,1)，B(1,1,0)，F(0， 1 2，1)，E( 1

13、 2，1,1) 高考调研高考调研第第24页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 AM (0，1 2，1)，DF (0，1 2，1) AM DF ，AMDF. 又AM平面EFDB，且DF平面EFDB， AM平面EFDB.又AN BE ( 1 2 ，0,1)，可证AN 平面EFDB.又ANAMA，平面AMN平面EFDB. 【答案】 (1)略 (2)略 (3)略高考调研高考调研第第25页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习探究1 (1)证明线线平行是证明线面平行和面面平行

14、的基础，要证线线平行，只需证明相应的向量共线即可 (2)解决此类问题的依据还是要根据线面平行的判定定理，可证直线方向向量与面内一向量平行，也可证直线方向向量与平面法向量垂直 (3)证明面面平行时，可以通过面面平行的判定定理，也可以用两个平面的法向量互相平行来证高考调研高考调研第第26页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (1)如图所示，在长方体OAEBO1A1E1B1 中，OA3，OB4，OO12，点P在棱AA1上，且AP 2PA1，点S在棱BB1上，且SB12BS，点Q，R分别是O1B1，AE 的中点，求证：PQRS.

15、思考题思考题1 高考调研高考调研第第27页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习【证明】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，则A(3,0,0)， B(0,4,0)，O1(0,0,2)，A1(3,0,2)，B1(0,4,2)，E(3,4,0) AP2PA1， AP 2PA1 2 3AA1 . 即AP 2 3(0,0,2)(0,0， 4 3) P点坐标为(3,0，4 3) 高考调研高考调研第第28页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习同理可得Q(0,2,2)，R(3

16、,2,0)，S(0,4，2 3) PQ (3,2，2 3)RS . PQ RS . 又RPQ，PQRS. 方法二：设OA a，OB b，OO1 c，则 PQ PA1 A1O1 O1Q 1 3AA1 OA 1 2OB 高考调研高考调研第第29页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 1 3ca 1 2b， RS RA AO OB BS 1 2OB OA OB 1 3BB1 a1 2b 1 3c. PQ RS ，PQ RS . 又RRQ，PQRS. 高考调研高考调研第第30页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理

17、）数学（理）高三总复习高三总复习 (2)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点求证：MN平面A1BD. 高考调研高考调研第第31页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习【证明】方法一：如图所示，以D为原点，DA， DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M(0,1， 1 2 )，N( 1 2 ，1,1)， D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是MN (1 2，0， 1 2) 设平面A1BD的法向量是n(x，y，

18、z) 则n DA1 0，且n DB 0，高考调研高考调研第第32页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习得 xz0， xy0. 取x1，得y1，z1.n(1，1，1) 又MN n(1 2，0， 1 2) (1，1，1)0， MN n.又MN平面A1BD，MN平面A1BD. 方法二：MN C1N C1M 1 2C1B1 1 2C1C 1 2(D1A1 D1D )1 2DA1 ，高考调研高考调研第第33页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 MN DA1 .又MN平面A1

19、BD， MN平面A1BD. 【答案】 (1)略 (2)略高考调研高考调研第第34页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习例2 (1)已知空间四边形OABC中，M为BC中点，N为AC 中点，P为OA中点，Q为OB中点，若ABOC.求证： PMQN. 题型二题型二证明垂直关系证明垂直关系【思路】欲证PMQN，只需证明PM QN 0. 高考调研高考调研第第35页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习【证明】设OA a，OB b，OC c. OM 1 2(OB OC )

20、1 2(bc)， ON 1 2(OA OC )1 2(ac)， PM PO OM 1 2a 1 2(bc) 1 2(bca)， QN QO ON 1 2b 1 2(ac) 1 2(acb) PM QN 1 4c(ab)c(ab) 高考调研高考调研第第36页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 1 4c 2(ab)21 4(|OC |2|BA |2) |AB |OC |，PM QN 0，即PM QN . PMQN. 高考调研高考调研第第37页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总

21、复习 (2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：BD1平面 ACB1. 高考调研高考调研第第38页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习【证明】以D为原点，DA ，DC ，DD1 分别为x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则B(1,1,0)， D1(0,0,1)，A(1,0,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0) BD1 (1，1,1)，AB1 (0,1,1)，AC (1,1,0) 又BD1 AB1 (1)0(1)1110， BD1 AC (1)(1)(1)1100. BD1 AB1 ，BD1 AC ，

22、即BD1AB1，BD1AC. 又AB1ACA，BD1平面ACB1. 高考调研高考调研第第39页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (3)已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1， CD的中点，求证：平面DEA平面A1FD1. 高考调研高考调研第第40页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习【证明】建立空间直角坐标系Dxyz，令DD12，则有D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A(2,0,0)，A1(2,0,2)， E(2,2,1)，F(0,1,0)

23、此时DA (2,0,0)，DE (2,2,1) 设平面ADE的一个法向量为n1(x，y，z)，则 x0， 2x2yz0. 令y1，则z2，n1(0,1，2) 高考调研高考调研第第41页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习又D1A1 (2,0,0)，D1F (0,1，2)，设平面A1FD1的一个法向量为n2(x，y，z)，则 x0， y2z0. 令z1，则y2，n2(0,2,1) n1 n2220，n1n2. 平面DEA平面A1FD1. 【答案】 (1)略 (2)略 (3)略高考调研高考调研第第42页页第八章第八章立体几

24、何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习探究2 (1)要证明两线垂直，需转化为两线对应的向量垂直，进一步转化为证明两向量的数量积为零，这是证明两线垂直的基本方法，线线垂直是证明线面垂直，面面垂直的基础 (2)证明线面垂直，可利用判定定理如本题解法，也可证明此直线与平面的法向量共线 (3)用向量证明两个平面垂直，关键是求出两个平面的法向量，把证明面面垂直转化为法向量垂直高考调研高考调研第第43页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习如图所示，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCB

25、CD90，ABBCPBPC 2CD，侧面PBC底面ABCD. (1)求证：PABD； (2)求证：平面PAD平面PAB. 思考题思考题2 高考调研高考调研第第44页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习【思路】空间中各元素的位置关系和数量关系其核心是线与线的关系，线与线的关系完全可以用数量关系来表示，从而为向量在立体几何中的应用奠定了坚实的基础考虑到面PBC面ABCD及PCPB，故可取BC的中点O为原点，OP为z轴，OB为x轴高考调研高考调研第第45页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学

26、（理）高三总复习高三总复习【证明】 (1)取BC的中点O，侧面PBC底面ABCD，PBC为等边三角形， PO底面ABCD. 以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点 O与AB平行的直线为y轴，如图所示，建立空间直角坐标系不妨设CD1，则ABBC2，PO 3. 高考调研高考调研第第46页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 A(1，2,0)，B(1,0,0)，D(1，1,0)，P(0,0， 3) BD (2，1,0)，PA (1，2， 3) BD PA (2)1(1)(2)0( 3)0， PA BD ，PABD

27、. (2)取PA的中点M，连接DM，则M(1 2，1， 3 2 ) DM (3 2，0， 3 2 )，PB (1,0， 3)， DM PA 3 210(2) 3 2 ( 3)0. 高考调研高考调研第第47页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 DM PA ，即DMPA. 又DM PB 3 2100 3 2 ( 3)0， DM PB ，即DMPB.又PBPAP， DM平面PAB，又DM平面PAD，平面PAD平面PAB. 【答案】 (1)略 (2)略高考调研高考调研第第48页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数

28、学（理）数学（理）高三总复习高三总复习题型三题型三探究性问题探究性问题例3 (2015 东北四校联考)如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB1，BC2，CC15， M为棱CC1上一点 (1)若C1M 3 2 ，求异面直线A1M和 C1D1所成角的正切值； (2)是否存在这样的点M使得BM平面A1B1M？若存在，求出C1M的长；若不存在，请说明理由高考调研高考调研第第49页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习【解析】 (1)过点M作MNC1D1交DD1于N，并连接 A1N，则A1MN是异面直线A1M和C1

29、D1所成的角由题意，可得MN1，A1N 223 2 25 2. tanA1MNA1N MN 5 2. 当C1M 3 2时，异面直线A1M和C1D1 所成角的正切值为5 2. 高考调研高考调研第第50页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (2)假设存在点M使得BM平面A1B1M，并设C1Mx，则有RtB1C1MRtBMB1. C1M B1M B1M BB1 ，4x25x，x4或x1. 当C1M1或4时，使得BM平面A1B1M. 【答案】 (1)5 2 (2)存在点M，C1M1或4 高考调研高考调研第第51页页第八章第八章立

30、体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习探究3 (1)证明线面平行须证明线线平行，只需证明这条直线与平面内的直线的方向向量平行可用传统法也可用向量法用向量法更为普遍 (2)证明线面垂直的方法：可用直线的方向向量与平面的法向量共线证明；也可用直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直证明 (3)证明面面垂直通常转化为证线面垂直，也可用两平面的法向量垂直来证明高考调研高考调研第第52页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (2015衡水调研卷)如图所示，在四棱柱 ABCDA1B1C

31、1D1中，A1D平面ABCD，底面ABCD是边长为 1的正方形，侧棱A1A2. (1)证明：ACA1B；思考题思考题3 (2)是否在棱A1A上存在一点P，使得AP PA1 且面AB1C1 面PB1C1. 高考调研高考调研第第53页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习【解析】以DA，DC，DA1所在直线分别为x轴，y 轴，z轴建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(1,0,0)， C(0,1,0)，A1(0,0，3 )，B(1,1,0)，D1(1,0，3 )，B1(0,1， 3)，C1(1,1， 3) (1)AC (1,1,

32、0)，A1B (1,1， 3)， AC A1B 0，ACA1B. 高考调研高考调研第第54页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (2)假设存在 AP PA1 ，P( 1 1，0， 3 1) 设平面AB1C1的一个法向量为n1(x1，y1，z1)， AB1 (1,1， 3)，AC1 (2,1， 3)， n1 AB1 x1y1 3z10， n1 AC1 2x1y1 3z10. 令z1 3，则y13，x10. 高考调研高考调研第第55页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 n

33、1(0，3， 3) 同理可求面PB1C1的一个法向量为n2(0， 3 1，1)， n1 n20. 3 3 1 30，即4. P在棱A1A上，0矛盾这样的点P不存在【答案】 (1)略 (2)点P不存在高考调研高考调研第第56页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；根据运算结果的几何意义来解释相关问题高考调研高考调研第第57页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习题组层级快练题组层级快练