新课标版数学（理）高三总复习之：第八章立体几何第三节

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1、高考调研高考调研第第1页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第八章第八章立立体体几几何何高考调研高考调研第第2页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第第3课时课时空间点、线、面间位置关系空间点、线、面间位置关系高考调研高考调研第第3页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 1理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解作为推理依据的公理和定理 2能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系

2、的简单命题请注意平面的基本性质是立体几何的基础，而两条异面直线所成的角和距离是高考热点，在新课标高考卷中频频出现高考调研高考调研第第4页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习课前自助餐课前自助餐授授人以渔人以渔自助餐自助餐题组层级快练题组层级快练高考调研高考调研第第5页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习课前自助餐课前自助餐高考调研高考调研第第6页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 1平面

3、的基本性质公理1：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线就在此平面内公理2：经过的三点，有且只有一个平面公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有条通过的公共直线两点不在同一直线上一该点高考调研高考调研第第7页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 2用集合语言描述点、线、面间的关系 (1)点与平面的位置关系：点A在平面内记作，点A不在平面内记作 . (2)点与线的位置关系：点A在直线l上记作，点A不在直线l上，记作 . (3)线面的位置关系：直线l在平面内记作，直线l不在

4、平面内记作 _. (4)平面与平面相交于直线a，记作 . (5)直线l与平面相交于点A，记作 . (6)直线a与直线b相交于点A，记作 . A A Al Al l l a lA abA 高考调研高考调研第第8页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 3直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类高考调研高考调研第第9页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的叫做异面直

5、线a，b所成的角(或夹角) 锐角或直角范围：_ (0， 2 高考调研高考调研第第10页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 1判断下面结论是否正确(打“”或“”) (1)如果两个不重合的平面，有一条公共直线a，那么就说平面，相交，并记作a. (2)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线 (3)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于A点，并记作A. 高考调研高考调研第第11页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (4)两个平面ABC与DBC相交于

6、线段BC. (5)经过两条相交直线，有且只有一个平面答案 (1) (2) (3) (4) (5) 高考调研高考调研第第12页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 2空间四点中，三点共线是这四点共面的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件答案 A 高考调研高考调研第第13页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 3(2014广东文)若空间中四条两两不同的直线l1，l2， l3，l4满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确

7、的是 ( ) Al1l4 Bl1l4 Cl1与l4既不垂直也不平行 Dl1与l4的位置关系不确定答案 D 高考调研高考调研第第14页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习解析在正六面体中求解，也可以借助教室中的实物帮助求解在如图所示的正六面体中，不妨设l2为直线AA1，l3为直线CC1，则直线l1，l4可以是AB，BC；也可以是AB，CD；也可以是AB，B1C1，这三组直线相交，平行，垂直，异面，故选D. 高考调研高考调研第第15页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习

8、高三总复习 4已知直线a，b，c，有下面四个命题：若a，b异面，b，c异面，则a，c异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交；若ab，则a，b与c所成的角相等；若ab，bc，则ac. 其中真命题的序号是_ 答案解析 a，c可能相交、平行或异面；a，c可能相交、平行或异面；正确；a，c可能相交、平行或异面高考调研高考调研第第16页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 5.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点问： (1)AM和CN是否是异面直线？ (2)D1B和CC1是否

9、是异面直线？高考调研高考调研第第17页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习思路 (1)易证MNAC，所以AM与CN不是异面直线； (2)由图易判断D1B和CC1是异面直线，证明时常用反证法解析 (1)不是异面直线理由：连接 MN，A1C1，AC. M，N 分别是 A1B1，B1C1的中点，MNA1C1. 又A1A 綊 C1C， A1ACC1为平行四边形 A1C1AC，得到 MNAC. A，M，N，C 在同一平面内故 AM 和 CN 不是异面直线高考调研高考调研第第18页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版

10、数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (2)是异面直线理由： ABCDA1B1C1D1是正方体， B，C，C1，D1不共面假设 D1B 与 CC1不是异面直线，则存在平面，使 D1B平面，CC1平面 . D1，B，C，C1. 与 ABCDA1B1C1D1是正方体矛盾假设不成立，即 D1B 与 CC1是异面直线高考调研高考调研第第19页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习授授人人以以渔渔高考调研高考调研第第20页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习

11、例1 下列命题：空间不同三点确定一个平面；有三个公共点的两个平面必重合；空间两两相交的三条直线确定一个平面；三角形是平面图形；平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；垂直于同一直线的两直线平行；题型一题型一平面的性质平面的性质高考调研高考调研第第21页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；两组对边相等的四边形是平行四边形其中正确的命题是_ 高考调研高考调研第第22页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习

12、【解析】由公理3知，不共线的三点才能确定一个平面，所以知命题错，中有可能出现两平面只有一条公共线(当这三个公共点共线时)，错空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点，若为三个交点，则这三线共面，若只有一个交点，则可能确定一个平面或三个平面中平行四边形及梯形由公理2可得必为平面图形，而四边形有可能是空间四边形，如图(1)所示高考调研高考调研第第23页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习在正方体ABCDABCD中，直线BBAB，BBCB，但AB与CB不平行，错ABCD，BBABB，但BB与 CD不相交，错如图(2

13、)所示，ABCD，BCAD，四边形ABCD不是平行四边形，故也错【答案】高考调研高考调研第第24页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习探究1 对于空间几何中的一些概念、公理、定理和推论的理解一定要结合图形，理解其本质，准确把握其内涵，特别是定理、公理中的限制条件，如公理3中“不共线的三点”，“不共线”是很重要的条件另外，对于平面几何中的一些正确命题，包括一些定理推论，在空间几何中应当重新认定，有些命题因为空间中位置关系的变化，可能变为错误命题，学习中要养成分类讨论的习惯，再就是结合较熟悉的立体几何图形或现实生活

14、中的实物进行辨析，也可利用手中的笔、书本等进行演示，验证高考调研高考调研第第25页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (2013安徽理)在下列命题中，不是公理的是( ) A平行于同一个平面的两个平面相互平行 B过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线【解析】 B，C，D都是公理【答案】 A 思考题思考题1 高考调研高考调研第第26页页第八章第八章立体几何立体几何新

15、课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习例2 已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为 D1C1，C1B1的中点，ACBDP，A1C1EFQ. 求证：(1)D，B，F，E四点共面； (2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线； (3)DE，BF，CC1三线交于一点题型二题型二平面基本性质的应用平面基本性质的应用高考调研高考调研第第27页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习【证明】 (1)如图所示因为EF是D1B1C1的中位线，所以EFB1D1.在正方体 AC1中，B1D1BD，

16、所以EFBD.所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面高考调研高考调研第第28页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (2)在正方体AC1中，设A1CC1确定的平面为，又设平面BDEF为.因为QA1C1，所以Q. 又QEF，所以Q.所以Q是与的公共点同理，P 是与的公共点所以PQ. 又A1CR，所以RA1C，R，且R. 则RPQ，故P，Q，R三点共线高考调研高考调研第第29页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (3)EFBD且EFBD， DE与BF相

17、交设交点为M，则由MDE，DE平面D1DCC1，得M平面D1DCC1，同理，点M平面B1BCC1.又平面 D1DCC1平面B1BCC1CC1，MCC1. DE，BF，CC1三线交于点M. 【答案】 (1)略 (2)略 (3)略高考调研高考调研第第30页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习探究2 (1)点共线问题的证明方法：证明空间点共线，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再依据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上 (2)线共点问题的证明方法：证明空间三线共点，先证两条直线交于一点，再证第三条直线经过这点，

18、将问题转化为证明点在直线上高考调研高考调研第第31页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (3)点线共面问题的证明方法：纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内；辅助平面法：先证有关点、线确定平面，再证明其余点、线确定平面，最后证明平面，重合高考调研高考调研第第32页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (1)下列各图是正方体和正四面体，P， Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是 ( ) 思考题思考题2 高考调研高考调研第第33页

19、页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习【解析】在A中易证PSQR， P，Q，R，S四点共面在C中易证PQSR，P，Q，R，S四点共面在D中，QR平面ABC， PS面ABC P且PQR，直线PS与QR为异面直线 P，Q，R，S四点不共面高考调研高考调研第第34页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习在B中P，Q，R，S四点共面，证明如下：取BC中点N，可证PS，NR交于直线B1C1上一点，P， N，R，S四点共面，设为. 可证PSQN，P，Q，N，S四点共面，设为

20、. ，都经过P，N，S三点，与重合，P，Q， R，S四点共面【答案】 D 高考调研高考调研第第35页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (2)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点求证： E，C，D1，F四点共面； CE，D1F，DA三线共点高考调研高考调研第第36页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习【证明】如图所示，连接EF，CD1，A1B. E，F分别是AB，AA1的中点，EFBA1. 又A1BD1C，EFCD1.

21、E，C，D1，F四点共面高考调研高考调研第第37页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 EFCD1，EFCD1， CE与D1F必相交，设交点为P. 则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD. 同理P平面ADD1A1. 又平面ABCD平面ADD1A1DA， P直线DA，CE，D1F，DA三线共点【答案】略略高考调研高考调研第第38页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习例3 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱 AA1，CC1的中点，则在空间中

22、与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有_条题型三题型三空间两直线的位置关系空间两直线的位置关系高考调研高考调研第第39页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习【解析】方法一：在EF上任意取一点M，直线A1D1与 M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点如图所示高考调研高考调研第第40页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习方法二：在A1D1上任取一

23、点P，过点P与直线EF作一个平面，因CD与平面不平行，所以它们相交，设它们交于点 Q，连接PQ，则PQ与EF必须相交，即PQ为所求直线由点P 的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交【答案】无数高考调研高考调研第第41页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习探究3 解决立体几何问题常用的方法是空间问题的平面化，转化为平面问题后就可以用我们熟悉的方法来解决，这体现了空间立体几何的转化与化归的思想高考调研高考调研第第42页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高

24、三总复习高三总复习 (2014广东)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是( ) Al1l4 Bl1l4 Cl1与l4既不垂直也不平行 Dl1与l4的位置关系不确定思考题思考题3 高考调研高考调研第第43页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习【解析】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，取l1为 BC，l2为CC1，l3为C1D1.满足l1l2，l2l3.若取l4为A1D1，则有 l1l4；若取l4为DD1，则有l1l4.因此l1与l4的位置关系不确

25、定，故选D. 【答案】 D 高考调研高考调研第第44页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习例4 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点 (1)求证：AC平面BDD1； (2)求BD1与CE所成角的余弦值题型四题型四异面直线所成的角异面直线所成的角高考调研高考调研第第45页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习【解析】 (1)DD1平面 ABCD ACDD1 ACBD BDDD1D AC平面 BDD1. 高考调研高考调研第第46页页第八章第八章立体

26、几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (2)连接 AD1，与 A1D 交点为 M，连接 ME，MC，则 MEC(或其补角)即为异面直线 BD1与 CE 所成的角，设 AB 1，CE 5 2 ，ME1 2BD1 3 2 ，CM2CD2DM23 2. 高考调研高考调研第第47页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习在MEC 中，cosMECCE 2ME2CM2 2CE ME 15 15 ，因此异面直线 BD1与 CE 所成角的余弦值为 15 15 . 【答案】 (1)略 (2) 15 15 高考调

27、研高考调研第第48页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习探究4 高考中对异面直线所成角的考查，一般出现在综合题的某一步，其步骤为： (1)平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线 (2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角 (3)寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之 (4)取舍：因为异面直线所成角的取值范围是0 90，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角高考调研高考调研第第49页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（

28、理）高三总复习高三总复习 (1)如图所示，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( ) 思考题思考题4 A.1 5 B. 2 5 C.3 5 D.4 5 高考调研高考调研第第50页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习【解析】连接 BC1，易证 BC1AD1，则A1BC1即为异面直线 A1B 与 AD1所成的角连接 A1C1，设 AB1，则 AA12，A1C1 2，A1BBC1 5，故 cosA1BC1 552 2 5 5 4 5. 【答案】

29、 D 高考调研高考调研第第51页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (2)如图所示，点 A 是平面 BCD 外一点，ADBC2， E，F 分别是 AB，CD 的中点，且 EF 2，则异面直线 AD 和 BC 所成的角为_ 高考调研高考调研第第52页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习【解析】如图，设G是AC的中点，连接EG，FG. 高考调研高考调研第第53页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习【答案】

30、 90 因为 E，F 分别是 AB，CD 的中点，故 EGBC 且 EG1 2BC1， FGAD，且 FG1 2AD1. 即EGF 为所求又 EF 2，由勾股定理逆定理可得EGF90 . 高考调研高考调研第第54页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 1公理2是立体几何最基本、最重要的定理，它的主要作用是确定平面 2不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件 3两条异面直线所成角的范围是(0，90 高考调研高考调研第第55页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高

31、三总复习自助餐自助餐高考调研高考调研第第56页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 1(2015沧州七校联考)若直线l不平行于平面，且 l，则( ) A内的所有直线与l异面 B内不存在与l平行的直线 C内存在唯一的直线与l平行 D内的直线与l都相交答案 B 解析若在平面内存在与直线l平行的直线，因l，故 l，这与题意矛盾，故选B. 高考调研高考调研第第57页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 2设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( )

32、 A若AC与BD共面，则AD与BC共面 B若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线 C若ABAC，DBDC，则ADBC D若ABAC，DBDC，则ADBC 答案 D 解析 ABCD可能为平面四边形，也可能为空间四边形， D不成立高考调研高考调研第第58页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 3(2015上海杨浦质量调研)若空间三条直线a，b，c满足ab，bc，则直线a与c( ) A一定平行 B一定相交 C一定是异面直线 D一定垂直答案 D 解析两条平行线中一条与第三条直线垂直，另一条直线也与第三条直线垂直，故选D.

33、高考调研高考调研第第59页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 4在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面也与 CC1共面的棱的条数为( ) A3 B4 C5 D6 答案 C 解析如图，用列举法知符合要求的棱为BC，CD， C1D1，BB1，AA1. 高考调研高考调研第第60页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 5如图所示，在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB60，对角线AC与BD交于点O，PO平面 ABCD，PB与平面ABCD所成的角为6

34、0. (1)求四棱锥的体积； (2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值高考调研高考调研第第61页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习答案 (1)2 (2) 2 4 解析 (1)在四棱锥 PABCD 中，PO平面 ABCD， PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角， PBO60 . 在 RtAOB 中，BOAB sin30 1，POOB， POBO tan60 3.底面菱形的面积 S1 22 3 22 3，四棱锥PABCD的体积VPABCD1 32 3 3 2. 高考调研高考调研第第62页页第八章第

35、八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (2)取AB的中点F，连接EF，DF，如图所示E为PB中点， EFPA，DEF为异面直线DE与PA所成的角(或其补角) 高考调研高考调研第第63页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习在 RtAOB 中，AO 3OP，在 RtPOA 中， PA 6， EF 6 2 .在正三角形 ABD 和正三角形 PDB 中，DFDE 3，由余弦定理，得 cos DEFDE 2EF2DF2 2DE EF 32 6 2 2 32 2 3 6 2 6 4 3 2 2 4 . 异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值为 2 4 . 高考调研高考调研第第64页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习题组层级快练题组层级快练