新课标版数学（理）高三总复习之：第八章立体几何第六节

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1、高考调研高考调研第第1页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第八章第八章立体几何立体几何高考调研高考调研第第2页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第第6课时课时空间向量及运算空间向量及运算高考调研高考调研第第3页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 1了解空间向量的概念了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示 2掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 3掌握空间向量的数量积

2、及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线与垂直高考调研高考调研第第4页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习请注意纵观近几年的高考试题，对空间向量部分的考查主要集中于空间向量的概念和运算的考查，部分用空间向量知识来解的题目也可以不建空间直角坐标系，而直接使用线性运算，充分发挥空间向量基本定理的作用总体来看，高考对空间向量更多地考查其工具性作用高考调研高考调研第第5页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习课前自助餐课前自助餐授授人以渔人以渔题组层级快

3、练题组层级快练高考调研高考调研第第6页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习课前自助餐课前自助餐高考调研高考调研第第7页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 1把空间中具有和的量叫向量 2(1)共线向量定理：对于空间任意两个向量a， b(b0)，ab的充要条件是 . (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p 与向量 a ， b 共面的充要条件是存在实数对 x ， y ，使 . 大小方向存在实数，使ab pxayb

4、高考调研高考调研第第8页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使OP . 3空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组x，y，z，使 . pxaybzc xOA yOB zOC 高考调研高考调研第第9页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 4两个向量的数量积 (1)非零向量a，b的数量积： (2)向量的数量积的性质： ae ； a

5、b ； |a|2 . (3)向量的数量积满足如下运算律： (a)b ； ab (交换律)； a(bc) (分配律) ab|a|b|cosa，b |a|cosa，e，e为单位向量 ab0 aa (ab) ba abac 高考调研高考调研第第10页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 5空间向量的直角坐标运算设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则 ab ； ab ； ab ，特殊地aa _； (a1b1，a2b2，a3b3) (a1b1，a2b2，a3b3) a1b1a2b2a3b3 a2 1a 2 2a 2 3 ab

6、； a1b1，a2b2，a3b3(R，b0) 或a1 b1 a2 b2 a3 b3(b1 b2 b30) 高考调研高考调研第第11页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 AB OB OA _ ab ； A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， a1b1a2b2a3b30(a0，b0) (x2，y2，z2)(x1，y1，z1) (x2x1，y2y1，z2z1) 6向量a与b的夹角设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则 cosa，b . a1b1a2b2a3b3 a2 1a 2 2a 2 3 b 2 1b 2 2

7、b 2 3 高考调研高考调研第第12页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 7两点间距离公式设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间两点，则 |AB |AB AB . x2x12y2y12z2z12 高考调研高考调研第第13页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 1判断下面结论是否正确(打“”或“”) (1)空间中任意两非零向量a，b共面 (2)在向量的数量积运算中(ab)ca(bc) (3)对于非零向量b，若abbc，则ac. (4)两向量夹角的范围与两

8、异面直线所成角的范围相同高考调研高考调研第第14页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (5)若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB BC CD DA 0. (6)|a|b|ab|是a，b共线的充要条件答案 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 高考调研高考调研第第15页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 2在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量D1A ， D1C ，A1C1 是( ) A有相同起点的向量 B等长向量 C共面向量 D不共面向量答案

9、 C 解析 A1C1 AC ，又AC，D1A， D1C共面， AC ， D1A ， D1C 共面，即 A1C1 ，D1A ，D1C 共面高考调研高考调研第第16页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 3在四面体OABC中，若OA a，OB b，OC c， D为BC的中点，E为AD的中点，则OE _.(用a，b， c表示) 答案 1 2a 1 4b 1 4c 高考调研高考调研第第17页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习解析 OE OA 1 2AD OA 1 2 1 2

10、(AB AC ) OA 1 4(OB OA OC OA ) 1 2OA 1 4OB 1 4OC 1 2a 1 4b 1 4c. 高考调研高考调研第第18页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 4已知四边形ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)，B(2， 5,1)，C(3,7，5)，则点D的坐标为_ 答案 (5,13，3) 解析设D(x，y，z)，则AB DC . (2，6，2)(3x,7y，5z) 3x2， 7y6， 5z2. 解得 x5， y13， z3. D(5,13，3) 高考调研高考调研第第19页页第八章第八章立体

11、几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 5已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由OP 1 5 OA 2 3 OB OC 确定的点P与A，B，C三点共面，则_. 答案 2 15 解析 1 5 2 31， 2 15. 高考调研高考调研第第20页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习授授人人以以渔渔高考调研高考调研第第21页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习题型一题型一空间向量的线性运算空间向量的线性运算例1

12、如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设 AA1 a，AB b，AD c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1 的中点，试用a，b，c表示以下各向量： AP ；A1N ；MP NC1 . 【思路】根据空间向量加减法及数乘运算的法则和运算律即可高考调研高考调研第第22页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习【解析】 P是C1D1的中点， AP AA1 A1D1 D1P aAD 1 2D1C1 ac1 2AB ac1 2b. N是BC的中点， A1N A1A AB BN ab1 2BC ab1 2AD ab1 2c.

13、高考调研高考调研第第23页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 M是AA1的中点， MP MA AP 1 2A1A AP 1 2a(ac 1 2b) 1 2a 1 2bc. 又NC1 NC CC1 1 2BC AA1 1 2AD AA1 1 2ca，高考调研高考调研第第24页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 MP NC1 (1 2a 1 2bc)(a 1 2c) 3 2a 1 2b 3 2c. 【答案】 ac1 2b ab 1 2c 3 2a 1 2b 3 2c

14、高考调研高考调研第第25页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习探究1 确定要表示的向量的终点是否是三角形边的中点，若是，利用平行四边形法则即可若不是，利用封闭图形，寻找到所要表示的向量所对应的线段为其一边的一个封闭图形，利用这一图形中欲求向量与已知向量所在线段的联系，进行相应的向量运算是处理此类问题的基本技巧一般地，可以找到的封闭图形不是唯一的，但无论哪一种途径结果应是唯一的高考调研高考调研第第26页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习思考题思考题1 在

15、三棱锥OABC中，M，N分别是OA， BC的中点，G是ABC的重心，用基向量OA ，OB ，OC 表示 MG ，OG . 高考调研高考调研第第27页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习【解析】 MG MA AG 1 2OA 2 3AN 1 2OA 2 3(ON OA ) 1 2OA 2 3 1 2(OB OC )OA 1 6OA 1 3OB 1 3OC . OG OM MG 1 2OA 1 6OA 1 3OB 1 3OC 1 3OA 1 3OB 1 3OC . 高考调研高考调研第第28页页第八章第八章立体几何立体几何新课标

16、版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习【答案】 MG 1 6OA 1 3OB 1 3OC OG 1 3OA 1 3OB 1 3OC 高考调研高考调研第第29页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习题型二题型二空间向量的共线、共面问题空间向量的共线、共面问题例2 已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边 AB，BC，CD，DA的中点 (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)求证：BD平面EFGH； (3)设M是EG和FH的交点求证：对空间任一点O，有 OM 1 4 ( OA OB OC OD ) 高考

17、调研高考调研第第30页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习【证明】 (1)在ABD中，EH为ABD的中位线， EH綊1 2BD，同理FG綊 1 2BD. EH綊FG，E，F，G，H四点共面 (2)由(1)知，BDEH，又EH平面EFGH，BD平面EFGH， BD平面EFGH. 高考调研高考调研第第31页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (3)对于空间任一点O，有 OA OB 2OE ，OC OD 2OG . 又2OE 2OG 2(OE OG )2 2OM 4OM

18、， OM 1 4(OA OB OC OD ) 【答案】 (1)略 (2)略 (3)略高考调研高考调研第第32页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习探究2 三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面 PA PB MP xMA yMB 对空间任一点O，OP OA tAB 对空间任一点O，OP OM xMA yMB 对空间任一点O，OP xOA (1x)OB 对空间任一点O，OP xOM yOA (1xy)OB 高考调研高考调研第第33页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复

19、习高三总复习思考题思考题2 (1)设空间四点O，A，B，P满足OP mOA nOB ，其中mn1，则( ) A点P一定在直线AB上 B点P一定不在直线AB上 C点P不一定在直线AB上 D以上都不对高考调研高考调研第第34页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习【解析】由题意知mn1，则m1n. OP (1n)OA nOB ，即OP OA n(OB OA ) AP nAB ，即AP AB . 又AP 与AB 有公共点A， A，B，P三点共线，即点P在直线AB上【答案】 A 高考调研高考调研第第35页页第八章第八章立体几何

20、立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (2)已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点 O，若点M满足OM 1 3(OA OB OC ) 判断MA ，MB ，MC 三个向量是否共面；判断点M是否在平面ABC内高考调研高考调研第第36页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习【解析】由已知得OA OB OC 3OM ， OA OM (OM OB )(OM OC ) 即MA BM CM MB MC . MA ，MB ，MC 三个向量共面由知，MA ，MB ，MC 共面且过同一点M，四点M，

21、A，B，C共面从而点M在平面ABC内【答案】共面点M在平面ABC内高考调研高考调研第第37页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习题型三题型三空间向量的数量积空间向量的数量积例3 已知空间三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C( 3,0,4)，设aAB ，bAC . (1)求|c|3，且cBC ，求c； (2)求a和b的夹角的余弦值； (3)若kab与ka2b互相垂直，求k的值； (4)若(ab)(ab)与z轴垂直，求，应满足的关系高考调研高考调研第第38页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版

22、数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习【解析】 (1)cBC ， cmBC m(2，1,2)(2m，m,2m) |c| 2m2m22m23|m|3. m 1. c(2，1,2)或c(2,1，2) 高考调研高考调研第第39页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (2)a(1,1,0)，b(1,0,2)， a b(1,1,0) (1,0,2)1. 又|a| 121202 2，|b| 120222 5， cosa，b a b |a| |b| 1 10 10 10 . a和b夹角的余弦值为 10 10 . 高考调研高考调研第第40

23、页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (3)方法一：kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k， 4)， (k1，k,2) (k2，k，4)(k1)(k2)k280. k2或k5 2. 即当kab与ka2b互相垂直时，k2或k5 2. 方法二：由(2)知|a| 2，|b| 5，a b1， (kab) (ka2b)k2a2ka b2b22k2k100，得k2或k5 2. 高考调研高考调研第第41页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (4)ab(0,1,2)，ab(2,1

24、，2)， (ab)(ab)(2，22) (ab)(ab)(0,0,1)220，即当，满足关系0时，可使(ab)(ab)与z 轴垂直【答案】 (1)c(2，1,2)或c(2,1，2) (2) 10 10 (3)k2或k5 2 (4)0 高考调研高考调研第第42页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习探究3 利用空间向量的坐标运算解题是高考立体几何大题的必考内容，而寻求三条两两互相垂直的直线建立空间直角坐标系是解题的突破口高考调研高考调研第第43页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高

25、三总复习高三总复习已知空间三点A(0,2,3)，B(2,1,6)， C(1，1,5) 思考题思考题3 (1)求以AB ，AC 为边的平行四边形的面积； (2)若|a|3 ，且a分别与 AB ， AC 垂直，求向量a的坐标高考调研高考调研第第44页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习【解析】 (1)由题意，可得 AB (2，1,3)， AC (1，3,2) cosAB ，AC AB AC |AB |AC | 236 14 14 7 14 1 2. sinAB ，AC 3 2 . 以AB ，AC 为边的平行四边形的面积为 S21

26、 2|AB |AC |sinAB ，AC 14 3 2 7 3. 高考调研高考调研第第45页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (2)设a(x，y，z)，由题意得 x2y2z23， 2xy3z0， x3y2z0. 解得 x1， y1， z1，或 x1， y1， z1. 向量a的坐标为(1,1,1)或(1，1，1) 【答案】 (1)7 3 (2)(1,1,1)或(1，1，1) 高考调研高考调研第第46页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习例4 如图所示，在平行六面体

27、ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60. (1)求AC1的长； (2)求BD1与AC夹角的余弦值高考调研高考调研第第47页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习【解析】 (1)记AB a，AD b，AA1 c，则|a|b|c|1，a，bb，cc，a 60 ， a bb cc a1 2.|AC1 |2(abc)2 a2b2c22(a bb cc a) 1112(1 2 1 2 1 2)6. |AC1 | 6，即AC1的长为 6. 高考调研高考调研第第48页页第八章第八章立体几何立体几何

28、新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (2)BD1 bca，AC ab， |BD1 | 2，|AC | 3. BD1 AC (bca) (ab) b2a2a cb c1. cosBD1 ，AC BD1 AC |BD1 |AC | 6 6 . AC与BD1夹角的余弦值为 6 6 . 【答案】 (1) 6 (2) 6 6 高考调研高考调研第第49页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点 (1)求证：MNAB，MNCD；

29、(2)求MN的长； (3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值思考题思考题4 高考调研高考调研第第50页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习【解析】 (1)设AB p，AC q，AD r. 由题意，可知|p|q|r|a，且p，q，r三向量两两夹角均为60 . MN AN AM 1 2(AC AD )1 2AB 1 2(qrp)， MN AB 1 2(qrp) p 高考调研高考调研第第51页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 1 2(q pr pp 2) 1 2(a

30、2 cos60 a2 cos60 a2)0. MNAB，同理可证MNCD. 高考调研高考调研第第52页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 (2)由(1)可知MN 1 2(qrp)， |MN |2MN 21 4(qrp) 2 1 4q 2r2p22(q rp qr p) 1 4a 2a2a22(a 2 2 a 2 2 a 2 2 ) 1 42a 2a 2 2 . |MN | 2 2 a，MN的长为 2 2 a. 高考调研高考调研第第53页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复

31、习 (3)设向量AN 与MC 的夹角为. AN 1 2(AC AD )1 2(qr)， MC AC AM q1 2p， AN MC 1 2(qr) (q 1 2p) 1 2(q 21 2q pr q 1 2r p) 1 2(a 21 2a 2 cos60 a2 cos60 1 2a 2 cos60 ) 高考调研高考调研第第54页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 1 2(a 2a 2 4 a 2 2 a 2 4 )a 2 2 . 又|AN |MC | 3 2 a，AN MC |AN | |MC | cos 3 2 a 3 2 a

32、cosa 2 2 .cos2 3. 向量AN 与MC 的夹角的余弦值为 2 3 ，从而异面直线AN 与CM所成角的余弦值为2 3. 【答案】 (1)略 (2) 2 2 a (3)2 3 高考调研高考调研第第55页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 1向量的分解是用空间向量证明有关问题的常用方法，分解的依据是向量的加法、减法及实数与向量的积，而与之相联系的是线段的倍(分)关系高考调研高考调研第第56页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习 2证明四点共面问题常转化为证明有公共顶点的四个向量满足共面向量定理，即OP xOA yOB zOC 且xyz 1P，A，B，C共面证明三点共线问题亦可转化为具有公共顶点的三个向量的“共面向量定理的形式”，即 OP xOA yOB 且xy1P，A，B共线 3空间向量数量积在判断或证明垂直，求夹角、长度等方面比几何方法有较明显的优势，必须掌握好高考调研高考调研第第57页页第八章第八章立体几何立体几何新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习题组层级快练题组层级快练