新课标版数学（理）高三总复习之：第八章立体几何第八节

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1、高考调研高考调研 第第1页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第八章第八章 立体几何立体几何 高考调研高考调研 第第2页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第第8课时课时 空间向量的应用空间向量的应用(二二) 空间的角与距离空间的角与距离 高考调研高考调研 第第3页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 1能够利用空间向量，解决异面直线的夹角、线面角、 面面角问题，体会向量法在立体几何中的应用 2了解点面距离的求法

2、 请注意 在高考中，本部分知识是考查的重点内容之一，主要考 查异面直线所成角、线面角和面面角的计算，属于中档题， 综合性较强，与平行垂直联系较多 高考调研高考调研 第第4页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 课前自助餐课前自助餐 授授人以渔人以渔 自助餐自助餐 课外阅读课外阅读 题组层级快练题组层级快练 高考调研高考调研 第第5页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 课前自助餐课前自助餐 高考调研高考调研 第第6页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（

3、理）数学（理） 高三总复习高三总复习 1利用空间向量求空间角 (1)两条异面直线所成的角 定义：设a，b是两条异面直线，过空间任一点O作直线 aa，bb，则a与b所夹的 叫 做 a 与 b 所 成 的 角 范围：两异面直线所成角的取值范围是 锐角或直角 (0， 2 高考调研高考调研 第第7页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 向量求法：设直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹 角为，则有cos . |cos| a b |a| |b| 高考调研高考调研 第第8页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理）

4、 高三总复习高三总复习 (2)直线与平面所成的角 定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平 面内的射影所成的角 范围：直线和平面所成的角的取值范围是 向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为 u，直线与平面所成的角为，a与u的夹角为，则有sin 或cos . 0， 2 |cos| sin 高考调研高考调研 第第9页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (3)二面角 二面角的取值范围是 二面角的向量求法： 0， ()若AB，CD分别是二面角l的两个面内与棱l垂 直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB 与CD 的夹角(如

5、图) 高考调研高考调研 第第10页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 ()设n1，n2分别是二面角l的两个面，的法向量， 则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的 大小(如图) 高考调研高考调研 第第11页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 2点面距的求法 如图，设AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向 量，则B到平面的距离d . |AB n| |n| 高考调研高考调研 第第12页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理

6、） 高三总复习高三总复习 1判断下面结论是否正确(打“”或“”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角 (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与 平面所成的角 (3)两个平面的法向量所成的角就是这两个平面所成的 角 高考调研高考调研 第第13页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (4)两异面直线夹角的范围是(0， 2 ，直线与平面所成角 的范围是0， 2，二面角的范围是0， (5)若直线l的方向向量与平面的法向量夹角为120 ，则l 和所成角为30 . (6)若二面角a的两个半平面，的法向量n1，n2 所成

7、角为，则二面角a的大小是. 答案 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 高考调研高考调研 第第14页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 2已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面的法 向量，若cosm，n1 2，则l与所成的角为( ) A30 B60 C120 D150 答案 A 解析 cosm，n1 2，sinm，n 3 2 . m，n120 .l与所成的角为120 90 30 . 高考调研高考调研 第第15页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 3已知两平面

8、的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)， 则两平面所成的二面角为( ) A45 B135 C45或135 D90 答案 C 解析 m，n m n |m| |n| 1 2 2 2 ，m，n 45 . 二面角为45 或135 . 高考调研高考调研 第第16页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 4在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面 ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，则异面直线OE 和FD1所成的角的余弦值等于_ 答案 15 5 高考调研高考调研 第第17页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课

9、标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 解析 以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴， z轴建立空间直角坐标系， F(1,0,0)，D1(0,0,2)，O(1,1,0)，E(0,2,1) FD1 (1,0,2)，OE (1,1,1) cosFD1 ，OE 12 53 15 5 . 高考调研高考调研 第第18页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 5(2015 沧州七校联考)如图所示，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，APAB2，BC 2 2，E，F分别是AD，PC的中点 (1)证

10、明：PC平面BEF； (2)求平面BEF与平面BAP所成锐二面角的大小 答案 (1)略 (2)45 高考调研高考调研 第第19页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 解析 (1)证明：如图，以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 APAB2，BCAD2 2，四边形 ABCD 是矩形， A(0,0,0)， B(2,0,0)， C(2,2 2， 0)， D(0,2 2， 0)， P(0,0,2) 高考调研高考调研 第第20页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（

11、理）数学（理） 高三总复习高三总复习 又 E，F 分别是 AD，PC 的中点， E(0， 2，0)，F(1， 2，1) PC (2,2 2，2)，BF (1， 2，1)，EF (1,0,1) PC BF 2420，PC EF 2020. PC BF ，PC EF . PCBF，PCEF.又 BFEFF， PC平面 BEF. 高考调研高考调研 第第21页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2)由(1)知 n1PC (2,2 2，2)是平面 BEF 的法向量， 又取平面 BAP 的法向量 n2AD (0,2 2，0)， n1 n28.

12、设平面 BEF 与平面 BAP所成锐二面角的平面 角的大小为 ， 则 cos|cos n1， n2 | |n1 n2| |n1|n2| 8 42 2 2 2 . 45 . 平面 BEF 与平面 BAP 所成锐二面角的大小为 45 . 高考调研高考调研 第第22页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 授授人人以以渔渔 高考调研高考调研 第第23页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 题型一题型一 异面直线所成角异面直线所成角 例 1 (2015 郑州质检)在长方体 ABCDA1

13、B1C1D1中， AB AA12，AD1，E 为 CC1的中点，则异面直线 BC1与 AE 所成角的余弦值为( ) A. 10 10 B. 30 10 C.2 15 10 D.3 10 10 高考调研高考调研 第第24页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【解析】 建立坐标系如图， 则 A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)， C1(0,2,2) BC1 (1,0,2)，AE (1,2,1)，cos BC1 ，AE BC1 AE |BC1 | |AE | 30 10 . 所以异面直线 BC1与 AE 所成角的余弦值为

14、30 10 . 【答案】 B 高考调研高考调研 第第25页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 探究1 求一对异面直线所成角：一是按定义平移转化为 两相交直线的夹角；二是在异面直线上各取一向量，转化为 两向量的夹角或其补角，无论哪种求法，都应注意角的范围 的限定 高考调研高考调研 第第26页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD为正方形，AA12AB，E为AA1的中点，则异面直线BE 与CD1所成角的余弦值为( ) 思考题

15、思考题1 A. 10 10 B.1 5 C.3 10 10 D.3 5 高考调研高考调研 第第27页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【解析】 如图，以D为坐标原点建立 如图所示空间直角坐标系 设AA12AB2，则B(1,1,0)， E(1,0,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,2) BE (0，1,1)，CD1 (0，1,2) cosBE ，CD1 12 25 3 10 10 . 【答案】 C 高考调研高考调研 第第28页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 例2

16、如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩 形，PA平面ABCD，PAAD2，AB1，BMPD于点M. (1)求证：AMPD； (2)求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值 题型二题型二 线面角线面角 高考调研高考调研 第第29页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【解析】 (1)PA平面ABCD，AB平面ABCD， PAAB. ABAD，ADPAA，AD平面PAD，PA平面 PAD，AB平面PAD. PD平面PAD，ABPD. BMPD，ABBMB，AB平面ABM，BM平面 ABM， PD平面ABM. AM平面ABM，AMP

17、D. 高考调研高考调研 第第30页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2)方法一：由(1)知，AMPD，又PAAD， 则M是PD的中点 在RtPAD中，得AM 2. 在RtCDM中，得MC MD2DC2 3. MC2AM2AC25，即AMC为直角三角形 SACM1 2AM MC 6 2 . 高考调研高考调研 第第31页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 设点D到平面ACM的距离为h，由VDACMVMACD，得1 3S ACM h1 3SACD 1 2PA，解得h 6 3

18、 . 设直线CD与平面ACM所成的角为， 则sin h CD 6 3 ，cos 3 3 . 直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为 3 3 . 高考调研高考调研 第第32页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 方法二：如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角 坐标系Axyz， 则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)， M(0,1,1) 高考调研高考调研 第第33页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 AC (1,2,0)，A

19、M (0,1,1)，CD (1,0,0) 设平面ACM的一个法向量为 n(x，y，z)， 由nAC ，nAM ，可得 x2y0， yz0. 令z1，得x2，y1. n(2，1,1) 高考调研高考调研 第第34页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 设直线CD与平面ACM所成的角为，则 sin |CD n| |CD | |n| 6 3 .cos 3 3 . 直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为 3 3 . 【答案】 (1)略 (2) 3 3 高考调研高考调研 第第35页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数

20、学（理） 高三总复习高三总复习 探究2 求直线和平面所成的角也有传统法和向量法两 种传统法关键是找斜线在平面内的射影，从而找出线面 角；向量法则可建立坐标系，利用向量的运算求解用向量 法可避开找角的困难，但计算较繁，所以要注意计算上不要 失误 高考调研高考调研 第第36页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2014北京理)如图所示，正方形AMDE 的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点在五棱锥P ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于 点G，H. (1)求证：ABFG； (2)若PA底面ABCDE，且P

21、AAE，求直线BC与平面 ABF所成角的大小，并求线段PH的长 思考题思考题2 高考调研高考调研 第第37页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【解析】 (1)证明：在正方形AMDE中，因为B是AM的 中点，所以ABDE. 又因为AB平面PDE， 所以AB平面PDE. 因为AB平面ABF，且平面ABF平面PDEFG， 所以ABFG. 高考调研高考调研 第第38页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2)因为PA底面ABCDE，所以PAAB，PAAE. 如图建立空间直角坐标

22、系Axyz，则A(0,0,0)， B(1,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，F(0,1,1)，BC (1,1,0) 高考调研高考调研 第第39页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 设平面ABF的一个法向量为n(x，y，z)， 则 n AB 0， n AF 0， 即 x0， yz0. 令z1，则y1，所以n(0，1,1) 设直线BC与平面ABF所成角为， 则sin|cosn，BC | n BC |n|BC | 1 2. 因此直线BC与平面ABF所成角的大小为 6. 高考调研高考调研 第第40页页 第八章第八章 立体几何立体

23、几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 设点H的坐标为(u，v，w) 因为点H在棱PC上，所以可设PH PC (01)， 即(u，v，w2)(2,1，2)，所以u2，v，w 22. 因为n是平面ABF的一个法向量，所以n AH 0，即(0， 1,1) (2，22)0，解得2 3. 高考调研高考调研 第第41页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 所以点H的坐标为 4 3， 2 3， 2 3 . 所以PH 4 3 2 2 3 2 4 3 22. 【答案】 (1)略 (2) 6，2 高考调研高考调研 第第42页

24、页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 题型三题型三 二面角二面角 高考调研高考调研 第第43页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 例3 (2014新课标全国理)如图所示，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，ABB1C. (1)证明：ACAB1； (2)若ACAB1，CBB160，ABBC，求二面角A A1B1C1的余弦值 高考调研高考调研 第第44页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【思路】

25、 (1)充分利用菱形中蕴含的垂直关系，用传统 的方法(综合法)即可证明；(2)利用垂直关系建立空间直角坐 标系，用法向量法求二面角的余弦值 【解析】 (1)证明：连接BC1，交B1C于点O，连接AO.因 为侧面BB1C1C为菱形，所以B1CBC1，且O为B1C及BC1的中 点 又ABB1C，ABBOB，所以B1C平面ABO. 由于AO平面ABO，故B1CAO. 又B1OCO，故ACAB1. 高考调研高考调研 第第45页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2)因为ACAB1，且O为B1C的中点， 所以AOCO. 又因为ABBC，所以

26、BOA BOC.故OAOB.从而OA，OB， OB1两两互相垂直 以O为坐标原点， OB ， OB1 ， OA 的方向为x轴，y轴，z轴的正方 向，|OB |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. 高考调研高考调研 第第46页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 因为CBB160 ，所以CBB1为等边三角形又AB BC，OCOA，则A 0，0， 3 3 ，B(1,0,0)，B1 0， 3 3 ，0 ， C 0， 3 3 ，0 ， AB1 0， 3 3 ， 3 3 ， A1B1 AB 1，0， 3 3 ，B1C1 BC 1，

27、3 3 ，0 . 设n(x，y，z)是平面AA1B1的法向量， 高考调研高考调研 第第47页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 则 n AB1 0， n A1B1 0， 即 3 3 y 3 3 z0， x 3 3 z0. 所以可取n(1， 3， 3) 设m是平面A1B1C1的法向量，则 m A1B1 0， m B1C1 0. 同理可取m(1， 3， 3) 高考调研高考调研 第第48页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 则cosn，m n m |n|m| 1 7. 所以二面

28、角AA1B1C1的余弦值为1 7. 【答案】 (1)略 (2)1 7 高考调研高考调研 第第49页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 探究3 (1)当空间直角坐标系容易建立时，用向量法较为 简洁明快 (2)用法向量求二面角的大小时，有时不易判断两法向量 的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们完全可以根据 图形得出结论，这是因为二面角是钝二面角还是锐二面角一 般是比较明显的 高考调研高考调研 第第50页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 思考题思考题3 (2015 衡

29、水调研卷)如图所示，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为直角梯形，ABCD，DAB 90 ，PA平面ABCD，且PACDAD 1 2 AB，M为PB的中 点 (1)证明：平面PAD平面PCD； (2)求二面角AMCB的余弦值 高考调研高考调研 第第51页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【解析】 (1)证明：以A为坐标原点，AD长为单位长 度，建立如图所示空间直角坐标系A xyz，则A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(1,1,0)， D(1,0,0)，P(0,0,1)，M(0,1，1 2) 因为AP (0,0,1)，DC (

30、0,1,0)，所 以AP DC 0.所以APDC. 高考调研高考调研 第第52页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 由题设知ADDC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交 直线， 由此得DC平面PAD.又DC在平面PCD上，故平面 PAD平面PCD. 高考调研高考调研 第第53页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2)在MC上取一点N(x，y，z)，则存在R，使 NC MC ， NC (1x,1y，z)，MC (1,0，1 2)， 所以x1，y1，z1 2. 要使ANM

31、C，只需AN MC 0，即x 1 2 z0，解得 4 5. 高考调研高考调研 第第54页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 可知当4 5时，N点坐标为( 1 5，1， 2 5)，能使AN MC 0. 此时，AN (1 5，1， 2 5)，BN (1 5，1， 2 5)，有BN MC 0. 由AN MC 0，BN MC 0，得ANMC，BNMC，所 以ANB为所求二面角的平面角 因为|AN | 30 5 ，|BN | 30 5 ，AN BN 4 5， 高考调研高考调研 第第55页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数

32、学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 所以cosAN ，BN AN BN |AN | |BN | 2 3. 所以二面角AMCB的余弦值为2 3. 【答案】 (1)略 (2)2 3 高考调研高考调研 第第56页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 例4 已知正方形ABCD的边长为4，CG平面ABCD， CG2，E，F分别是AB，AD的中点，求点B到平面GEF的距 离 题型四题型四 空间距离空间距离 高考调研高考调研 第第57页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【解析】

33、如图建立空间直角坐标系，则B(0,4,0)， E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)，EF (2，2,0)，GE (2,4， 2)，BE (2,0,0) 设平面EFG的一个法向量是 n(x，y,1)， 高考调研高考调研 第第58页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 则由nEF ，nGE ，得 x，y，1 2，2，00， x，y，1 2，4，20 xy0， x2y1 x1 3， y1 3. 所以n(1 3， 1 3，1) 则点B到平面GEF的距离为dn BE |n| 2 11 11 . 高考调研高考调研 第第59页页 第

34、八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【讲评】 空间中的距离问题一般都可以转化成点到点 的距离、点到线的距离和点到面的距离其中点到点的距 离、点到线的距离可用空间向量的模来求解，点到面的距离 可借助于平面的法向量求解 【答案】 2 11 11 高考调研高考调研 第第60页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 探究4 (1)求点到平面距离是重点，其方法有：直接 作出点到面的垂线段，再计算；平行转移法即通过线面 平行，转化到其他点到平面的距离；体积法；利用向 量 (2)已知AB为平面的

35、一条斜线段，n为平面的法向量， 则B到平面的距离为|BO |AB AB ，n|AB n| |n| . 高考调研高考调研 第第61页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 如图所示，BCD与MCD都是边长为2 的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB 2 3.求点A到平面MBC的距离 思考题思考题4 高考调研高考调研 第第62页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【解析】 方法一：取CD中点O，连接OB，OM，则 OBOM3，OBCD，MOCD.又平面MCD平面

36、BCD，则MO平面BCD，所以MOAB，MO平面 ABC.M，O到平面ABC的距离相等作OHBC于H，连接 MH，则MHBC. 求得OHOC sin60 3 2 ， MH 32 3 2 2 15 2 . 高考调研高考调研 第第63页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 设点A到平面MBC的距离为d，由VAMBCVMABC，得 1 3 SMBC d 1 3 SABC OH. 即1 3 1 22 15 2 d1 3 1 222 3 3 2 ， 解得d2 15 5 . 高考调研高考调研 第第64页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版

37、新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 方法二：取CD中点O，连接OB，OM，则OBCD，OM CD.又平面MCD平面BCD，则MO平面BCD.取O为原 点，直线OC，BO，OM为x轴，y轴，z轴， 建立空间直角坐标系，如图所示，OBOM 3，则各点坐标分别为C(1,0,0)，M(0,0， 3)，B(0， 3，0)，A(0， 3，2 3) 设n(x，y，z)是平面MBC的一个法向 量，则 BC (1， 3，0)，BM (0， 3， 3) 高考调研高考调研 第第65页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 由nBC ，得x

38、3y0. 由nBM ，得 3y 3z0. 取n( 3，1,1)，BA (0,0,2 3)，则 d|BA n| |n| 2 3 5 2 15 5 . 【答案】 2 15 5 高考调研高考调研 第第66页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 1角的计算与度量总要进行转化，这体现了转化的思 想，主要将空间角转化为平面角或两向量的夹角 2用向量的数量积来求解两异面直线所成的角，简单、 易掌握其基本程序是选基底，表示两直线方向向量，计算 数量积，若能建立空间直角坐标系，则更为方便 3找直线和平面所成的角常用方法是过线上一点作面的 垂线或找线上一

39、点到面的垂线，或找(作)垂面，将其转化为平 面角，或用向量求解，或解直角三角形 高考调研高考调研 第第67页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 4二面角的求解方法一般有作垂面法、三垂线定理法、 面积射影法、向量法等，特别是对“无”棱(图中没有棱)的二 面角，应先找出棱或借助平面法向量夹角求解 5空间的距离主要掌握点面距离的求法 高考调研高考调研 第第68页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 自助餐自助餐 高考调研高考调研 第第69页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课

40、标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 1.(2015山西临汾一模)如图所示，点P在正方形ABCD所 在平面外，PA平面ABCD，PAAB，则PB与AC所成的角是 ( ) A90 B60 C45 D30 答案 B 解析 将其还原成正方体ABCDPQRS，显然PBSC， ACS为正三角形，ACS60. 高考调研高考调研 第第70页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 2若正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是 A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为 ( ) A.3 5 B.4 5 C.3 4

41、 D. 5 5 答案 B 高考调研高考调研 第第71页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 解析 间接法：由正三棱柱的所有棱长都相等，依据题 设条件，可知B1D平面ACD，B1DDC，故B1DC为直 角三角形 设棱长为1，则有AD 5 2 ，B1D 3 2 ，DC 5 2 ， SB1DC1 2 3 2 5 2 15 8 . 设A到平面B1DC的距离为h，则有 VAB1DCVB1ADC， 高考调研高考调研 第第72页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 1 3hSB1DC 1

42、3B1DSADC. 1 3h 15 8 1 3 3 2 1 2，h 2 5. 设直线AD与平面B1DC所成的角为，则sin h AD 4 5. 向量法： 高考调研高考调研 第第73页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 如图，取AC的中点为坐标原点，建立空 间直角坐标系 设各棱长为2， 则有A(0，1,0)，D(0,0,2)，C(0,1,0)， B1( 3，0,2) 设n(x，y，z)为平面B1CD的法向量， 高考调研高考调研 第第74页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习

43、则有 n CD 0， n CB1 0 y2z0， 3xy2z0 n(0,2,1) sinAD ，n AD n |AD | |n| 4 5. 高考调研高考调研 第第75页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 3(2015 皖南八校联考)四棱锥VABCD中，底面 ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面是腰长为3的等腰 三角形，则二面角VABC的余弦值的大小为( ) A. 2 3 B. 2 4 C. 7 3 D.2 2 3 答案 B 高考调研高考调研 第第76页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高

44、三总复习高三总复习 解析 如图所示，取AB中点E，过V作底面的垂线，垂 足为O，连接OE，根据题意可知，VEO是二面角VAB C的平面角因为OE1，VE321 22 ，所以cos VEOOE VE 1 2 2 2 4 ，故选B. 高考调研高考调研 第第77页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 4在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD 1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为 _ 答案 30 10 高考调研高考调研 第第78页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理）

45、 高三总复习高三总复习 解析 建立坐标系如图 则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)， C1(0,2,2) BC1 (1,0,2)，AE (1,2,1)， cosBC1 ，AE BC1 AE |BC1 | |AE | 30 10 .所以异面直线BC1与 AE所成角的余弦值为 30 10 . 高考调研高考调研 第第79页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 5(2014 重庆理)如图所示，在四棱锥PABCD中，底 面是以O为中心的菱形，PO底面ABCD，AB2，BAD 3，M为BC上一点，且BM 1 2，MPAP. (1)求PO的长； (2)求二面角APMC的正弦值 答案 (1) 3 2 (2) 10 5 高考调研高考调研 第第80页页 第八章第八章 立体几何立体几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 解析 (1)如图，连接AC，BD，OM，因为ABCD为菱