新课标版数学（理）高三总复习之：第10章计数原理和概率第9节

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1、高考调研高考调研第第1页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率高考调研高考调研第第2页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率第第9课时课时随机变量的期望与方差随机变量的期望与方差高考调研高考调研第第3页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 1了解离散型随机变量的数学期望、方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求它的期

2、望、方差 2离散型随机变量的期望与方差在现实生活中有着重要意义，因此求期望、方差是应用题的命题方向请注意期望与方差是随机变量最重要的两个特征数，它们所表示的意义具有很大的实用价值，是高考的热点之一高考的主要题型有两种：一是求期望值和方差；二是有关的应用题高考调研高考调研第第4页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率课前自助餐课前自助餐授授人以渔人以渔自助餐自助餐题组层级快练题组层级快练高考调研高考调研第第5页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和

3、概率计数原理和概率课前自助餐课前自助餐高考调研高考调研第第6页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 1期望与方差若离散型随机变量的概率分布为 x1 x2 xn P p1 p2 pn 则称 E()x1p1x2p2xnpn为的数学期望称 D()(x1E()2p1(x2E()2p2(xnE()2pn 为的方差， D叫做随机变量的，记作_ 标准差 () 高考调研高考调研第第7页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 2离散型随机变量的期望与方

4、差具有下列性质 (1)离散型随机变量的期望E()与方差D()是一个 _，它们是随机变量本身所固有的一个数字特征，它们不具有随机性 (2)若离散型随机变量的一切值位于区间a，b内，E()的取值范围是 . (3)离散型随机变量的期望反映随机变量可能取值的 _，而方差反映随机变量取值偏离于均值的平均程度数值 aE()b 平均水平高考调研高考调研第第8页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 (4)若ab，其中是离散型随机变量，a，b为常数，则E() ，D() (5)离散型随机变量的期望与方差若存在则必唯一，期望 E(

5、)的值既可正也可负，而方差的值则一定是一个非负值 (6)D()E( 2)(E()2 aE()b a2D() 高考调研高考调研第第9页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 3常见离散型随机变量的期望与方差 (1)两点分布：若随机变量满足P(1)p，P(0)1 p，则E() ，D() (2)二项分布：若随机变量B(n，p)，则E() ，D() p p(1p) np np(1p) 高考调研高考调研第第10页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 1判断下面

6、结论是否正确(打“”或“”) (1)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关 (2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量 (3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小高考调研高考调研第第11页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 (4)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是0.7. 答案 (1) (2) (3) (4) 高考调研高考调研第第12页页新课标版新课标版

7、数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 2设随机变量B(n，p)，且E()1,6，D()1.28，则 ( ) An8，p0.2 Bn4，p0.4 Cn5，p0.32 Dn7，p0.45 答案 A 解析由E()np1.6，D()np(1p)1.28，检验可知n8，p0.2符合高考调研高考调研第第13页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 3(2014陕西理)设样本数据x1，x2，x10的均值和方差分别为1和4，若yixia(a为非零常数，i1,2，10)，则y1，y

8、2，y10的均值和方差分别为( ) A1a,4 B1a,4a C1,4 D1,4a 答案 A 解析利用样本的均值、方差公式求解 x1x2x10 10 1，yixia，所以 y1，y2，y10的均值为 1a，方差不变仍为 4.故选 A. 高考调研高考调研第第14页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 4(2014上海黄浦二模)某个不透明的袋中装有除颜色外其他特征完全相同的8个乒乓球(其中3个是白色球，5个是黄色球)，小李同学从袋中一个一个地摸乒乓球(每次摸出球后不放回)，当摸到的球是黄球时停止摸球用随机变量表示小

9、李同学首先摸到黄色乒乓球时的摸球次数，则随机变量的数学期望值E()_. 答案 3 2 高考调研高考调研第第15页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率解析的分布列为 1 2 3 4 P 5 8 15 56 5 56 1 56 E()15 82 15 563 5 564 1 56 3 2. 高考调研高考调研第第16页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 5随机变量的分布列如下： 1 0 1 P a b c 其中 a，b，c 成等差数列，若 E(

10、)1 3，则 D()的值是 _ 答案 5 9 高考调研高考调研第第17页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率解析 a，b，c 成等差数列，2bac. 又abc1， E()1a1cca1 3. a1 6，b 1 3，c 1 2. D()(11 3) 21 6(0 1 3) 21 3(1 1 3) 21 2 5 9. 高考调研高考调研第第18页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率授人以渔授人以渔高考调研高考调研第第19页页新课标版新课标版数

11、学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率题型一题型一期望、方差的性质期望、方差的性质例 1 设随机变量具有分布 P(k)1 5，k1,2,3,4,5，求 E(32)，D(21)，(1) 【思路】利用性质 E(ab)aE()b， D(ab)a2D() 高考调研高考调研第第20页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率【解析】 E()11 52 1 53 1 54 1 55 1 5 15 5 3，E(32)3E()211. D()(13)21 5(23) 21 5(33)

12、 21 5(43) 21 5 (53)21 5 1 5(41014)2. D(21)4D()8， (1) D1 D 2. 【答案】 11,8， 2 高考调研高考调研第第21页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率探究1 若是随机变量，则f()一般仍是随机变量，在求的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求的分布列带来的繁琐运算高考调研高考调研第第22页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 (1)设非零常数d是等差数列x1，x2，

13、x3，x19的公差，随机变量等可能地取值x1，x2，x3， x19，则方差D()_. 思考题思考题1 【解析】 E()x10， D() d2 199 28212021292 30|d|. 【答案】 30|d| 高考调研高考调研第第23页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 (2)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n1,2,3,4)现从袋中任取一个球，表示所取球的标号求的分布列、期望和方差；若ab，E()1，D()11，试求a，b的值高考调研高考调研第第24页页新课标版新课标

14、版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率【解析】的分布列为 0 1 2 3 4 P 1 2 1 20 1 10 3 20 1 5 E()01 21 1 202 1 103 3 204 1 51.5. D()(01.5)21 2(11.5) 2 1 20(21.5) 2 1 10(3 1.5)2 3 20(41.5) 21 52.75. 高考调研高考调研第第25页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率【答案】 E()1.5，D()2.75 a2，b2或 a2，b4 由

15、D()a2D()，得 a22.7511，即 a 2. 又 E()aE()b，所以当 a2 时，由 121.5b，得 b2. 当 a2 时，由 121.5b，得 b4. a2， b2 或 a2， b4 即为所求高考调研高考调研第第26页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率例2 一口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球，每次从袋中任意摸出一个球 (1)采取有放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率； (2)采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的均值和方差题型二题型二期望与方差的计

16、算期望与方差的计算高考调研高考调研第第27页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率【解析】 (1)“有放回摸取”可看作独立重复试验，每次摸出一球是白球的概率为 P2 6 1 3. 记“有放回摸两次，颜色不同”为事件 A，其概率为 P(A) 4 9. 高考调研高考调研第第28页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 (2)设摸得白球的个数为 X，则 X 的取值为 0,1,2， P(X0)4 6 3 5 2 5， P(X1)4 6 2 5 2 6

17、 4 5 8 15， P(X2)2 6 1 5 1 15. 高考调研高考调研第第29页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 X的分布列为 X 0 1 2 P 2 5 8 15 1 15 E(X)02 51 8 152 1 15 2 3， D(X)(02 3) 22 5(1 2 3) 2 8 15(2 2 3) 2 1 15 16 45. 【答案】 (1)4 9 (2) 2 3， 16 45 高考调研高考调研第第30页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和

18、概率探究2 求离散型随机变量X的均值与方差的方法： (1)写出X的分布列； (2)由均值的定义求E(X)； (3)由方差的定义求D(X) 高考调研高考调研第第31页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 (2014天津理)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同) (1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率； (2)设X为选出的3名同学

19、中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望思考题思考题2 高考调研高考调研第第32页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率【思路】 (1)利用古典概型的概率公式求解； (2)先确定随机变量X的所有取值，求出对应的概率，列出分布列，再代入随机变量的期望公式求解【解析】 (1)设“选出的 3 名同学是来自互不相同的学院”为事件 A，则 P(A)C 1 3 C 2 7C 0 3 C 3 7 C3 10 49 60. 所以选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率为49 60. 高考调研高考调研第第33页页新课

20、标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 (2)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3. P(Xk)C k 4 C 3k 6 C3 10 (k0,1,2,3) 所以随机变量 X 的分布列是 X 0 1 2 3 P 1 6 1 2 3 10 1 30 所以数学期望 E(X)01 61 1 22 3 103 1 30 6 5. 【答案】 (1)49 60 (2) 6 5 高考调研高考调研第第34页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率题型三题型三二项分布的

21、均值与方差二项分布的均值与方差例 3 (2015 山西四校联考)在一次数学考试中，第 22,23,24 题为选做题，规定每位考生必须且只需在其中选做一题，设 5 名考生选做这三题的任意一题的可能性均为1 3，每位考生对每题的选择是相互独立的，各考生的选择相互之间没有影响 (1)求其中甲、乙两人选做同一题的概率； (2)设选做第 23 题的人数为，求的分布列及数学期望高考调研高考调研第第35页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率【解析】 (1)设事件 A1表示甲选第 22 题，A2表示甲选第 23 题，

22、A3表示甲选第 24 题， B1表示乙选第 22 题，B2表示乙选第 23 题，B3表示乙选第 24 题，则甲、乙两人选做同一题的事件为 A1B1A2B2A3B3，且 A1与 B1，A2与 B2，A3与 B3相互独立，所以 P(A1B1A2B2A3B3)P(A1)P(B1)P(A2)P(B2) P(A3)P(B3)31 9 1 3. 高考调研高考调研第第36页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 (2)设可能的取值为 0,1,2,3,4,5.B(5，1 3)， P(k)Ck 5(1 3) k(2 3) 5kCk

23、 52 5k 35 ，k0,1,2,3,4,5. 的分布列为 E()np51 3 5 3. 【答案】 (1)1 3 (2) 5 3 高考调研高考调研第第37页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率探究3 求随机变量的期望时，可首先分析是否服从二项分布，若B(n，p)，则用公式E()np求解，可大大减少计算量高考调研高考调研第第38页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率思考题思考题3 某校设计了一个实验学科的考查方案：考生从 6 道备选题中

24、一次性随机抽取 3 题，按照题目要求独立完成全部实验操作规定：至少正确完成其中 2 题的便可通过已知 6 道备选题中考生甲有 4 题能正确完成，2 题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都为2 3，且每题正确完成与否互不影响 (1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的分布列，并计算其数学期望； (2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力高考调研高考调研第第39页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率【解析】 (1)设考生甲、乙正确完成实验操作的题目个数分别为，则的可能取值为 1,2,3， P(1)C 1

25、4C 2 2 C3 6 1 5， P(2)C 2 4C 1 2 C3 6 3 5， P(3)C 3 4C 0 2 C3 6 1 5，高考调研高考调研第第40页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率考生甲正确完成题数的分布列为 1 2 3 P 1 5 3 5 1 5 E()11 52 3 53 1 52. 又 B 3，2 3 ，其分布列为 P(k)Ck 3 2 3 k 1 3 3k，k0,1,2,3. E()np32 32. 高考调研高考调研第第41页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第

26、十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 (2)D()(12)21 5(22) 23 5(32) 21 5 2 5， D() npq32 3 1 3 2 3， D()P(2) 高考调研高考调研第第42页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大因此可以判断甲的实验操作能力较强【答案】 (1)E()甲2，E()乙2 (2)甲的实验操作能力较强高考调研高考调研第第43页页新课标版新课标版数学（理）

27、数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 1离散型随机变量的数学期望与方差是对随机变量的简明的描写期望表示在随机试验中随机变量取得的平均值；方差表示随机变量所取的值相对于它的期望值的集中与离散程度，即取值的稳定性把握离散型随机变量的数学期望与方差的含义，是处理有关应用题的重要环节高考调研高考调研第第44页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 2期望与方差的常用性质，掌握下述有关性质，会给解题带来方便： (1)E(ab)aE()b； E()E()E()； D(ab)a2D()

28、； (2)若B(n，p)，则E()np，D()np(1p) 高考调研高考调研第第45页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率自助餐自助餐高考调研高考调研第第46页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 1有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X表示取到次品的个数，则E(X)等于_ 答案 3 5 解析离散型随机变量 X 服从 N10，M3，n2 的超几何分布，E(X)nM N 23 10 3 5. 高考调研高考调研第第47页页新课标

29、版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 2(2015 河南豫北六校联考)设是服从二项分布 B(n， p)的随机变量，又 E()15，D()45 4 ，则 n 与 p 的值分别为 ( ) A60，3 4 B60， 1 4 C50，3 4 D50，1 4 高考调研高考调研第第48页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率答案 B 解析由已知得 np15， npq45 4 ，解得 q3 4， p1 4. n60，故选 B. 高考调研高考调研第第49页页新课标版

30、新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 3(2015衡水调研卷)某地消防大队紧急抽调1,2,3,4,5号五辆消防车，分配到附近的A，B，C，D四个村子进行送水抗旱工作，每个村子至少要安排一辆消防车若这五辆消防车中去A村的辆数为随机变量，则E()的值为( ) A.1 4 B.3 4 C1 D.5 4 答案 D 高考调研高考调研第第50页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率解析由题意知，随机变量的取值是 1,2， “2”是指“有两辆消防车同时去 A 村”，

31、则 P(2)C 2 5A 3 3 C2 5A 4 4 1 4. 所以 P(1)3 4. 所以 E()13 42 1 4 5 4. 高考调研高考调研第第51页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 4马老师从课本上抄录的一个随机变量的概率分布列如下表：请小牛同学计算的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同，据此，小牛给出了正确答案E()_. x 1 2 3 P(x) ？！？高考调研高考调研第第52页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高

32、三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率答案 2 解析令“？”为a，“！”为b，则2ab1. 又E()a2b3a2(2ab)2. 高考调研高考调研第第53页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 5(2015 山东日照质检)甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有 m 个球，乙袋中共有 2m 个球，从甲袋中摸出 1 个球为红球的概率为2 5，从乙袋中摸出 1 个球为红球的概率为 P2. (1)若 m10，求甲袋中红球的个数； (2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出 1 个红球

33、的概率是1 3，求 P2 的值；高考调研高考调研第第54页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 (3)设 P21 5，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出 1 个球，并且从甲袋中摸 1 次，从乙袋中摸 2 次设表示摸出红球的总数，求的分布列和均值答案 (1)4 (2) 3 10 (3) 4 5 高考调研高考调研第第55页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率解析 (1)设甲袋中红球的个数为 x，依题意，得 x102 54. (2)

34、由已知，得 2 5m2mP2 3m 1 3，解得 P2 3 10. 高考调研高考调研第第56页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 P(0)3 5 4 5 4 5 48 125， P(1)2 5 4 5 4 5 3 5C 1 21 5 4 5 56 125， P(2)2 5C 1 21 5 4 5 3 5( 1 5) 2 19 125， P(3)2 5( 1 5) 2 2 125. 高考调研高考调研第第57页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率所以的分布列为所以 E()0 48 1251 56 1252 19 1253 2 125 4 5. 高考调研高考调研第第58页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率题组层级快练题组层级快练 (第一次作业第一次作业) 高考调研高考调研第第59页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率题组层级快练题组层级快练 (第二次作业第二次作业)