新课标版数学（理）高三总复习之：第10章计数原理和概率第3节

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1、高考调研高考调研第第1页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率高考调研高考调研第第2页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率第第3课时课时二项式定理二项式定理高考调研高考调研第第3页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 1能用计数原理证明二项式定理 2会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题请注意本节内容中高考热点是通项

2、公式的应用，利用通项公式求特定项或特定的项的系数，或已知某项，求指数n等高考调研高考调研第第4页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率课前自助餐课前自助餐授授人以渔人以渔自助餐自助餐题组层级快练题组层级快练高考调研高考调研第第5页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率课前自助餐课前自助餐高考调研高考调研第第6页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 1二项式定理的

3、内容 (1)(ab)n_ (2)第 r1 项，Tr1_. (3)第 r1 项的二项式系数为_ C0 na nC1 na n1b1Cr na nrbrCn nb n(nN*) Cr na nrbr Cr n(r0,1，n) 高考调研高考调研第第7页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 2二项式系数的性质 (1)0kn 时，Ck n与 C nk n 的关系是 (2)二项式系数先增后减中间项最大且 n 为偶数时第_ 项的二项式系数最大，最大为_，当 n 为奇数时第_ 或_项的二项式系数最大，最大为_. (3)各二项式系数和：C

4、0 nC 1 nC 2 nC n n ，C 0 n C2 nC 4 n ，C 1 nC 3 nC 5 n . 相等 n 21 Cn 2n n1 2 1 n1 2 1 Cn1 2 n或 Cn1 2 n 2n 2n1 2n1 高考调研高考调研第第8页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率答案 (1) (2) (3) (4) 1判断下面结论是否正确(打“”或“”) (1)Ck na nkbk 是二项展开式的第 k 项 (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项 (3)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与 a，b

5、无关 (4)在(1x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项高考调研高考调研第第9页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 2(12x)5的展开式中，x2的系数等于( ) A80 B40 C20 D10 答案 B 解析 Tk1Ck na nkbkCk 51 5k(2x)kCk 52 kxk，令 k2，则可得含 x2项的系数为 C2 52 240. 高考调研高考调研第第10页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 3(1 x)4(1 x)4的展

6、开式中 x 的系数是( ) A4 B3 C3 D4 答案 A 解析原式(1 x)4(1 x)4(1x)4，于是 x 的系数是 C1 4 (1)4. 高考调研高考调研第第11页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 4若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a2a4 的值为( ) A9 B8 C7 D6 答案 B 解析 (x1)41C1 4x(1) 3C2 4x 2(1)2C3 4x 3(1) x4a0a1xa2x2a3x3a4x4， a01，a2C2 46，a41. a0a2a48. 高考调研高考调研第

7、第12页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 5(2014新课标全国理)(xa)10的展开式中，x7的系数为15，则a_.(用数字填写答案) 答案 1 2 解析设展开式的通项为 Tr1Cr 10 x 10rar，令 r3，得 T4C3 10 x 7a3，即 C3 10a 315，得 a1 2. 高考调研高考调研第第13页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率授人以渔授人以渔高考调研高考调研第第14页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）

8、高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率题型一题型一求展开式中的项求展开式中的项例 1 (1)(2014 湖北理)若二项式 2xa x 7 的展开式中 1 x3的系数是 84，则实数 a( ) A2 B.54 C1 D. 2 4 高考调研高考调研第第15页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率【解析】 Tk1Ck 7(2x) 7k a x kCk 72 7kakx72k，令 72k 3，得 k5，即 T51C5 72 2a5x384a5x3，解得 a1，选 C. 【答案】 C 高考调研

9、高考调研第第16页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 (2)已知在(3x 1 23x )n的展开式中，第 6 项为常数项求 n；求含 x2项的系数；求展开式中所有的有理项高考调研高考调研第第17页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率【解析】通项公式为 Tr1Cr nxnr 3 (1 2) rxr 3C r n(1 2) rxn2r 3 . 第 6 项为常数项， r5 时，有n2r 3 0，即 n10. 令n2r 3 2，得 r1 2(

10、n6)2. 所求的系数为 C2 10(1 2) 245 4 . 高考调研高考调研第第18页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率根据通项公式，由题意得 102r 3 Z， 0r10， rZ. 令102r 3 k(kZ)，则 102r3k，即 r53 2k. rZ，k 应为偶数 k 可取 2,0，2，即 r 可取 2,5,8. 第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项，它们分别为 C2 10( 1 2) 2x2，C5 10(1 2) 5，C8 10(1 2) 8x2. 高考调研高考调研第第19页页新课标版新课标版

11、数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率【答案】 10 45 4 C2 10(1 2) 2x2，C5 10(1 2) 5，C8 10(1 2) 8x2. 高考调研高考调研第第20页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率探究1 所谓二项展开式中的有理项，是通项公式中未知数的指数恰好都是整数的项解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式

12、与求有理项一致高考调研高考调研第第21页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率思考题思考题1 (1)(2014 湖南理) 1 2x2y 5 的展开式中 x2y3的系数是 ( ) A20 B5 C5 D20 高考调研高考调研第第22页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率【解析】由二项展开式的通项可得，第四项 T4C3 5 1 2x 2(2y)320 x2y3，故 x2y3 的系数为20，选 A. 【答案】 A 高考调研高考调研第第23页页

13、新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 (2)(2014新课标全国理)(xy)(xy)8的展开式中x2y7的系数为_(用数字填写答案) 【解析】利用二项展开式的通项公式求解x2y7 x (xy7)，其系数为 C7 8，x 2y7y (x2y6)，其系数为C6 8， x2y7的系数为 C7 8C 6 882820. 【答案】 20 高考调研高考调研第第24页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率题型二题型二二项式系数的性质二项式系数的性质例 2 已

14、知( x 1 24x )n的展开式中前三项 x 的系数为等差数列 (1)求二项式系数最大项； (2)求展开式中系数最大的项高考调研高考调研第第25页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率【解析】 (1)C0 n1，C 1 n1 2 n 2，C 2 n(1 2) 21 8n(n1)，由题设可知 2 n 21 1 8n(n1)，n 29n80，解得 n8 或 n1(舍去) 所以二项式系数的最大项为 C4 8( x 1 24x )435 8 x. 高考调研高考调研第第26页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）

15、高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 (2)设第 r1 项的系数 Tr1最大，显然 Tr10，故有T r1 Tr 1 且T r2 Tr11， T r1 Tr Cr 8 2 r Cr 1 8 2 r19r 2r ，由9r 2r 1，得 r3. 高考调研高考调研第第27页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率又T r2 Tr1 Cr 1 8 2 r1 Cr 8 2 r 8r 2r1，由 8r 2r11，得 r2. r2 或 r3，所求项为 T37x5 2和 T47x 7 4. 【答案】 (1

16、)35 8 x (2)7x5 2或 7x 7 4 高考调研高考调研第第28页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率探究2 (1)求系数最大项问题需令该项与前后两项系数比较大小，其实质是判定系数的单调性 (2)要注意系数最大项与二项式系数最大项的差别高考调研高考调研第第29页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率思考题思考题2 (1)(2014 浙江金丽衢十二校二联)在二项式(x21 x) 11 的展开式中，系数最大的项为( ) A第五项 B第

17、六项 C第七项 D第六和第七项【解析】依题意可知 Tr1Cr 11(1) rx223r,0r11，r Z，二项系数最大的是 C5 11与 C 6 11，所以系数最大的是 T7 C6 11，即第七项【答案】 C 高考调研高考调研第第30页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 (2)在(1x)n(nN*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n( ) A8 B9 C10 D11 【解析】含x5的项是第6项，它是中间项n10.选 C. 【答案】 C 高考调研高考调研第第31页页新课标版新课标版数学（理）数学（

18、理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率例3 在(2x3y)10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和； (3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和； (5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和题型三题型三二项式系数的和二项式系数的和高考调研高考调研第第32页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率【解析】设(2x3y)10a0 x10a1x9ya2x8y2 a10y10，(*) 各项系数和为a0a1a10，奇数项系数和为

19、a0a2 a10，偶数项系数和为a1a3a5a9，x的偶次项系数和为a0a2a4a10. 由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和高考调研高考调研第第33页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 (1)二项式系数的和为 C0 10C 1 10C 10 102 10. (2)令 xy1，各项系数和为(23)10(1)101. (3)奇数项的二项式系数和为 C0 10C 2 10C 10 102 9，偶数项的二项式系数和为 C1 10C 3 10C 9 102 9. (4)令 xy1，得 a0a1a2a10

20、1. 令 x1，y1(或 x1，y1)，得 a0a1a2a3a10510. 高考调研高考调研第第34页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率得 2(a0a2a10)1510，奇数项系数和为15 10 2 ；得 2(a1a3a9)1510，偶数项系数和为15 10 2 . 高考调研高考调研第第35页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 (5)x 的奇次项系数和为 a1a3a5a915 10 2 ； x 的偶次项系数和为 a0a2a4a1015

21、 10 2 . 【答案】 (1)210 (2)1 (3)29,29 (4)15 10 2 ，15 10 2 (5)15 10 2 ，15 10 2 高考调研高考调研第第36页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率探究3 本题采用的是“赋值法”，它普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，在解有关问题时，经常要用到这种方法对形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR，m， nN*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可；对(axby)n(a，bR，nN*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x

22、y1即可一般地，若 f(x)a0a1xa2x2anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)，奇数项系数之和为 a0a2a4 f1f1 2 ，偶数项系数之和为 a1a3a5f1f1 2 . 高考调研高考调研第第37页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7. 求：(1)a1a2a7； (2)a1a3a5a7； (3)a0a2a4a6； (4)|a0|a1|a2|a7|. 【解析】令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a7 1. 令x1，则a0a1a2a3a4a5a6

23、a737. 思考题思考题3 高考调研高考调研第第38页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 (1)a0C0 71，a1a2a3a72. (2)() 2，得 a1a3a5a713 7 2 1 094. (3)() 2，得 a0a2a4a613 7 2 1 093. 高考调研高考调研第第39页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 (4)(12x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零， |a0|a1|a2|a7|

24、(a0a2a4a6)(a1a3a5a7) 由(2)，(3)即可得其值为2 187. 【答案】 (1)2 (2)1 094 (3)1 093 (4)2 187 高考调研高考调研第第40页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率例4 (1)求证：nN且n3时，2n1n1. (2)求证：32n28n9(nN*)能被64整除 (3)计算1.056.(精确到0.01) 题型四题型四二项式定理的应用二项式定理的应用【解析】 (1)n3 时，2n(11)n 1nC2 nn122n，2 n1n1. 高考调研高考调研第第41页页新课

25、标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 (2)原式(18)n 18n9 1C1 n18 1C2 n18 2Cn1 n18 n18n9 C2 n18 2C3 n18 3Cn1 n18 n1 64(C2 n1C 3 n18C n1 n18 n1) C2 n1，C 3 n1，C n1 n1均为自然数，上式各项均为 64 的整数倍 32n 28n9(nN*)能被 64 整除高考调研高考调研第第42页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 (3)1.056(10.05)

26、6160.05150.0521 0.30.037 51.34. 【答案】 (1)略 (2)略 (3)1.34 高考调研高考调研第第43页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率探究4 (1)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当 n不很大，|x|比较小时，(1x)n1nx. (2)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式 (3)由于(ab)n的展开式共有n1项，故可以通过对某些项的取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的高考调研高考调研第第44页页新课标版新课标版

27、数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 (1)当n2时，证明：3n(n2)2n1. 思考题思考题4 【证明】 n2，3n(21)n展开后至少有 4 项， (21)n2nC1 n 2 n1Cn1 n 21 2nn 2n 12n12nn 2n1(n2) 2n1. 【答案】略高考调研高考调研第第45页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 (2)求 SC1 27C 2 27C 27 27除以 9 的余数【解析】 SC1 27C 2 27C 27 272 271 891(91)

28、91 C0 99 9C1 99 8C8 99C 9 91 9(C0 99 8C1 99 7C8 9)2 9(C0 99 8C1 99 7C8 91)7. 显然上式括号内的数是正整数故 S 被 9 除的余数为 7. 【答案】 7 高考调研高考调研第第46页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 1通项公式最常用，是解题的基础 2对三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项时要注意结合的合理性和简捷性 3求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论

29、对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性高考调研高考调研第第47页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 4因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法高考调研高考调研第第48页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率自助餐自助餐高考调研高考调研第第49页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率

30、1(x2 2 x3) 5 的展开式中的常数项为( ) A80 B80 C40 D40 答案 C 解析展开式的通项为 Tr1Cr 5x 2(5r)(2)rx3rCr 5( 2)rx10 5r.令 105r0，得 r2，所以 T 21C 2 5(2) 240.故选 C. 高考调研高考调研第第50页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 2(2014四川理)在x(1x)6的展开式中，含x3项的系数为( ) A30 B20 C15 D10 答案 C 解析含 x3的项是由(1x)6展开式中含 x2的项与 x 相乘得，又(1

31、x)6展开式中含 x2的项的系数为 C2 615，故含 x 3 项的系数是 15. 高考调研高考调研第第51页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 3设(1xx2)na0a1xa2nx2n，求 a2a4 a2n的值为( ) A3n B3n2 C.3 n1 2 D.3 n1 2 答案 C 高考调研高考调研第第52页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率解析令 x0，得 a01；令 x1，得 a0a1a2a3a2n1. 令 x1，得 a0a1a2a

32、3a2n3n. 由，得 2(a0a2a4a2n)3n1. 故 a0a2a4a2n3 n1 2 . 再由 a01，得 a2a4a2n3 n1 2 . 高考调研高考调研第第53页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 4 若(12x)2 014a0a1xa2 014x2 014(xR)，则a1 2 a2 22 a3 23 a2 014 22 014的值为( ) A2 B0 C1 D2 答案 C 高考调研高考调研第第54页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和

33、概率解析方法一：由二项式定理得通项为 Tr1Cr 2 014( 2x)r(1)r2rCr 2 014x r，则 an(1)n2nCn 2 014，a n 2n(1) nCn 2 014. 则a1 2 a2 22 a3 23 a2 014 22 014(11) 2 014C0 2 0141.故选 C. 高考调研高考调研第第55页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率方法二：原式令 x0，则 a01. 令 x1 2，则 a1 2 a2 22 a3 23 a2 014 22 014(12 1 2) 2 0141 1.故选

34、 C. 高考调研高考调研第第56页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 5已知( 3 xx2)2n的展开式的二项式系数和比(3x1)n 的展开式的二项式系数和大 992.求在(2x1 x) 2n 的展开式中， (1)二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项答案 (1)8 064 (2)15 360 x4 高考调研高考调研第第57页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率解析由题意知 22n2n992，即(2n32)(2n31)0， 2n

35、32，解得 n5. (1)由二项式系数的性质知， (2x1 x) 10 的展开式中第 6 项的二项式系数最大，即 C5 10252. 二项式系数最大的项为 T6C5 10(2x) 5(1 x) 58 064. 高考调研高考调研第第58页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率 (2)设第 r1 项的系数的绝对值最大， Tr1Cr 10 (2x) 10r (1 x) r (1)rCr 10 2 10r x102r Cr 10 2 10rCr1 10 210 r1， Cr 10 2 10rCr1 10 210 r1，得 Cr 102C r1 10 ， 2Cr 10C r1 10 ，即 11r2r， 2r110r，解得8 3r 11 3 .rZ，r3. 故系数的绝对值最大的项是第 4 项，T4C3 10 2 7 x4 15 360 x4. 高考调研高考调研第第59页页新课标版新课标版数学（理）数学（理）高三总复习高三总复习第十章第十章计数原理和概率计数原理和概率题组层级快练题组层级快练