新课标版数学（理）高三总复习之：第10章计数原理和概率-单元测试卷

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1、第十章第十章 单元测试卷单元测试卷 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分每小题中只有一项符合题目要求) 1某班有 50 名学生，其中正、副班长各 1 人，现选派 5 人参加一项活动，要求正、副班长至少有 1 人参加，问共有多少种选派的方法下面是学生提供的四种计算方法，其中错误的算法为( ) AC12C448C22C348 BC550C548 CC12C449 DC12C449C348 答案 C 2先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数 1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点分别 为 x，y，则 log2xy1 的概率为( ) A.1 6 B. 5

2、36 C. 1 12 D.1 2 答案 C 解析 要使 log2xy1，则要求 2xy，出现的基本事件数为 3，概率为 3 36 1 12. 3袋中装有 10 个红球、5 个黑球每次随机抽取 1 个球后，若取得黑球则另换 1 个红球放回袋中， 直到取到红球为止若抽取的次数为 ，则表示“放回 5 个红球”事件的是( ) A4 B5 C6 D5 答案 C 解析 “放回五个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故 6. 4一个坛子里有编号 1,2，12 的 12 个大小相同的球，其中 1 到 6 号球是红球，其余的是黑球， 若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有 1 个球的号码是偶数的概率

3、为( ) A. 1 22 B. 1 11 C. 3 22 D. 2 11 答案 D 解析 分类：一类是两球号均为偶数且红球，有 C23种取法；另一类是两球号码是一奇一偶有 C13C13种 取法， 因此所求的概率为C 2 3C 1 3C 1 3 C212 2 11. 5接种某疫苗后，出现发热反应的概率为 0.80，现有 5 人接种该疫苗，至少有 3 人出现发热反应的 概率为(精确到 0.01)( ) A0.942 B0.205 C0.737 D0.993 答案 A 解析 PC350.830.22C450.840.2C550.850.942. 6甲、乙、丙 3 人进行擂台赛，每局 2 人进行单打比

4、赛，另 1 人当裁判，每一局的输方当下一局的 裁判，由原来裁判向胜者挑战，比赛结束后，经统计，甲共打了 5 局，乙共打了 6 局，而丙共当了 2 局裁 判，那么整个比赛共进行了( ) A9 局 B11 局 C13 局 D18 局 答案 A 解析 由题意甲与乙之间进行了两次比赛，剩余赛事为甲与丙或乙与丙进行，因此比赛场数为 56 29. 7设随机变量 XB(2，p)，YB(3，p)若 P(X1)3 4，则 P(Y1)( ) A.1 2 B.2 3 C.3 4 D.7 8 答案 D 8若在区间0，上随机取一个数 x，则事件“sinx 3cosx1”发生的概率为( ) A.1 4 B.1 3 C.1

5、 2 D.2 3 答案 C 解析 由题意知， 此概率符合几何概型所有基本事件包含的区域长度为 ， 设 A 表示取出的 x 满足 sinx 3cosx1 这样的事件，对条件变形为 sin(x 3) 1 2，即事件 A 包含的区域长度为 2.P(A) 2 1 2. 9口袋中有 5 只球，编号为 1,2,3,4,5，从中任取 3 球，以 表示取出的球的最大号码，则 E()的值为 ( ) A4 B5 C4.5 D4.7 答案 C 解析 X 的取值为 3,4,5.P(X3) 1 C25 1 10， P(X4) C23 C35 3 10， P(X5) C24 C35 3 5， E(X)3 1 104 3

6、10 53 54.5. 10已知随机变量 X 服从正态分布 N(，2)，且 P(2X2)0.954 4，P(X)0.682 6，若 4，1，则 P(5X6)( ) A0.135 8 B0.135 9 C0.271 6 D0.271 8 答案 B 解析 P(5X6)1 2P(42X42)P(41X110)12P90100 2 0.2，该班学生数学成绩在 110 分以上的人数为 0.25010. 16.如图，已知抛物线 yx21 的顶点为 A，与 x 轴正半轴的交点为 B，设抛物线与两坐标轴正半轴 围成的区域为 M，随机往 M 内投一点 P，则点 P 落在AOB 内的概率是_ 答案 3 4 解析

7、设抛物线 yx21 与 x 轴正半轴及 y 轴的正半轴所围成的区域的面积为 S，则 S 0 1(x2 1)dx(1 3x 3x)| 1 02 3，SAOB 1 211 1 2，故点 P 落在AOB 内的概率是 SAOB S 3 4. 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(本小题满分 10 分) 安排 5 名歌手的演出顺序时 (1)要求某名歌手不第一个出场，有多少种不同的排法？ (2)要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，有多少种不同的排法？ 答案 (1)96 (2)78 解析 (1)C14A4496 种 (2)方法一：A55

8、2A44A3378 种 方法二：分两步完成任务： 第一步：先排两名特殊歌手有 433313 种； 第二步：排另外三人有 A336 种，故排法种数共有：13678 种 18(本小题满分 12 分) 一个口袋中有 2 个白球和 n 个红球(n2，且 nN*)，每次从袋中摸出两个球(每次摸球后把这两个球 放回袋中)，若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖 (1)试用含 n 的代数式表示一次摸球中奖的概率 p； (2)若 n3，求三次摸球恰有一次中奖的概率； (3)记三次摸球恰有一次中奖的概率为 f(p)，当 n 为何值时，f(p)取最大值 答案 (1)p n2n2 n23n2 (2) 54 12

9、5 (3)n2 时，f(p)取最大值 解析 (1)一次摸球从 n2 个球中任选两个，有 C2n2种选法， 其中两球颜色相同有 C2nC22种选法， 一次摸球中奖的概率 pC 2 nC 2 2 C2n2 n2n2 n23n2. (2)若 n3，则一次摸球中奖的概率是 p2 5，三次摸球是独立重复实验，三次摸球中恰有一次中奖的 概率是 p3(1)C13p(1p)2 54 125. (3)设一次摸球中奖的概率是 p，则三次摸球中恰有一次中奖的概率是 f(p)C13 p (1p)23p36p2 3p,0p1. f(p)9p212p33(p1)(3p1)， f(p)在(0，1 3)上是增函数，在( 1

10、3，1)上是减函数 当 p1 3时，f(p)取最大值 由 n2n2 n23n2 1 3，解得 n2. n2 时，三次摸球中恰有一次中奖的概率最大 19(本小题满分 12 分) 甲、乙、丙三个车床加工的零件分别为 350 个，700 个，1 050 个，现用分层抽样的方法随机抽取 6 个 零件进行检验 (1)从抽取的 6 个零件中任意取出 2 个，已知这两个零件都不是甲车床加工的，求其中至少有一个是乙 车床加工的零件的概率； (2)从抽取的 6 个零件中任意取出 3 个，记其中是乙车床加工的件数为 X，求 X 的分布列和期望 答案 (1)0.7 (2)1 解析 (1)由抽样方法可知，从甲、乙、丙

11、三个车床抽取的零件数分别为 1,2,3. 从抽取的 6 个零件中任意取出 2 个，记事件“已知这两个零件都不是甲车床加工的”为 A，事件“其 中至少有一个是乙车床加工的”为 B，则 P(A)C 2 5 C26，P(AB) C25C23 C26 ，所求概率为 P(B|A)PAB PA C 2 5C 2 3 C25 0.7. (2)X 的可能取值为 0,1,2. P(xi)C i 2C 3i 4 C36 ，i0,1,2. X 的分布列为 X 0 1 2 P 0.2 0.6 0.2 X 的期望为 E(X)00.210.620.21. 20(本小题满分 12 分) (2015 沧州七校联考)在某次数学

12、考试中，考生的成绩 服从一个正态分布，即 N(90,100) (1)试求考试成绩 位于区间(70,110)上的概率是多少？ (2)若这次考试共有 2 000 名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？ 答案 (1)0.954 4 (2)1 365 解析 N(90,100)，90， 10010. (1)由于正态变量在区间(2，2)内取值的概率是 0.954 4，而该正态分布中，290210 70，290210110，于是考试成绩 位于区间(70,110)内的概率就是 0.954 4. (2)由 90，10，得 80，100. 由于正态变量在区间(，)内的取值的概率是 0.68

13、2 6，所以考试成绩 位于区间(80,100)内的概 率是 0.682 6.一共有 2 000 名考生，所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有 2 0000.682 61 365 人 21(本小题满分 12 分) 李先生家在 H 小区，他在 C 科技园区工作，从家开车到公司上班有 L1，L2两条路线(如图)，路线 L1 上有 A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为1 2；路线 L2 上有 B1，B2两个路口，各路口遇到红灯 的概率依次为3 4， 3 5. (1)若走路线 L1，求最多遇到 1 次红灯的概率； (2)若走路线 L2，求遇到红灯次数 X 的数学期望； (3)按照“

14、平均遇到红灯的次数最少”的要求，请你帮助李先生分析上述两条路线中，选择哪条路线上 班更好些，并说明理由 答案 (1)1 2 (2) 27 30 (3)选择路线 L2上班更好 解析 (1)设“走路线 L1最多遇到 1 次红灯”为事件 A，则 P(A)C03(1 2) 3C1 31 2( 1 2) 21 2. 所以走路线 L1最多遇到 1 次红灯的概率为1 2. (2)依题意，X 的可能取值为 0,1,2. P(X0)(13 4)(1 3 5) 1 10， P(X1)3 4(1 3 5)(1 3 4) 3 5 9 20， P(X2)3 4 3 5 9 20. 随机变量 X 的分布列为 X 0 1

15、2 P 1 10 9 20 9 20 所以 E(X) 1 100 9 201 9 202 27 20. (3)设选择路线 L1遇到红灯的次数为 Y，随机变量 Y 服从二项分布，即 YB(3，1 2)， 所以 E(Y)31 2 3 2. 因为 E(X)E(Y)，所以选择路线 L2上班更好 22(本小题满分 12 分) (2015 衡水调研卷)某中学为丰富教工生活，国庆节举办教工趣味投篮比赛，有 A，B 两个定点投篮位 置，在 A 点投中一球得 2 分，在 B 点投中一球得 3 分其规则是：按先 A 后 B 再 A 的顺序投篮教师甲 在 A 和 B 点投中的概率分别是1 2和 1 3，且在 A，B

16、 两点投中与否相互独立 (1)若教师甲投篮三次，试求他投篮得分 X 的分布列和数学期望； (2)若教师乙与甲在 A，B 点投中的概率相同，两人按规则各投三次，求甲胜乙的概率 答案 (1)E(X)3 (2)19 48 解析 设“教师甲在 A 点投中”的事件为 A，“教师甲在 B 点投中”的事件为 B. (1)根据题意知 X 的可能取值为 0,2,3,4,5,7. P(X0)P( A B A )(11 2) 2(11 3) 1 6， P(X2)P(A B A A B A)C121 2(1 1 3)(1 1 2) 1 3， P(X3)P( A B A )(11 2) 1 3(1 1 2) 1 12，

17、 P(X4)P(A B A)1 2(1 1 3) 1 2 1 6， P(X5)P(AB A A BA)C121 2(1 1 2) 1 3 1 6， P(X7)P(ABA)1 2 1 3 1 2 1 12. 所以 X 的分布列为 X 0 2 3 4 5 7 P 1 6 1 3 1 12 1 6 1 6 1 12 E(X)01 62 1 33 1 124 1 65 1 67 1 123. (2)教师甲胜乙包括：甲得 2 分，3 分，4 分，5 分，7 分五种情形， 这五种情形之间彼此互斥，因此所求事件的概率为 P1 3 1 6 1 12( 1 6 1 3) 1 6( 1 6 1 3 1 12) 1 6( 1 6 1 3 1 12 1 6) 1 12(1 1 12) 57 144 19 48.