2021年高三数学考点复习:等差数列与等比数列
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1、考点十一 等差数列与等比数列 1 A卷 PART ONE 一、选择题 1(2020 山东淄博二模)在正项等比数列an中,若 a3a74,则(2)a5 ( ) A16 B8 C4 D2 解析 在正项等比数列an中,a50,由等比中项的性质可得 a2 5a3a7 4,a52,因此,(2)a5(2)24.故选 C. 答案答案 解析解析 2(2020 湖南郴州一模)数列 2 an1 是等差数列,且 a11,a31 3, 那么 a5( ) A.3 5 B3 5 C5 D5 解析 2 a111, 2 a313,数列 2 an1 是等差数列,设公差为 d, 312d,解得 d1. 2 a511145,解得
2、a5 3 5.故选 B. 答案答案 解析解析 解析 设等比数列an的公比为 q,由 a5a312,a6a424 可得 a1q4a1q212, a1q5a1q324, 解得 q2, a11, 所以 ana1qn12n1,Sna 11q n 1q 12n 12 2n1.因此Sn an 2n1 2n1 221n.故选 B. 3(2020 全国卷)记 Sn为等比数列an的前 n 项和若 a5a312, a6a424,则Sn an( ) A2n1 B221n C22n1 D21n1 答案答案 解析解析 4(2020 海南中学高三摸底)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,若 S5 10,S1040,则
3、 S15( ) A80 B90 C100 D110 解析 根据等差数列前 n 项和的片段和的性质,可知 S5,S10S5,S15 S10也是等差数列,又 S510,S1040,故可得 10,30,50 成等差数列,故 S15S1050,解得 S1590.故选 B. 答案答案 解析解析 解析 由 a2 n1an1an2a 2 n0,得(an1an)(an12an)0,又an为 正项数列,所以 an12an,所以数列an是等比数列,且公比 q2,设首 项为 a1,则 S5a 112 5 12 31a1,a3a1224a1,则S5 a3 31 4 .故选 A. 5(2020 山西大同市高三模拟)已知
4、正项数列an满足 a2 n1an1an 2a2 n0,an的前 n 项和为 Sn,则S 5 a3( ) A.31 4 B31 2 C15 4 D15 2 答案答案 解析解析 解析 设等比数列an的公比为 q,则 a1a2a3a1(1qq2)1, a2a3a4a1qa1q2a1q3a1q(1qq2)q2, 因此, a6a7a8a1q5 a1q6a1q7a1q5(1qq2)q532.故选 D. 答案答案 解析解析 6(2020 全国卷)设an是等比数列,且 a1a2a31,a2a3a4 2,则 a6a7a8( ) A12 B24 C30 D32 7(多选)(2020 山东威海三模)我国天文学和数学
5、著作周髀算经中 记载:一年有二十四个节气,每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定 时刻的仪器,晷长即为所测量影子的长度)二十四节气及晷长变化如图所 示,相邻两个节气晷长减少或增加的量相同,周而复始已知每年冬至的 晷长为一丈三尺五寸,夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺,一尺等于十 寸),则下列说法正确的是( ) A相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺 B春分和秋分两个节气的晷长相同 C立冬的晷长为一丈五寸 D立春的晷长比立秋的晷长短 答案答案 解析 由题意可知,夏至到冬至的晷长构成等差数列an,其中 a115 寸,a13135 寸,公差为 d 寸,则 1351512d,解得 d10(寸),同理
6、可 知,冬至到夏至的晷长构成等差数列bn,首项 b1135,末项 b1315,公 差 d10(单位都为寸),故 A 正确;春分的晷长为 b7,b7b16d 1356075,秋分的晷长为 a7,a7a16d156075,所以 B 正 确;立冬的晷长为 a10,a10a19d1590105,即立冬的晷长为一 丈五寸,C 正确;立春的晷长、立秋的晷长分别为 b4,a4,a4a13d 153045, b4b13d13530105, b4a4, 故 D 错误 故选 ABC. 解析解析 8(多选)(2020 山东潍坊高密二模)设正项等差数列an满足(a1a10)2 2a2a920,则( ) Aa2a9的最
7、大值为 10 Ba2a9的最大值为 2 10 C. 1 a2 2 1 a2 9的最大值为 1 5 Da 4 2a 4 9的最小值为 200 答案答案 解析 因为正项等差数列an满足(a1a10)22a2a920,所以(a2 a9)22a2a920,即 a2 2a 2 920.所以 a2a9 a2 2a 2 9 2 20 2 10,当且仅当 a2 a9 10时等号成立,故 A 正确;因为 a2a9 2 2a 2 2a 2 9 2 10,所以a 2a9 2 10,a2a92 10,当且仅当 a2a9 10时等号成立,故 B 正确; 解析解析 因为 1 a2 2 1 a2 9 a2 2a 2 9 a
8、2 2 a 2 9 20 a2 2 a 2 9 20 a2 2a 2 9 2 2 20 102 1 5,当且仅当 a2a9 10时等 号成立,所以 1 a2 2 1 a2 9的最小值为 1 5,故 C 错误;D 项结合 A 项的结论,有 a 4 2 a4 9(a 2 2a 2 9) 22a2 2 a 2 94002a 2 2 a 2 9400210 2200,当且仅当 a 2a9 10时等号成立,故 D 正确故选 ABD. 解析解析 答案 n 二、填空题 9(2020 四川成都石室中学一诊)若等差数列an满足:a11,a2a3 5,则 an_. 解析 设等差数列an的公差为 d,a11,a2a
9、35,即 2a13d 5, d1,ann. 答案答案 解析解析 答案 3 10(2020 江苏南京金陵中学、南通海安高级中学、南京外国语学校第 四次模拟)设正项等比数列an的前 n 项和为 Sn, 且S 20S10 S30S20 1 310, 则数列an 的公比为_ 解析 设正项等比数列an的公比为 q.因为 S20S10a11a12 a20,S30S20a21a22a30q10(a11a12a20),故S 20S10 S30S20 1 q10, 即 1 q10 1 310,因为等比数列an为正项数列,故 q0,所以 q3. 答案答案 解析解析 答案 3n22n 11 (2020 新高考卷)将
10、数列2n1与3n2的公共项从小到大排列 得到数列an,则an的前 n 项和为_ 解析 因为数列2n1是以 1 为首项,以 2 为公差的等差数列,数列 3n2是以 1 为首项,以 3 为公差的等差数列,所以这两个数列的公共项 所构成的新数列an是以 1 为首项,以 6 为公差的等差数列,所以an的前 n 项和为 n 1nn1 2 63n22n. 答案答案 解析解析 答案 1010 12 (2020 海南中学高三第六次月考)已知等差数列an的首项及公差均 为正数,令 bn an a2020n(nN*,n0,a2 nan2Sn中任选一个,补充到下面问题中,并给出解 答 已知数列an的前 n 项和为
11、Sn,a11,_.若 a1,ak,Sk2成等 比数列,求 k 的值 解解 所以 an n 为常数列 an n a1 1 1, 所以 ann 或由a n1 an n1 n ,利用累乘相消法,求得an n . 所以 akk,Sk2k21k2 2 k2k3 2 ,又 a1,ak,Sk2成等 比数列,所以(k2)(k3)2k2,所以 k25k60, 解得 k6 或 k1(舍去),所以 k6. 若选择, 由 SnSn1an(n2)变形,得 SnSn1SnSn1, 解解 所以 SnSn1( SnSn1)( Sn Sn1), 易知 Sn0,所以 SnSn11, 所以 Sn是公差为 1 的等差数列, 又 S1
12、 a11,所以 Snn,Snn2, 所以 anSnSn12n1(n2), 又 n1 时,a11 也满足上式,所以 an2n1. 因为 a1,ak,Sk2成等比数列,所以(k2)2(2k1)2, 解得 k3 或 k1 3,又 kN *,所以 k3. 若选择, 解解 因为 a2 nan2Sn(nN *),所以 a2 n1an12Sn1(n2),两式相减, 得 a2 na 2 n1anan12Sn2Sn12an(n2), 整理,得(anan1)(anan1)anan1(n2), 因为 an0,所以 anan11(n2), 所以an是首项为 1,公差为 1 的等差数列, 所以 an1(n1)1n, S
13、k2k21k2 2 k2k3 2 , 又 a1,ak,Sk2成等比数列,所以(k2)(k3)2k2, 所以 k6 或 k1,又 kN*,所以 k6. 解解 2 B卷 PART TWO 解析 由 a5a1a1q4a115, a4a2a1q3a1q6, 解得 a11, q2 或 a116, q1 2 (舍去)故 a3a1q24.故选 B. 一、选择题 1(2020 山东省实验中学高三 4 月高考预测)在正项等比数列an中, a5a115,a4a26,则 a3( ) A2 B4 C1 2 D8 答案答案 解析解析 2(2020 吉林长春质量监测二)在等差数列an中,若 3a52a7,则此 数列中一定
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