2021年高三数学考点复习:直线与圆锥曲线综合问题
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1、考点十六 直线与圆锥曲线综合问题 1 A卷 PART ONE 解析 由题意, 得焦点 F(c,0)到渐近线 bxay0 的距离为 d |bc0| a2b2 bc c b 2,又 c a 3,c 2a2b2,解得 c 3,所以该双曲线的焦距为 2c2 3,故选 B. 一、选择题 1已知双曲线 x2 a2 y2 b21(a0,b0)的离心率为 3,右焦点到一条渐近 线的距离为 2,则此双曲线的焦距等于( ) A. 3 B2 3 C3 D6 答案答案 解析解析 2已知圆 O:x2y24,从圆上任意一点 P 向 y 轴作垂线段 PP1(P1 在 y 轴上),点 M 在直线 PP1上,且向量P1M 2P
2、1P ,则动点 M 的轨迹方程 是( ) A4x216y21 B16x24y21 C.x 2 4 y2 161 D x2 16 y2 4 1 答案答案 解析 由题意可知 P 是 MP1的中点,设点 M(x,y),P(x0,y0),P1(0, y0),则 x01 2x, y0y. 又 x2 0y 2 04,故 x 2 2y24,即x 2 16 y2 4 1.故选 D. 解析解析 3(2020 天津高考)设双曲线 C 的方程为 x2 a2 y2 b21(a0,b0),过抛 物线 y24x 的焦点和点(0,b)的直线为 l.若 C 的一条渐近线与 l 平行,另一 条渐近线与 l 垂直,则双曲线 C
3、的方程为( ) A.x 2 4 y 2 4 1 Bx2y 2 4 1 C.x 2 4 y21 Dx2y21 答案答案 解析 由题意可知,抛物线的焦点为(1,0),所以直线 l 的斜率为b, 又双曲线的渐近线的方程为 y b ax,所以b b a,b b a1.因为 a 0,b0,所以 a1,b1.故选 D. 解析解析 4(2020 山东潍坊高密二模)已知椭圆 E: x2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交椭圆于 A,B 两点若 AB 的中点坐标为(1,1), 则椭圆 E 的方程为( ) A. x2 45 y2 361 B x2 45 y2 271 C. x
4、2 27 y2 181 D x2 18 y2 9 1 答案答案 解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x2 1 a2 y2 1 b21, x2 2 a2 y2 2 b21, 两式相减并化简得 b2 a2 y1y2 x1x2 y1y2 x1x2,即 b2 a2 1 1 01 31 1 2 b2 a2 1 2a 22b2,由于 a2 b2c2且 c3,由此可解得 a218,b29,故椭圆 E 的方程为 x2 18 y2 9 1.故选 D. 解析解析 5(2020 山东临沂二模、枣庄三调)已知 F 是抛物线 y22px(p0)的焦 点,过 F 的直线与抛物线交于 A,B 两点,AB 的中
5、点为 C,过 C 作抛物线 准线的垂线交准线于 C1,若 CC1的中点为 M(1,4),则 p( ) A4 B8 C4 2 D8 2 答案答案 解析 因为 CC1的中点为 M(1,4),所以 yAyB8, xCp 212, 所以 xC2 p 2, 因为 xAxBp2 xCp 2 , 所以 xAxB4p,设直线 AB 的方程为 xmyp 2,代 入抛物线的方程,得 y22pmyp20,所以 yAyB 2pm, xAxBm(yAyB)p8mp, 所以 82pm, 8mp4p, 解得 p8, m1 2, 故选 B. 解析解析 6 已知椭圆 C: x2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点为 F,短轴
6、的一个端点为 P, 直线 l:4x3y0 与椭圆 C 相交于 A,B 两点若|AF|BF|6,点 P 到直 线 l 的距离不小于6 5,则椭圆 C 的离心率的取值范围是( ) A. 0,5 9 B 0, 3 2 C. 0, 5 3 D 1 3, 3 2 答案答案 解析 如图所示,设 F为椭圆的左焦点,连接 AF,BF,则四边 形 AFBF 是平行四边形, 可得 6|AF|BF|AF|AF|2a, 得 a3, 取 P(0, b), 由点 P 到直线 l 的距离不小于6 5, 可得 |3b| 3242 6 5, 解得|b|2. 所以 e c a 1b 2 a2 14 9 5 3 ,故选 C. 解析
7、解析 7(多选)(2020 山东泰安二轮复习质量检测)已知双曲线 x2 a2 y2 b21(a0, b0)的一条渐近线方程为 x2y0,双曲线的左焦点在直线 xy 50 上,A,B 分别是双曲线的左、右顶点,点 P 为双曲线右支上位于第一象限 的动点,PA,PB 的斜率分别为 k1,k2,则 k1k2的取值可能为( ) A.3 4 B1 C4 3 D2 答案答案 解析 根据题意知b a 1 2,c 5,故 a2,b1,双曲线方程为 x2 4 y2 1,则 A(2,0),B(2,0),设 P(x0,y0),则x 2 0 4 y2 01,x00,y00,k1k2 y0 x02 y0 x02 2x0
8、y0 x2 04 x0 2y0,根据渐近线方程知 0 y0 x01. 故选 CD. 解析解析 8(多选)(2020 海南中学高三第七次月考)已知抛物线 C:y24x 的焦 点为 F、准线为 l,过点 F 的直线与抛物线交于两点 P(x1,y1),Q(x2,y2), 点 P 在 l 上的射影为 P1,则( ) A若 x1x26,则|PQ|8 B以 PQ 为直径的圆与准线 l 相切 C设 M(0,1),则|PM|PP1| 2 D过点 M(0,1)与抛物线 C 有且仅有一个公共点的直线至多有 2 条 答案答案 解析 对于 A,因为 p2,所以 x1x22|PQ|,则|PQ|8,故 A 正 确;对于
9、B,设 N 为 PQ 的中点,点 N 在 l 上的射影为 N1,点 Q 在 l 上的 射影为 Q1,则由梯形性质可得|NN1|PP 1|QQ1| 2 |PF|QF| 2 |PQ| 2 ,故 B 正确;对于 C,因为 F(1,0),所以|PM|PP1|PM|PF|MF| 2,故 C 正确;对于 D,显然直线 x0,y1 与抛物线只有一个公共点,设过 M 的 直线为 ykx1,联立 ykx1, y24x, 可得 k2x2(2k4)x10,令 0, 则 k1,所以直线 yx1 与抛物线也只有一个公共点,此时有三条直线 符合题意,故 D 错误故选 ABC. 解析解析 答案 1 2 二、填空题 9 (2
10、020 湖南湘潭高三下学期三模)若直线 2x4ym0 经过抛物线 y 2x2的焦点,则 m_. 解析 抛物线方程 y2x2可化为 x2 1 2y,故该抛物线的焦点坐标为 0,1 8 .由题意可得 2041 8m0,故 m 1 2. 答案答案 解析解析 解析 由题意可知 F(c,0),把 y2b 代入双曲线方程可得 x 5a,不 妨设 B( 5a,2b),C( 5a,2b),因为BFC90 ,所以 kBF kCF1,即 2b 5ac 2b 5ac1,化简,得 4b 25a2c2,因为 b2c2a2,所以c 2 a2 9 5,所以离心率 e c a 3 5 3 5 5 . 答案 3 5 5 10(
11、2020 辽宁沈阳三模)在平面直角坐标系 xOy 中,F 是双曲线 x2 a2 y2 b2 1(a0,b0)的右焦点,直线 y2b 与双曲线交于 B,C 两点,且BFC 90 ,则该双曲线的离心率为_ 答案答案 解析解析 11(2020 山东枣庄二调)已知椭圆 C: x2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点 分别为 F1, F2, 直线 3xy4 30 过点 F1且与 C 在第二象限的交点为 P, 若POF160 (O 为原点),则 F2的坐标为_,C 的离心率为 _ (4,0) 31 解析 直线 3xy4 30 与 x 轴交点为(4,0), 即 F1(4,0), c4, F2(4,0)
12、,又直线 3xy4 30 的斜率为 3,倾斜角为 60 ,而POF1 60 ,POF1是等边三角形,P(2,2 3), 4 a2 12 b2 1, a2b2c216, 解得 a22 3, b28 3, 离心率为 e c a 4 2 31 31. 解析解析 答案 2 12(2020 湖南师大附中摸底考试)点 M 是抛物线 C:x22py(p0)的对 称轴与准线的交点, 点 F 为抛物线 C 的焦点, 点 P 在抛物线 C 上 在FPM 中,sinPFMsinPMF,则 的最大值为_ 答案答案 解析 如图,过点 P 作准线的垂线,垂足为 B,则由 抛物线的定义可得|PF|PB|,由 sinPFMs
13、inPMF, 在PFM 中由正弦定理可知|PM|PF|,所以|PM| |PB|,所以1 |PB| |PM|,设 PM 的倾斜角为 ,则 sin 1 , 当 取得最大值时,sin 最小,此时直线 PM 与抛物线相切,设直线 PM 的 方程为 ykxp 2,则 x22py, ykx p 2, 即 x22pkxp20,所以 4p2k24p2 0,所以 k 1,即 tan 1,则 sin 2 2 ,则 的最大值为 1 sin 2. 解析解析 三、解答题 13(2020 全国卷)已知 A,B 分别为椭圆 E: x2 a2y 21(a1)的左、右 顶点,G 为 E 的上顶点,AG GB 8,P 为直线 x
14、6 上的动点,PA 与 E 的 另一交点为 C,PB 与 E 的另一交点为 D. (1)求 E 的方程; (2)证明:直线 CD 过定点 解 (1)依据题意作出如下图象: 由椭圆方程 E: x2 a2y 21(a1)可得 A(a,0),B(a,0),G(0,1), AG (a,1),GB (a,1)AG GB a218,a29. 椭圆 E 的方程为x 2 9 y21. 解析解析 (2)证明:由(1),得 A(3,0),B(3,0),设 P(6,y0), 则直线 AP 的方程为 y y00 63(x3),即 y y0 9 (x3), 直线 BP 的方程为 yy 00 63 (x3),即 yy0
15、3 (x3) 联立直线 AP 的方程与椭圆的方程可得 x2 9 y21, yy0 9 x3, 整理,得(y2 09)x 26y2 0 x9y 2 0810, 解得 x3 或 x3y 2 027 y2 09 . 解析解析 将 x3y 2 027 y2 09 代入 yy0 9 (x3)可得 y 6y0 y2 09, 点 C 的坐标为 3y2 027 y2 09 , 6y0 y2 09 . 同理可得,点 D 的坐标为 3y2 03 y2 01 ,2y 0 y2 01 . 直线 CD 的方程为 y 2y0 y2 01 6y0 y2 09 2y0 y2 01 3y2 027 y2 09 3y 2 03
16、y2 01 x3y 2 03 y2 01 , 解析解析 整理可得 y 2y0 y2 01 4y0 33y2 0 x3y 2 03 y2 01 , y 4y0 33y2 0 x3y 2 03 y2 01 2y0 y2 01 4y0 33y2 0 x3 2 . 故直线 CD 过定点 3 2,0 . 解析解析 14(2020 山东莱西一中、高密一中、枣庄三中模拟)已知动圆与 y 轴相 切于点 M(0,2),过点 E(0,1),F(0,1)分别作动圆异于 y 轴的两切线,设 两切线相交于 Q,点 Q 的轨迹为曲线 . (1)求曲线 的轨迹方程; (2)过(2,0)的直线 l 与曲线 相交于不同两点 A
17、,B,若曲线 上存在点 P,使得 OP OA OB 成立,求实数 的范围 解 (1)设过点 E,F 与动圆相切的切点分别为 C,D, 则|QC|QD|,|FD|FM|,|EC|EM|, 故|QE|QF|QE|QD|DF|QE|QC|FM|CE|FM| |EM|FM|, 由 E,F,M 的坐标可知|EM|3,|FM|1, |QE|QF|4|EF|, 由椭圆的定义可知,点 Q 是以 E,F 为焦点,长轴长为 4 的椭圆(不包 括长轴端点) 设曲线 的方程为 y2 a2 x2 b21(ab0,x0), 解析解析 则 a2,c1,b23, 故曲线 的轨迹方程为y 2 4 x 2 3 1(x0) (2)
18、由题可知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 yk(x2)(k 1), 由 y2 4 x 2 3 1, ykx2, 消去 y 得(3k24)x212k2x12(k21)0, 144k448(3k24)(k21)0, 0k24 且 k21, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0), 解析解析 则 x1x2 12k2 3k24,x1x2 12k21 3k24 , y1y2k(x1x24)k 12k2 3k244 16k 3k24, OP OA OB ,(x0,y0)(x1x2,y1y2), x0 x1x2 12k2 3k24,y0 16k 3k24. 当 0 时,k0,直线
19、 l 为 x 轴,满足 OP OA OB . 当 0,k0 时,x01 (x1x2) 1 12k2 3k24,y0 1 (y1y2) 1 16k 3k24, 解析解析 代入椭圆方程得 16k2 423k242 12k22 323k2421, 化简得 2 16k2 3k24 16 3 4 k2 , 0k24,且 k21,020,b0)的一个焦点为 F(c,0)(c0),且双曲线 C1的两条渐近线与圆 C2:(xc)2y2c 2 4 均相切,则 双曲线 C1的渐近线方程为( ) Ax 3y0 B 3x y0 C. 5x y0 Dx 5y0 答案答案 解析 根据题意知, 焦点 F(c,0)到渐近线
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