2021年高三数学考点复习：直线与圆﹑椭圆﹑双曲线﹑抛物线

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1、考点十五 直线与圆椭圆双曲 线抛物线 1 A卷 PART ONE 解析 当 m1 时，两直线分别为 x20 和 x2y40，此时 两直线相交，不符合题意当 m1 时，两直线的斜率都存在，由两直 线平行可得 1 1m m 2 ， 2 1m2， 解得 m1，故选 A. 一、选择题 1若直线 x(1m)y20 与直线 mx2y40 平行，则 m 的值是 ( ) A1 B2 C1 或2 D3 2 答案答案 解析解析 2 (2020 广州综合测试)若直线 kxy10 与圆 x2y22x4y10 有公共点，则实数 k 的取值范围是( ) A3，) B(，3 C(0，) D(，) 解析 圆 x2y22x4y

2、10 的圆心为(1,2)，半径为 2，由题意可 知圆心到直线 kxy10 的距离 d|k21| k21 2， 化简， 得 3 k1 3 28 3 0，故 k(，)故选 D. 答案答案 解析解析 3 (2020 山东菏泽高三联考)已知双曲线x 2 5 y 2 a 1 的一条渐近线上存在 一点到 x 轴的距离与到原点 O 的距离之比为2 3，则实数 a 的值为( ) A2 B4 C6 D8 解析 由题意，得该双曲线的一条渐近线的斜率为 2 3222 2 5，则 a 5 2 5，解得 a4.故选 B. 答案答案 解析解析 4(2020 山东泰安四模)已知抛物线 E：y22px(p0)的焦点为 F，O

3、 为坐标原点，OF 为菱形 OBFC 的一条对角线，另一条对角线 BC 的长为 2， 且点 B，C 在抛物线 E 上，则 p( ) A1 B 2 C2 D2 2 解析 由题意，得 p 4，1 在抛物线上，代入抛物线的方程可得 1 p2 2 ， p0，p 2，故选 B. 答案答案 解析解析 5(2020 衡中高三质量检测一)已知椭圆 C1： x2 m2y 21(m1)与双曲线 C2：x 2 n2y 21(n0)的焦点重合，e 1，e2分别为 C1，C2的离心率，则( ) Amn 且 e1e21 Bmn 且 e1e21 Cm1 Dmn 且 e1e20，m1，n0，mn.e1 m21 m 1 1 m

4、2，e2 n21 n 1 1 n2 ，e1e2 1 1 m2 1 1 n2 1 1 n2 1 m2 1 m2n2 1m 2n21 m2n2 1 1 m2n21，故选 A. 解析解析 6(2020 北京高考)设抛物线的顶点为 O，焦点为 F，准线为 l.P 是抛物 线上异于 O 的一点，过 P 作 PQl 于 Q，则线段 FQ 的垂直平分线( ) A经过点 O B经过点 P C平行于直线 OP D垂直于直线 OP 答案答案 解析 如图所示，因为线段 FQ 的垂直平分线上的点到 F，Q 的距离相 等，又点 P 在抛物线上，根据抛物线的定义可知|PQ|PF|，所以线段 FQ 的垂直平分线经过点 P.

5、故选 B. 解析解析 7(多选)(2020 新高考卷)已知曲线 C：mx2ny21，( ) A若 mn0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上 B若 mn0，则 C 是圆，其半径为 n C若 mn0，则 C 是两条直线 答案答案 解析 对于A， 若mn0， 则mx2ny21 可化为x 2 1 m y 2 1 n 1， 因为mn0， 所以 1 m0，则 mx2ny21 可化为 x2y21 n，此时曲线 C 表示圆心在原点，半 径为 n n 的圆，故 B 不正确；对于 C，若 mn0，则 mx2ny21 可化为 y21 n，y n n ，此时 曲线 C 表示平行于 x 轴的两条直线，故 D 正确故选

6、 ACD. 解析解析 8(多选)(2020 山东潍坊 6 月模拟)已知椭圆 C： x2 a y 2 b 1(ab0)的左、 右焦点分别为 F1， F2， 且|F1F2|2， 点 P(1,1)在椭圆的内部， 点 Q 在椭圆上， 则以下说法正确的是( ) A|QF1|QP|的最小值为 2 a1 B椭圆 C 的短轴长可能为 2 C椭圆 C 的离心率的取值范围为 0， 51 2 D若PF1 F1Q ，则椭圆 C 的长轴长为 5 17 答案答案 解析 因为|F1F2|2，所以 F2(1,0)，|PF2|1，所以|QF1|QP|2 a |QF2|QP|2 a|PF2|2 a1，当 Q，F2，P 三点共线时

7、，取等号，故 A 正确；若椭圆 C 的短轴长为 2，则 b1，a2，所以椭圆 C 的方程为x 2 2 y2 1 1，又1 2 1 11，则点 P 在椭圆外，故 B 错误；因为点 P(1，1)在椭圆内 部，所以1 a 1 b1，又 ab1，所以 ba1，所以 1 a 1 a10，解得 a3 5 2 62 5 4 1 5 2 4 ，所以 a1 5 2 ，所以 e 1 a 1)，即 a 211a90(a1)，解得 a11 85 2 222 85 4 5 17 2 4 ，所以 a 5 17 2 ，所以椭圆 C 的长轴长为 5 17，故 D 正确故选 ACD. 解析解析 答案 x1 2 2y21 二、填

8、空题 9 (2020 山东省实验中学高三 6 月模拟)以抛物线 y22x 的焦点为圆心， 且与抛物线的准线相切的圆的方程为_ 解析 抛物线 y22x 的焦点为 1 2，0 ， 准线方程为 x 1 2， 焦点到准线 的距离为 1，所以圆的圆心为 1 2，0 ，半径为 1，故圆的标准方程为 x1 2 2 y21. 答案答案 解析解析 10(2020 北京高考)已知双曲线 C：x 2 6 y 2 3 1，则 C 的右焦点的坐标 为_；C 的焦点到其渐近线的距离是_ 解析 在双曲线 C 中，a 6，b 3，则 ca2b23，则双曲线 C 的右焦点的坐标为(3,0)双曲线 C 的渐近线方程为 y 2 2

9、 x，即 x 2y 0，所以双曲线 C 的焦点到其渐近线的距离为 3 12 3. 解析解析 (3,0) 3 答案 3 3 11(2020 河南开封高三 3 月模拟)已知 F1，F2是椭圆 E： x2 a2 y2 3 1 的 左、 右焦点， 点 M 在 E 上， 且F1MF22 3 ， 则F1MF2的面积为_ 答案答案 解析 由题意，设|MF1|m，|MF2|n，则 mn2a， 由余弦定理可得， 4c2m2n22mncos2 3 (mn)2mn4a2mn， 又 c2a23，mn12， F1MF2的面积 S1 2mnsin 2 3 3 3. 解析解析 12.(2020 株洲第二中学 4 月模拟)如

10、图，点 F 是抛物线 C：x24y 的焦 点，点 A， B 分别在抛物线 C 和圆 x2(y1)24 的实线部分上运动，且 AB 总是平行于 y 轴，则AFB 周长的取值范围是_ 答案 (4,6) 答案答案 解析 抛物线 C：x24y 的焦点为 F(0,1)，准线方程为 y1，圆 x2(y1)24 的圆心 F(0,1)，半径 R2，|FB|2，|AF|yA1，|AB| yByA，AFB 的周长为|FB|AF|AB|2yA1yByA3yB， 1yBb0)的右焦点 F 与抛物 线 C2的焦点重合，C1的中心与 C2的顶点重合过 F 且与 x 轴垂直的直线 交 C1于 A，B 两点，交 C2于 C，

11、D 两点，且|CD|4 3|AB|. (1)求 C1的离心率； (2)若 C1的四个顶点到 C2的准线距离之和为 12，求 C1与 C2的标准方 程 解 (1)因为椭圆 C1的右焦点为 F(c,0)， 所以抛物线 C2的方程为 y24cx，其中 c a2b2. 不妨设 A，C 在第一象限， 因为椭圆 C1的方程为 x2 a2 y2 b21， 所以当 xc 时，有 c2 a2 y2 b21y b2 a ， 因此 A，B 的纵坐标分别为b 2 a ，b 2 a . 又因为抛物线 C2的方程为 y24cx， 所以当 xc 时，有 y24c cy 2c， 解解 所以 C，D 的纵坐标分别为 2c，2c

12、， 故|AB|2b 2 a ，|CD|4c. 由|CD|4 3|AB|，得 4c 8b2 3a ， 即 3 c a22 c a 2， 解得 c a2(舍去)， c a 1 2. 所以 C1的离心率为1 2. 解解 (2)由(1)知 a2c，b 3c，故椭圆 C1： x2 4c2 y2 3c21， 所以 C1的四个顶点坐标分别为(2c,0)，(2c,0)，(0， 3c)，(0， 3c)， C2的准线方程为 xc. 由已知，得 3cccc12，解得 c2.所以 a4，b2 3， 所以 C1的标准方程为 x2 16 y2 121，C2 的标准方程为 y28x. 解解 2 B卷 PART TWO 一、

13、选择题 1(2020 山东济南二模)已知抛物线 x24y 的焦点为 F，点 P 在抛物线 上且横坐标为 4，则|PF|( ) A2 B3 C5 D6 解析 将 x4 代入抛物线方程得 P(4,4)， 根据抛物线定义得|PF|4p 2 415.故选 C. 答案答案 解析解析 2(2020 湖北荆州高三阶段训练)某人造地球卫星的运行轨道是以地心 为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为 e，设地球半径为 R，该卫星近地点 离地面的距离为 r，则该卫星远地点离地面的距离为( ) A.1e 1er 2e 1eR B 1e 1er e 1eR C.1e 1er 2e 1eR D 1e 1er e 1eR 答案

14、答案 解析 椭圆的离心率 e c a(0,1)(c 为半焦距，a 为长半轴长)， 设该卫 星远地点离地面的距离为 n，如图： 则 nacR，racR，所以 arR 1e，c rRe 1e ，所以 na cRrR 1e erR 1e R1e 1er 2e 1eR.故选 A. 解析解析 3(2020 北京高考)已知半径为 1 的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的 距离的最小值为( ) A4 B5 C6 D7 答案答案 解析 设圆心为 C(x，y)，则x32y421，化简得(x3)2(y 4)21，所以圆心 C 的轨迹是以 M(3，4)为圆心，1 为半径的圆，如图所 以|OC|1|OM|32425

15、，所以|OC|514，当且仅当 C 在线段 OM 上时取得等号，故选 A. 解析解析 4 (2020 山东潍坊高密二模)已知双曲线 x2 a2 y2 2 1 的一条渐近线的倾斜 角为 6，则双曲线的离心率为( ) A.2 3 3 B2 6 3 C 3 D2 答案答案 解析 双曲线 x2 a2 y2 2 1 的一条渐近线的倾斜角为 6，tan 6 3 3 ，所以该 条渐近线方程为 y 3 3 x，所以 2 a 3 3 ，解得 a 6，所以 ca2b2 622 2，所以双曲线的离心率为 e c a 2 2 6 2 3 3 .故选 A. 解析解析 5(2020 山西太原五中 3 月模拟)若过椭圆x

16、2 9 y 2 4 1 内一点 P(2,1)的弦 被该点平分，则该弦所在的直线方程为( ) A8x9y250 B3x4y50 C4x3y150 D4x3y90 答案答案 解析 设弦的两端点分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，P 为 AB 的中 点，因为 A，B 在椭圆上，所以x 2 1 9 y 2 1 4 1， x2 2 9 y 2 2 4 1，两式相减，得x 2 1x 2 2 9 y2 1y 2 2 4 0，因为 x1x24，y1y22，可得y 1y2 x1x2 8 9，则所求直线的斜 率 k8 9，因为该直线过点 P(2,1)，所以所求直线的方程为 y1 8 9(x 2)

17、，整理，得 8x9y250.故选 A. 解析解析 6(2020 山东淄博二模)当 3， 5 6 时，方程 x2cosy2sin1 表示 的轨迹不可能是( ) A两条直线 B圆 C椭圆 D双曲线 答案答案 解析 当 3， 2 时，0cossin1，方程 x2cosy2sin1 表示的 曲线为椭圆；当 2时，方程为 y 21，即 y 1，方程 x2cosy2sin1 表示两条直线；当 2， 5 6 时，cos00)上三点 A(x1， y1)， B(1,2)，C(x2，y2)，F 为抛物线的焦点，则( ) A抛物线的准线方程为 x1 B.FA FB FC 0，则|FA |，|FB |，|FC |成等

18、差数列 C若 A，F，C 三点共线，则 y1y21 D若|AC|6，则 AC 的中点到 y 轴距离的最小值为 2 答案答案 解析 把点 B(1,2)代入抛物线 y22px，得 p2，所以抛物线的准线方 程为 x1，故 A 正确；因为 A(x1，y1)，B(1,2)，C(x2，y2)，F(1,0)，所以FA (x11，y1)，FB (0,2)，FC (x21，y2)，又由FA FB FC 0，得 x1 x22，所以|FA |FC |x11x2142|FB |，即|FA |，|FB |，|FC |成等 差数列， 故 B 正确； 因为 A， F， C 三点共线， 所以直线斜率 kAFkCF， 即 y

19、1 x11 y2 x21，所以 y1 1 4y 2 11 y2 1 4y 2 21 ，化简得 y1y24，故 C 不正确；设 AC 的 中点为 M(x0， y0)， 因为|AF|CF|AC|， |AF|CF|x11x212x02， 所以 2x026，得 x02，即 AC 的中点到 y 轴距离的最小值为 2，故 D 正 确故选 ABD. 解析解析 答案 x2 4 y 2 3 1 二、填空题 9(2020 深圳调研二)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 3 1 的右焦点为 F，O 为坐标 原点，C 上有且只有一个点 P 满足|OF|FP|，则 C 的方程为_ 解析 根据对称性知 P 在 x 轴上，因

20、为|OF|FP|，故 a2c，又 a23 c2，所以 a2，c1，故椭圆 C 的方程为x 2 4 y 2 3 1. 答案答案 解析解析 答案 3 3 2 3 3 10(2020 浙江高考)设直线 l：ykxb(k0)，圆 C1：x2y21，C2： (x4)2y21，若直线 l 与 C1，C2都相切，则 k_，b_. 解析 由题意，两圆圆心 C1(0,0)，C2(4,0)到直线 l 的距离等于半径，即 |b| k21 1， |4kb| k21 1，所以|b|4kb|，所以 k0(舍去)或 b2k，解 得 k 3 3 ，b2 3 3 . 答案答案 解析解析 答案 1 2 11.如图，正方形 ABC

21、D 和正方形 DEFG 的边长分别为 a，b(a0)经过 C，F 两点，则b a_. 答案答案 解析 由题意可知 D 是抛物线 y22ax(a0)的焦点，且 D a 2，0 ，又正 方形 DEFG 的边长为 b，所以 F a 2b，b ，因为 F 在抛物线上，所以 b 2 2a a 2b ， 即 b 22aba20， 所以 b a 22b a 10， 解得b a1 2或 1 2， 因为 0ab0)的左顶点和下 顶点分别为 A，B，|AB|2 5，过椭圆焦点且与长轴垂直的弦的长为 2. (1)求椭圆 C 的方程； (2)已知 M 为椭圆 C 上一动点(M 不与 A，B 重合)，直线 AM 与 y

22、 轴交 于点 P，直线 BM 与 x 轴交于点 Q，证明：|AQ| |BP|为定值 (2)证明：A(4,0)，B(0，2)，设 M(x0，y0)，P(0，yP)，Q(xQ,0)， 因为 M(x0，y0)在椭圆 C 上，所以 x2 04y 2 016， 由 A，P，M 三点共线，得yP 4 y0 x04，即 yP 4y0 x04， 同理可得 xQ 2x0 y02. 所以|AQ| |BP|xQ4| |yP2| |2x 04y08 x04 2x04y08 y02 | |4x 2 04y 2 0164x0y08x016y0 x04y02 |16. 所以|AQ| |BP|为定值 16. 解解 解 解法一

23、：(1)设坐标原点为 O， 因为 PABM，所以APBPBM， 解解 14(2020 福建高三毕业班质量检测)已知定点 F(0,1)，P 为 x 轴上方的 动点，线段 PF 的中点为 M，点 P，M 在 x 轴上的射影分别为 A，B，PB 是 APF 的平分线，动点 P 的轨迹为 E. (1)求 E 的方程； (2)设 E 上点 Q 满足 PQPB， Q 在 x 轴上的射影为 C， 求|AC|的最小值 因为 PB 是APF 的平分线， 所以APBMPB， 所以MPBPBM， 所以|BM|PM|， 因为 M 为线段 PF 的中点，|BM|PA|OF| 2 ， 所以 2|BM|PA|1， 因为|P

24、F|2|PM|2|BM|，所以|PF|PA|1， 因为 P 为 x 轴上方的动点， 所以点 P 到点 F 的距离等于点 P 到直线 y1 的距离， 所以动点 P 的轨迹 E 是顶点在原点， 解解 焦点为 F(0,1)的抛物线(原点除外)， 设 E 的方程为 x22py(p0，x0)，则p 21， 所以 p2， 所以 E 的方程为 x24y(x0) (2)设点 P x1，x 2 1 4 ，Q x2，x 2 2 4 ， 所以点 B x1 2 ，0 ，PB x1 2 ，x 2 1 4 ，PQ x2x1，x 2 2x 2 1 4 ， 解解 所以PQ PB x1 2 (x2x1)x 2 1x 2 2x

25、2 1 16 x1 16 (x2x1)8x1(x2x1)0， 因为 x2x1，且 x10，所以 8x1(x2x1)0， 所以 x2 8 x1x1， 所以|AC|x1x2|2x1 8 x1|2x1| 8 x1| 2|2x1| | 8 x1|8， 当且仅当 x1 2 时，等号成立， 所以|AC|的最小值为 8. 解解 解法二：(1)设点 P(x0，y0)，y00，x00，所以点 B x0 2 ，0 ， 所以|AB|x0| 2 ， 因为 PB 是APF 的平分线，所以点 B 到直线 PF 的距离 d|AB|， 因为直线 PF 的方程为 y1y 01 x0 x， 整理，得(y01)xx0yx00， 所

26、以 d |x0 2 y01x0| y012x2 0 ，所以 |x0 2 y01x0| y012x2 0 |x0| 2 ， 整理，得 x2 04y0(x00)， 所以动点 P 的轨迹 E 的方程为 x24y(x0) 解解 (2)设点 P x1，x 2 1 4 ，Q x2，x 2 2 4 ， 所以点 B x1 2 ，0 ，所以 kPB x2 1 4 x1x1 2 x1 2 ， 因为 PQPB，所以直线 PQ 的方程为 yx 2 1 4 2 x1(xx1)， 即 y 2 x1x2 x2 1 4 ，代入 E 的方程得 x2 8 x1x8x 2 10， 所以 x1x28x2 1，即 x2 8 x1x1， 解解 所以|AC|x1x2|2x1 8 x1|2x1| 8 x1| 2 |2x1| | 8 x1|8， 当且仅当 x1 2 时，等号成立，所以|AC|的最小值为 8. 解解 本课结束