2021年高三数学考点复习:空间几何体的表面积与体积
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1、考点十三 空间几何体的表面积与体 积 1 A卷 PART ONE 解析 正方体的外接球半径等于正方体的体对角线长的一半,即外接 球半径 R 2 322 322 32 2 3,所以这个球的表面积为 S4R2 43236.故选 C. 一、选择题 1(2020 天津高考)若棱长为 2 3的正方体的顶点都在同一球面上,则 该球的表面积为( ) A12 B24 C36 D144 答案答案 解析解析 解析 因为该球与圆柱的上、下底面,母线均相切,不妨设圆柱的底 面半径为 r,故 2rO1O22,解得 r1.故该圆柱的表面积为 2r2 2rO1O2246.故选 C. 2.(2020 山东济南 6 月针对性训
2、练)如图,在圆柱 O1O2内有 一个球 O, 该球与圆柱的上、 下底面及母线均相切 若 O1O22, 则圆柱 O1O2的表面积为( ) A4 B5 C6 D 答案答案 解析解析 3(2020 山东聊城三模)最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著 的数书九章(1247 年)该书第二章为“天时类”,收录了有关降水量计 算的四个例子,分别是“天池测雨”“圆罂测雨”“峻积验雪”和“竹器 验雪” 其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水 已 知天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸当 盆中积水深九寸(注:1 尺10 寸)时,平地降雨量是( ) A9 寸 B7 寸 C8
3、 寸 D3 寸 答案答案 解析 由已知,得天池盆盆口的半径为 14 寸,盆底的半径为 6 寸,则 盆口的面积为 196 平方寸,盆底的面积为 36 平方寸又盆高 18 寸,积 水深 9 寸,则积水的水面半径为146 2 10(寸),积水的水面面积为 100 平 方寸,积水的体积为 V1 3(36 36100100)9588(立方寸), 所以平地降雨量为588立方寸 196平方寸3(寸) 解析解析 4(2020 山东德州高三 4 月模拟)已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在 球 O 的球面上,SA平面 ABC,SA2,AB1,AC2,BAC 3,则 球 O 的体积为( ) A.16 2 3 B8
4、 2 3 C4 2 D4 2 3 答案答案 解析 根据余弦定理,BC2AC2AB22AB AC cosBAC3,故 BC 3.根据正弦定理,2r BC sinBAC2,故 r1(r 为ABC 外接圆半径), 设 R 为三棱锥 SABC 外接球的半径,则 R2r2 SA 2 22,故 R 2,故 V4 3R 38 2 3 .故选 B. 解析解析 5如图,在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,EF 是棱 AB 上的一条线段,且 EFba,若 Q 是 A1D1上的定点,P 在 C1D1上滑动,则四面体 PQEF 的体 积( ) A是变量且有最大值 B是变量且有最小值 C是变量无最大、
5、最小值 D是常量 答案答案 解析 EF 是定长,Q 到 EF 的距离就是 Q 到 AB 的距离,也为定长, 即QEF 的底和高都是定值, QEF 的面积是定值, C1D1平面 QEF, P 在 C1D1上滑动,P 到平面 QEF 的距离是定值即三棱锥 PQEF 的高 也是定值, 于是体积固定 三棱锥 PQEF 的体积是定值, 即四面体 PQEF 的体积是定值 解析解析 6(2020 全国卷)已知 A,B,C 为球 O 的球面上的三个点,O1为 ABC 的外接圆,若O1的面积为 4,ABBCACOO1,则球 O 的表 面积为( ) A64 B48 C36 D32 答案答案 解析 设圆 O1的半径
6、为 r,球的半径为 R,依题意,得 r24,r 2.由正弦定理可得 AB sin60 2r,AB2rsin60 2 3.OO1AB2 3. 根据球中圆截面的性质得 OO1平面 ABC,OO1O1A,ROA OO2 1O1A 2 OO2 1r 24,球 O 的表面积 S4R264.故选 A. 解析解析 7(多选)已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点 M,N,若线段 MN 的最小值为 31,则( ) A正方体的外接球的表面积为 12 B正方体的内切球的体积为4 3 C正方体的棱长为 2 D线段 MN 的最大值为 2 3 答案答案 解析 设正方体的棱长为 a, 则正方体外接球的半径为体对角线长的
7、一 半,即 3 2 a;内切球的半径为棱长的一半,即a 2.M,N 分别为外接球和内 切球上的动点,MNmin 3 2 aa 2 31 2 a 31,解得 a2,即正方体 的棱长为 2,C 正确;正方体的外接球的表面积为 4( 3)212,A 正 确; 正方体的内切球的体积为4 3 , B 正确; 线段 MN 的最大值为 3 2 aa 2 3 1,D 错误故选 ABC. 解析解析 8 (多选)若正三棱柱 ABCABC的所有棱长都为 3, 外接球的球 心为 O,则下列四个结论正确的是( ) A其外接球的表面积为 21 B直线 AB与直线 BC 所成的角为 3 CAOBC D三棱锥 OABC 的体
8、积为9 3 8 答案答案 解析 如图,球心 O 到下底面的距离 OO3 2,AO 2 3 3 2 3 3 , 所 以 其 外 接 球 的 半 径R AO2OO2 21 2 ,所以其外接球的表面积为 4R2 21,A 正确;直线 AB与直线 BC 所成的角即直线 AB与直线 BC所 成的角,设其为 ,在ABC中,cos3 2 2323 22 23 23 2 4 ,故 B 错误;由 OO平面 ABC,得 OOBC,O为ABC 的重心,则 AO BC,故 BC平面 AOO,即 BCAO,故 AOBC,C 正确;根据 三棱锥的体积公式可得 VOABC1 3 3 2 1 23 3 3 2 9 3 8 ,
9、D 正确 解析解析 答案 1 二、填空题 9(2020 浙江高考)已知圆锥展开图的侧面积为 2,且为半圆,则底面 半径为_ 解析 设圆锥底面半径为 r,母线长为 l,则 rl2, 2r1 22l, 解得 r1,l2. 答案答案 解析解析 答案 358.5 10学生到工厂劳动实践,利用 3D 打印技术制作模型,如图,该模型 为圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分(正方体四个顶点在圆锥母线上, 四个顶点在圆锥底面上),圆锥底面直径为 10 2 cm,高为 10 cm,打印所 用原料密度为 0.9 g/cm3,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为 _ g( 取 3.14) 答案答案 解析 设被挖
10、去的正方体的棱长为 x cm,圆锥底面半径为 r cm,高为 h cm,则 2 2 x r hx h ,即 2 2 x 5 2 10 x 10 ,解得 x5,所以制作该模型所需材料 质量约为 mV0.9 1 3r 2 hx3 0.350100.9125358.5 g. 解析解析 答案 144 11 (2020 山东泰安二轮复习质量检测)已知 A, B 是球 O 的球面上两点, AOB90 , C 为该球面上的动点, 若三棱锥 OABC 体积的最大值为 36, 则球 O 的表面积为_ 解析 如图所示,当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径的端 点时,三棱锥的体积最大,设球 O 的半径为 R,此时
11、 VOABC VCAOB1 3 1 2R 2R1 6R 336,故 R6,则球 O 的表面积 为 S4R2144. 答案答案 解析解析 12.(2020 山东聊城一模)点 M,N 分别为三棱柱 ABCA1B1C1的棱 BC, BB1的中点,设A1MN 的面积为 S1,平面 A1MN 截三棱柱 ABCA1B1C1所 得截面的面积为 S, 五棱锥 A1CC1B1NM 的体积为 V1, 三棱柱 ABCA1B1C1 的体积为 V,则V1 V _,S1 S _. 7 12 3 5 解析 如图所示, 延长 NM 交直线 C1C 于点 P, 连接 PA1交 AC 于点 Q, 连接 QM.平面 A1MN 截三
12、棱柱 ABCA1B1C1所得截面为四边形 A1NMQ. BB1CC1, M 为 BC 的中点, 则PCMNBM.点 M 为 PN 的中点 解析解析 A1MN 的面积 S11 2SA1NP, QCA1C1, PC PC1 1 3 PQ PA1, A1QM 的面积2 3SA1PM, S1 S 3 5. BMN 的面积1 8S 四边形 B1C1CB, 五棱锥 A1CC1B1NM 的体积为 V17 8V 四棱锥 A1B1C1CB, 而四棱 锥 A1B1C1CB 的体积2 3V, V1 V 7 8 2 3V V 7 12. 解析解析 三、解答题 13如图所示,三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面,
13、且底面是边 长为 2 的正三角形,AA13,点 D,E,F,G 分别是所在棱的中点 (1)证明:平面 BEF平面 DA1C1; (2)求三棱柱 ABCA1B1C1夹在平面 BEF 和平面 DA1C1之间部分的体 积 解 (1)证明:E,F 分别是 A1B1和 B1C1的中点, EFA1C1, EF平面 DA1C1,A1C1平面 DA1C1, EF平面 DA1C1, D,E 分别是 AB 和 A1B1的中点,DB 綊 A1E, 四边形 BDA1E 是平行四边形,BEA1D, BE平面 DA1C1,A1D平面 DA1C1, BE平面 DA1C1, BEEFE,平面 BEF平面 DA1C1. 解解
14、(2)由题图可知,三棱柱 ABCA1B1C1夹在平面 BEF 和平面 DA1C1之间 的部分,可看作三棱台 DBGA1B1C1减掉三棱锥 BB1EF 后的剩余部分, SDBGSB1EF 3 4 12 3 4 ,SA1B1C1 3 4 22 3, 三棱台 DBGA1B1C1的体积为 V11 3 3 4 3 4 3 3 7 3 4 , 三棱锥 BB1EF 的体积 V21 3 3 4 3 3 4 , 三棱柱 ABCA1B1C1夹在平面 BEF 和平面 DA1C1之间部分的体积为 VV1V27 3 4 3 4 3 3 2 . 解解 14.如图,已知棱锥 SABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的
15、菱形, BAD60 ,SASD 5,SB 7,点 E 是棱 AD 的中点,点 F 在棱 SC 上,且 SF SC,SA平面 BEF. (1)求实数 的值; (2)求三棱锥 FEBC 的体积 解 (1)连接 AC,设 ACBEG,则平面 SAC平面 EFBFG, SA平面 EFB,SAFG, GEAGBC, AG GC AE BC 1 2, SF FC AG GC 1 2.SF 1 3SC, 1 3. 解解 (2)SASD 5,SEAD,SE2, 又 ABAD2,BAD60 ,BE 3, SE2BE2SB2.SEBE,SE平面 ABCD, VFEBC2 3VSEBC 1 3VSABCD 1 3
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