2021年高考数学大二轮专题复习:立体几何与空间向量之规范答题系列四
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1、专题五专题五 立体几何与空间向量立体几何与空间向量 第二编 讲专题 规范答题系列四规范答题系列四 立体几何类解答题 (2020 新高考卷)(12 分)如图,四棱锥 PABCD 的底面为正方 形,PD底面 ABCD.设平面 PAD 与平面 PBC 的交线为 l. (1)证明:l平面 PDC; 解题思路 (1)先证 AD平面 PBC,从而得到 ADl,再由 ADDC, ADPD, 得到 lDC, lPD, 结合线面垂直的判定定理, 得到 l平面 PDC; 解 (1)证明:在正方形 ABCD 中,ADBC, 因为 AD平面 PBC,BC 平面 PBC, 所以 AD平面 PBC,(1 分) 又因为 A
2、D 平面 PAD,平面 PAD平面 PBCl, 所以 ADl.(2 分) 因为在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是正方形,所以 ADDC,所 以 lDC, 又 PD平面 ABCD,所以 ADPD,所以 lPD.(4 分) 因为 DCPDD,所以 l平面 PDC.(5 分) (2)已知 PDAD1,Q 为 l 上的点,求 PB 与平面 QCD 所成角的正弦 值的最大值 解题思路 (2)建立空间直角坐标系,得到PB 的坐标,设 Q(m,0,1), 求出平面 QCD 的一个法向量 n,写出 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值关于 m 的表达式,结合基本不等式求解 解 (2)如图,建立空间直
3、角坐标系 Dxyz, 因为 PDAD1,则有 D(0,0,0),C(0,1,0),A(1,0,0),P(0,0, 1),B(1,1,0), 设 Q(m,0,1),则有DC (0,1,0),DQ (m,0,1),PB (1,1, 1).(6 分) 设平面 QCD 的法向量为 n(x,y,z), 则 DC n0, DQ n0, 即 y0, mxz0, 令 x1,则 zm, 所以平面 QCD 的一个法向量为 n(1,0,m),(8 分) 则 cos n,PB n PB |n|PB | 10m 3 m21. 根据直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线 与平面所成角的正弦值,所以直线
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- 教辅 高考 数学 二轮 专题 复习 立体几何 空间 向量 规范 答题 系列
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