2021年高考数学大二轮专题复习：三角函数与解三角形之三角恒等变换与解三角形

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1、专题三专题三三角函数与解三角形三角函数与解三角形第二编讲专题第第2 2讲讲三角恒等变换与解三角形三角恒等变换与解三角形考情研析三角恒等变换和利用正弦定理、余弦定理解三角形问题是高考的必考内容.1.三角恒等变换主要考查：两角和与差的正弦、余弦、正切公式；二倍角公式、半角公式的应用；辅助角公式的应用 2.解三角形问题主要考查：边和角的计算；三角形形状的判断；面积的计算；有关参数的范围问题由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视 1 核心知识回顾核心知识回顾 PART ONE 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真

2、题VS押题押题专题作业专题作业 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin ( ) ； cos ( ) ； tan ( ) 01sincoscossin 02coscossinsin 03 tan tan 1tan tan 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业 2二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2 ； cos 2 ； tan2 ； cos2 ，sin2 3辅助角公式 a sin b cos 012sincos 02cos2sin2 032cos21 0412sin2 05 2tan 1tan2 06 1cos2 2 07 1cos

3、2 2 01 a2b2sin() tan b a 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业 4正弦定理在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，则变形：a ，b ，c sin A ，sin B ，sin C abc 01 a sin A b sin B c sin C2R(2R 为ABC 外接圆的直径) 022RsinA 032RsinB 042RsinC 05 a 2R 06 b 2R 07 c 2R 08sinAsinBsinC 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业

4、5余弦定理 a2 ，b2 ，c2 推论： cos A ， cos B ， cos C 6面积公式 SABC 01b2c22bccosA 02a2c22accosB 03a2b22abcosC 04 b2c2a2 2bc 05 a2c2b2 2ac 06 a2b2c2 2ab 01 1 2bcsinA 02 1 2acsinB 03 1 2absinC 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业 7常用结论 (1)三角形内角和； (2)abc ； (3)sin (AB) ， cos (AB) 01ABC 02ABC 03sinAsinBsinC

5、04sinC 05cosC 2 热点考向探究热点考向探究 PART TWO 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业考向 1 三角恒等变换与求值例 1 (1)已知 (0，)，且 sin 4 2 10 ，则 tan 2( ) A4 3 B3 4 C24 7 D24 7 答案 C 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业解析 sin 4 2 2 (sin cos ) 2 10 ，sin cos 1 5.(0， )，且 sin2cos21， sin4 5， cos 3 5， tan 4 3，ta

6、n 2 2tan 1tan2 24 7 . 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业 (2)(2020 辽宁省沈阳市三模)被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618 优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用， 0.618 就是黄金分割比 m 51 2 的近似值，黄金分割比还可以表示成 2sin18，则 m 4m2 2cos2271( ) A4 B 51 C2 D 51 答案 C 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业解析由题意， 2sin18m 51

7、2 ， m24sin218，则 m 4m2 2cos2271 2sin18 44sin 218 cos54 2sin18 2cos18 cos54 2sin36 cos54 2.故选 C. 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业 (3)(2020 山东省泰安市高三一模)已知， 3 4 ，，sin()3 5， sin 4 12 13，则 cos 4 _ 答案 56 65 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业解析已知， 3 4 ，，sin ()3 5， sin 4 12 13，

8、3 2 ，2 ， 4 2， 3 4 ， cos ()4 5，cos 4 5 13， cos 4 cos （） 4 cos ()cos 4 sin ()sin 4 4 5 5 13 3 5 12 13 56 65. 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业 (1)三角恒等变换的常用技巧是“化异为同”，即“化异名为同名”“化异次为同次”“化异角为同角”，其中涉及 sin2 2，cos 2 2时，常逆用二倍角的余弦公式降幂 (2)常见的“变角”技巧：()()，1 2()( )， 4 2 4 ， 4 4 等，使用“变角”技巧时，应根据已知条件中

9、的角，选择恰当变角技巧核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业 1已知 tan 4 1 2，且 20，则 2sin2sin2 cos 4 等于( ) A2 5 5 B3 5 10 C3 10 10 D2 5 5 答案 A 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业解析由 tan 4 tan 1 1tan 1 2，得 tan 1 3.又 20，所以 AD3. 3 真题真题VSVS押题押题 PART THREE 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业

10、专题作业真题检验 1(2020 全国卷)若为第四象限角，则( ) Acos 20 Bcos 20 Dsin 20 答案 D 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业解析当 3时，cos 2cos 2 3 0，A 错误；当 6时，cos 2cos 3 0，B 错误；由为第四象限角可得 sin 0，cos 0，则 sin 22sin cos 0，C 错误，D 正确故选 D. 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业 2(2020 全国卷)在ABC 中，cos C2 3，AC4，BC3，则

11、tan B ( ) A 5 B2 5 C4 5 D8 5 答案 C 解析由余弦定理，得 AB2BC2AC22BC AC cos C916 2342 39，AB3.cos B AB2BC2AC2 2ABBC 9916 233 1 9，sin B 1 1 9 24 5 9 ，tan B4 5.故选 C. 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业 3(2020 全国卷)已知 2tan tan 4 7，则 tan ( ) A2 B1 C1 D2 答案 D 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业解析

12、 2tan tan 4 7， 2tan tan 1 1tan 7.令 ttan ， t1，则 2t1t 1t7，整理，得 t 24t40，解得 t2，即 tan 2.故选 D. 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业 4(2020 全国卷)若 sin x2 3，则 cos 2x_ 答案 1 9 解析 cos 2x12sin2x12 2 3 218 9 1 9. 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业 5(2020 全国卷)如图，在三棱锥 PABC 的平面展开图中，AC1， ABAD 3，

13、ABAC， ABAD， CAE30，则 cosFCB_ 答案 1 4 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业解析 ABAC，AB 3，AC1，由勾股定理，得 BC AB2AC2 2，同理可得 BD 6，BFBD 6.在ACE 中，AC1，AEAD 3，CAE30，由余弦定理，得 CE2AC2AE22AC AE cos 301 321 3 3 2 1，CFCE1.在BCF 中，BC2，BF 6，CF 1，由余弦定理，得 cos FCBCF 2BC2BF2 2CFBC 146 212 1 4. 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探

14、究真题真题VS押题押题专题作业专题作业 6(2020 全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 B150. (1)若 a 3c，b2 7，求ABC 的面积；解 (1)由余弦定理可得 b228a2c22ac cos 1507c2， c2，a2 3， ABC 的面积 S1 2ac sin B 3. 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业 (2)若 sin A 3sin C 2 2 ，求 C. 解 (2)AC30， sin A 3sin Csin (30C) 3sin C 1 2cos C 3 2 sin C 3si

15、n C 1 2cos C 3 2 sin Csin (C30) 2 2 . 0C30，30C3060， C3045，C15. 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业 7(2020 全国卷)ABC 中，sin2Asin2Bsin2CsinB sin C. (1)求 A；解 (1)sin2Asin2Bsin2CsinB sin C，由正弦定理，得 BC2AC2AB2AC AB， AC2AB2BC2AC AB， cos AAC 2AB2BC2 2ACAB 1 2. A(0，)，A2 3 . 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真

16、题真题VS押题押题专题作业专题作业 (2)若 BC3，求ABC 周长的最大值解 (2)解法一：由余弦定理，得 BC2AC2AB22AC AB cos AAC2 AB2AC AB9，即(ACAB)2AC AB9. ACAB ACAB 2 2(当且仅当 ACAB 时取等号)， 9(ACAB)2AC AB (ACAB)2 ACAB 2 23 4(ACAB) 2，核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业 ACAB2 3(当且仅当 ACAB 时取等号)， ABC 的周长 LACABBC32 3， ABC 周长的最大值为 32 3. 解法二：由正弦

17、定理，得 AB sin C AC sin B BC sin A 3 sin 2 3 2 3， AB2 3sin C，AC2 3sin B. A2 3 ，C 3B. 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业 ABAC2 3sin 3B 2 3sin B 2 3 3 2 cos B1 2sin B 2 3sin B 3cos B 3sin B2 3sin B 3 . 当 B 6时，ABAC 取得最大值 2 3， ABC 周长的最大值为 32 3. 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业金版押题

18、8在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，且ABC 同时满足下列四个条件中的三个： a2c2b22 3 3 ac； 1cos 2A2sin2A 2； a 3；b2. (1)满足ABC 有解的序号组合有哪些？解 (1)由条件，得 cos Ba 2c2b2 2ac 2 3 3 ac 1 2ac 3 3 ，由条件，得 12cos2A11cos A，即 2cos2Acos A10，解得 cos A1 2或 cos A1(舍去)，因为 A(0，)，所以 A 3. 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业因为 cos B 3 3

19、 1 2cos 2 3 ，B(0，)，而 ycos x 在(0，)上单调递减，所以2 3 B 3 2 3 ，与 AB0，y cos1320，那么ABC 的形状为( ) A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D等腰三角形答案 A 解析 ABC，cos (2BC)cos Ccos B(A)cos (BA)cos (BA)cos (BA)cos B cos Asin B sin Acos B cos Asin B sin A2cos B cos A0，cos B cos A0，即 cos B 与 cos A 异号，又 A，B(0，)，ABC 为钝角三角形故选 A. 核心知识回顾核心知识回顾

20、热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业 6设函数 f(x)sin xcos x，若对于任意的 xR，都有 f(2x)f(x)，则 sin 2 3 ( ) A1 2 B1 2 C 3 2 D 3 2 答案 B 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业解析 f(x)sin xcos x 2sin x 4 ，由 f(2x)f(x)，得 x 是函数 f(x)的对称轴， 4 2k， kZ， 3 4 k， kZ.sin 2 3 sin 3 2 2k 3 sin 7 6 1 2.故选 B. 核心知识回顾核心知识回顾热点考向

21、探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业 7(2020 福建省泉州市一模)ABC 中，BC2 5，D 为 BC 的中点， BAD 4，AD1，则 AC( ) A2 5 B2 2 C6 5 D2 答案 D 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业解析在ABD 中，由余弦定理可得， BD2AB2AD22AB AD cos BAD，即 5AB21 2AB，解得 AB2 2，由正弦定理可得， 1 sinABD 5 sin 4 ，所以 sin ABD 10 10 ，cos ABD3 10 10 ，在ABC 中，由余弦定理可得，AC

22、2AB2BC22AB BC cos ABC(2 2)2(2 5)222 2 2 53 10 10 ，解得 AC2.故选 D. 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业 8已知在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2b cos Cc cos B，则 1 tan A 1 tan B 1 tan C的最小值为( ) A2 7 3 B 5 C 7 3 D2 5 答案 A 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业解析因为 2b cos Cc cos B，所以 2sin B

23、cos Csin C cos B，即 2tan B tan C，又因为 ABC，所以 tan Atan (BC)tan (BC) tan Btan C 1tan B tan C 3tan B 12tan2B，所以 1 tan A 1 tan B 1 tan C 12tan2B 3tan B 1 tan B 1 2tan B 2tan2B1 3tanB 3 2tan B 94tan2B2 6tan B 4tan 2B7 6tan B 2 3tan B 7 6tan B 2 2 3tan B 7 6tan B 2 7 3 当且仅当2 3tan B 7 6tan B，即tan B 7 2 时，取“

24、” .故选 A. 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业二、填空题 9已知 cos 6 sin 3 5，则 cos 32 的值是_ 答案 7 25 解析 cos 6 sin cos 6 3 5， cos 32 2cos 2 6 1 7 25. 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业 10(2020 广东省广州市一模)设当 x 时，函数 f(x)sinx 3cos x 取得最大值，则 tan 4 _ 答案 2 3 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题

25、作业专题作业解析 f(x)sin x 3cos x2sin x 3 ，当 x 时，函数 f(x)取得最大值， 3 22k，kZ， 62k，kZ，tan 4 tan 62k 4 tan 4 6 1 3 3 1 3 3 2 3. 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业 11(2019 浙江高考)在ABC 中，ABC90，AB4，BC3，点 D在线段AC上若BDC45，则BD_， cos ABD_ 12 2 5 7 2 10 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业解析如图，易知 s

26、in C4 5， cos C3 5.在BDC 中，由正弦定理可得 BD sin C BC sin BDC， BD BC sin C sin BDC 34 5 2 2 12 2 5 . 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业由ABCABDCBD90，可得 cos ABDcos (90 CBD)sin CBDsin 180(CBDC)sin(CBDC)sin C cos BDCcos C sin BDC4 5 2 2 3 5 2 2 7 2 10 . 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业 1

27、2我们把到三角形三个顶点距离之和最小的点称为费马点，若三角形的内角均小于 120，则该三角形的费马点与三角形三边的张角均为 120. 已知三角形 ABC 中内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c.若|ab|c26， C60，若三角形 ABC 的费马点为 O，则 OA OBOBOCOC OA _ 答案 6 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业解析由|ab|c26，得 c2a2b22ab6. 由 C60，得 c2a2b2ab.两式相减，得 ab6. 所以 SABC1 2ab sin C 1 26 3 2 3 3 2 . 所以

28、 SABC1 2OA OBsin120 1 2OB OCsin120 1 2OA OCsin120 3 3 2 ，得 OA OBOB OCOC OA6. 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业三、解答题 13已知ABC 中，tan A1 4，tan B 3 5，AB 17.求： (1)角 C 的大小；解 (1)tan Ctan (AB)tan (AB) tan Atan B 1tan A tan B 1 4 3 5 11 4 3 5 1，所以 C3 4 . 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业

29、专题作业 (2)ABC 中最小边的边长解 (2)因为 tan Atan B，所以最小角为角 A，又因为 tan A1 4，所以 sin A 17 17 ， cAB 17，又 a sin A c sin C，所以最小边 ac sin A sin C 17 17 17 2 2 2. 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业 14(2020 山东省聊城市三模)在m(ab，ca)，n(ab，c)，且 mn，2ac2b cos C，sin B 6 cos B1 2这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并给出解答在ABC 中，角 A，B，C 的

30、对边分别为 a，b，c，且_ (1)求角 B；解 (1)选，m(ab，ca)，n(ab，c)，且 mn， (ab)(ab)c(ca)0. 化简，得 a2c2b2ac，由余弦定理，得 cos Ba 2c2b2 2ac ac 2ac 1 2，又 0B，B 3. 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业选，根据正弦定理，由 2ac2b cos C，得 2sin Asin C2sin B cos C，又 sin Asin (BC)sin B cos Ccos B sin C， 2sin C cos Bsin C，又 sin C0，cos

31、B1 2，又 B(0，)，B 3. 选，由 sin B 6 cos B1 2，核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业得 3 2 sin B1 2cos Bcos B 1 2，即 3 2 sin B1 2cos B 1 2，cos B 3 1 2，又 B(0，)，B 3 2 3 ，B 3. 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业 (2)若 b4，求ABC 周长的最大值解 (2)由余弦定理 b2a2c22ac cos B，得 16(ac)23ac. 又ac 2 ac，ac（ac） 2

32、4 ，当且仅当 ac 时等号成立， 3ac(ac)2163（ac） 2 4 ，解得 ac8，当且仅当 ac4 时，等号成立 abc8412. ABC 周长的最大值为 12. 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业 15.如图，已知 a， b， c 分别为ABC 三个内角 A， B， C 的对边，且 a cos C 3a sin Cbc0. (1)求角 A；核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业解 (1)因为 a cos C 3a sin Cbc0，由正弦定理，得 sin A co

33、s C 3sin A sin Csin Bsin C，即 sin A cos C 3sin A sin Csin (AC)sin C，又 sin C0，所以化简，得 3sin Acos A1，所以 sin (A30)1 2. 在ABC 中，因为 0A0)，则在ABD 中，AD2AB2BD22AB BD cos B，即129 4 25x21 449x 225x1 27x 1 7，解得 x1，所以 a7，c5，故 SABC1 2ac sin B10 3. 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业 16(2020 山东省淄博市一模)如图，在

34、直角ACB 中，ACB 2， ABC 6，AC2，点 M 在线段 AB 上 (1)若 sin CMA 3 3 ，求 CM 的长；核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业解 (1)在CAM 中，因为CAM 3，sin CMA 3 3 ，AC2，由正弦定理，得 CM sin CAM AC sin CMA，解得 CM AC sin 3 sin CMA 2 3 2 3 3 3. 核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业 (2)点 N 是线段 CB 上一点，MN 7，且 SBMN1 2SACB，求 BMBN 的值解 (2)因为 SBMN1 2SACB，所以1 2 BM BN sin 6 1 2 1 222 3，解得 BM BN4 3. 在BMN 中，由余弦定理，得 MN2BM2BN22BM BNcos 6(BMBN) 22BM BN 1 3 2 ，核心知识回顾核心知识回顾热点考向探究热点考向探究真题真题VS押题押题专题作业专题作业即( 7)2(BMBN)224 3 1 3 2 ， (BMBN)2198 3(4 3)2，故 BMBN4 3. 本课结束本课结束