二次函数最短路径

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1、1. 如图，抛物线经过点 A(1,0) ， B(5,0) ， C(0, 10 3 ) 三点，顶点为 D ，设点 E(x,y) 是抛 物线上一动点，且在 x 轴下方。 （1）求抛物线的解析式。 （2）当点 E(x,y) 运动时，试求三角形 OEB 的面积 S 与 x 之间的函数关系式，并求出面 积 S 的最大值。 （3）在 y 轴上确定一点 M ，使点 M 到 D 、 B 两点距离之和 d = MD + MB 最小，求 点 M 的坐标。 2. 如图，抛物线 y = ax2+ bx （ a 0 ）过点 E(8,0) ，矩形 ABCD 的边 AB 在线段 OE 上（点 A 在点 B 的左侧） ，点

2、C 、 D 在抛物线上， BAD 的平分线 AM 交 BC 于点 M ，点 N 是 CD 的中点，已知 OA = 2 ，且 OA:AD = 1:3 。 （1）求抛物线的解析式。 （2） F 、 G 分别为 x 轴、 y 轴上的动点，顺次连接 M 、 N 、 G 、 F 构成四边形 MNGF ，求四边形 MNGF 周长的最小值。 （3）在 x 轴下方且在抛物线上是否存在点 P ，使 ODP 中 OD 边上的高为 6 10 5 ？若 存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。 （4） 矩形 ABCD 不动， 将抛物线向右平移， 当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点 K 、 L ，且直线 KL

3、 平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离。 3. 如图，在平面直角标系中，抛物线 C ： y = 3 3 x2+ 2 3 3 x 3 与 x 轴交于 A 、 B 两 点 （点 A 在点 B 的左侧） ， 与 y 轴交于点 C ， 点 D 为 y 轴正半轴上一点。 且满足 OD = 2 3 OC ，连接 BD 。 （1）如图 1 ，点 P 为抛物线上位于 x 轴下方一点，连接 PB ， PD ，当 SPBD最大 时，连接 AP ，以 PB 为边向上作正 BPQ ，连接 AQ ，点 M 与点 N 为直线 AQ 上 的两点， MN = 2 且点 N 位于 M 点下方，连接 DN ，求 DN + MN

4、+ 3 2 AM 的最小值。 （2）如图 2 ，在第（1）问的条件下，点 C 关于 x 轴的对称点为 E ，将 BOE 绕着 点 A 逆时针旋转得到 BOE，将抛物线 y = 3 3 x2+ 2 3 3 x 3 沿着射线 PA 方向平 移，使得平移后的抛物线 C经过点 E ，此时抛物线 C与 x 轴的右交点记为点 F ，连 接 EF ， R 为线段 EF 上的一点，连接 BR ，将 BER 沿着 BR 翻折后与 BEF 重合部分记为 BRT ，在平面内找一个点 S ，使得以 B、 R 、 T 、 S 为 顶点的四边形为矩形，求点 S 的坐标。 4. 已知点 A( 4,8) 和点 B(2,n)

5、在抛物线 y = ax2上。 （1）求该抛物线的解析式和顶点坐标，并求出 n 的值。 （2）求点 B 关于 x 轴对称点 P 的坐标，并在 x 轴上找一点 Q ，使得 AQ + QB 最短， 求此时点 Q 的坐标。 （3） 平移抛物线 y = ax2， 记平移后点 A 的对应点为 A， 点 B 的对应点为 B， 点 C( 2,0) 是 x 轴上的定点。 当抛物线向左平移到某个位置时， AC + CB最短，求此时抛物线的解析式。 D( 4,0) 是 x 轴上的定点，当抛物线向左平移到某个位置时， 四边形 ABCD 的周长最 短，求此时抛物线的解析式（直接写出结果即可） 。 5. 如图，将南北向的

6、中山路与东西向的北京路看成两条直线，十字路口记作点 A 。甲从 中山路上点 B 出发，骑车向北匀速直行；与此同时，乙从点 A 出发，沿北京路步行向东 匀速直行。设出发 xmin 时，甲、乙两人与点 A 的距离分别为 y1m 、 y2m 。已知 y1、 y2与 x 之间的函数关系如图所示。 （1）求甲、乙两人的速度。 （2）当 x 取何值时，甲、乙两人之间的距离最短？ 6. 如图，已知抛物线的方程 C1： y = 1 m (x + 2)(x m) （ m 0 ）与 x 轴相交于点 B 、 C ，与 y 轴相交于点 E ，且点 B 在点 C 的左侧。 （1）若抛物线 C1过点 M(2,2) ，求实

7、数 m 的值。 （2）在（1）的条件下，求 BCE 的面积。 （3）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H ，使 BH + EH 最小，并求出点 H 的 坐标。 （4）在第四象限内，抛物线 C1上是否存在点 F ，使得以点 B 、 C 、 F 为顶点的三 角形与 BCE 相似？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由。 7. 如图，抛物线经 A( 1,0) ， B(5,0) ， C(0, 5 2 ) 三点。 （1）求抛物线的解析式。 （2）在抛物线的对称轴上有一点 P ，使 PA+ PC 的值最小，求点 P 的坐标。 （3）点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N ，使以

8、 A ， C ， M ， N 四 点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点 N 的坐标；若不存在，请说明理由。 8. 如图所示，抛物线 y = ax2+ bx + c 经过 A( 1,0) 、 B(4,0) 、 C(0, 2) 三点。 （1）求抛物线的函数关系式。 （2）若直线 l 是抛物线的对称轴，设点 P 是直线 l 上的一个动点，当 PAC 的周长最 小时，求点 P 的坐标。 （3）在线段 AB 上是否存在点 M ，使得以线段 CM 为直径的圆与边 BC 交于 Q 点（与 点 C 不同） ， 且以点 Q 、 B 、 O 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在， 求出 m 的值； 若不存在，请

9、说明理由。 9. 如图，已知抛物线 y = 1 a (x + 2)(x a) （ a 0 ）与 x 轴交于点 A ， B （点 A 在 点 B 右侧） ，与 y 轴交于点 C ，抛物线过点。 （1）求实数 a 的值。 （2）在抛物线的对称轴上找一点 H ，使得 BH + CH 最小，求出点 H 的坐标。 （3）若把题干中“抛物线过点”这一条件去掉，试问在第四象限内，抛物线上是否存 在点 F ，使得以点 B ， A ， F 为顶点的三角形与 ABC 相似。若存在，求 a 的值； 若不存在，请说明理由。 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y = ax2+ bx 的对称轴为 x = 3

10、4 ，且经过点 A(2,1) 。点 P 是抛物线上的动点， P 的横坐标为 m （ 0 m 2 ） 。过点 P 作 PB x 轴，垂足为 B ， PB 交 OA 于点 C 。点 O 关于直线 PB 的对称点为 D ，连接 CD ， AD 。过点 A 作 AE x 轴，垂足为 E 。 （1）求抛物线的解析式。 （2） 填空： 用含 m 的式子表示点 C ， D 的坐标： （_ ， _） ， （_ ， _） ； 当 m = _时， ACD 的周长最小。 （3）若 ACD 为等腰三角形，求出所有符合条件的点 P 的坐标。 11. 如图， 抛物线与 x 轴交于 A 、B 两点， 与 y 轴交于点 C

11、， 且 OA = 2 ， OC = 3 。 （1）求抛物线的解析式。 （2）若点 D(2,2) 是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点 P ，使得 的周长最小？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。注：二次函数 y = ax2+ bx + c （ a 0 ）的对称轴是直线 x = b 2a 。 12. 如图， 抛物线 y = 1 2x 2 + bx 2 与 x 轴交于 A ， B 两点， 与 y 轴交于 C 点， 且 A( 1,0) 。 （1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标。 （2）判断 ABC 的形状，证明你的结论。 （3）点 M(m,0) 是 x 轴上的一个

12、动点，当 MC + MD 的值最小时，求 m 的值。 13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y = ax2+ bx + c 与M 相交于 A ， B ， C ， D 四点，其中 A ， B 两点的坐标分别为 ( 1,0) ， (0, 2) ，点 D 在 x 轴上且 AD 为 M 的直径，点 E 是M 与 y 轴的另一个交点，过劣弧 ED 上的点 F 作 FH AD 于点 H ，且 FH = 1.5 。 （1）求 E 点的坐标及抛物线的表达式。 （2）若点 P 是 x 轴上一个动点，试求出的周长最小时点 P 的坐标。 （3）在抛物线的对称轴上是否存在点 Q ，使 QCM 是等腰三角形？如果存

13、在，请直接 写出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由。 14. 已知抛物线 y = ax2+ bx + c 经过点 A(1,0) ， B(0,3) ， C(2, 1) 。 （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线与 x 轴的另一个交点 D 的坐标； （3） 该抛物线的对称轴上是否存在一点 P ， 使得 PA+ PB 最短？若点 P 存在， 求出点 P 的坐标；若 P 点不存在，请说明理由。 15. 如图， 已知抛物线的顶点为 A(1,4) ， 抛物线与 y 轴交于点 B(0,3) ， 与 x 交于 C 、 D 两点，点 P 是 x 轴上的一个动点。 （1）求此抛物线的解析式。 （2 分）

14、 （2）当 PA+ PB 的值最小时，求点 P 的坐标。 （4 分） 16. 如图，已知二次函数 y = (x + 1)(x m) 的图象与 x 轴相交于点 A 、 B （点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴相交于点 C ，且图象经过点 M(2,3) 。 （1）求二次函数的解析式。 （2 分） （2）求 ABC 的面积。 （3 分） （3）在抛物线的对称轴上找一点 H ，使 AH + CH 最小，并求出点 H 的坐标。 （4 分） 17. 已知二次函数 y = x2 2mx + m2 1 。 （1）当二次函数的图象经过坐标原点 O(0,0) 时，求二次函数的解析式。 （2 分） （2）如图

15、所示，当 m = 2 时，该抛物线与 y 轴交于点 C ，顶点为 D ，求 C 、 D 两 点的坐标。 （2 分） （3）在（2）的条件下， x 轴上是否存在一点 P ，使得 PC + PD 最短？若 P 点存在， 求出 P 点的坐标；若 P 点不存在，请说明理由。 （5 分） 18. 如图，已知抛物线 y = x2+ bx + c 与 x 轴交于点 A ， B ， AB = 2 ，与 y 轴交于点 C ，对称轴为直线 x = 2 。 （1）求抛物线的函数表达式。 （3 分） （2）设 P 为对称轴上一动点，求 APC 周长的最小值。 （3 分） （3）设 D 为抛物线上一点， E 为对称轴上

16、一点，若以点 A ， B ， D ， E 为顶点的 四边形是菱形，则点 D 的坐标为_ 。 （3 分） 【参考答案】 1. 【考点】二次函数的应用；二次函数的解析式；二次函数与面积最大化的问题；待定系数法 求二次函数解析式；二次函数与最值问题；二次函数与最短路径问题 【答案】 （1）设抛物线的解析式为 y = ax2+ bx + c ， 由题可知，解得， 所以抛物线的解析式为 y = 2 3 x2 4x + 10 3 。 （2）如图所示，过点 E 作 y 轴的平行线交 x 轴于点 M 。 由（1）可知 y = 2 3 x2 4x + 10 3 ， 所以 OEB 的面积 S 为： 1 2 ( 2

17、 3 x2 4x + 10 3 )(5 0) = 5 3 (x 3)2+ 20 3 ， 因为 E(x,y) 在 x 轴下方， 所以 1 x 5 ， 所以当 x = 3 时， S 取得最大值 20 3 。 （3）如图所示，抛物线的对称轴为 x = 1+5 2 = 3 ， 令 x = 3 ，得 y = 2 3 32 4 3 + 10 3 = 8 3 。 所以 D 点坐标为 (3, 8 3 ) 。 D 点关于 y 轴对称点的坐标 F( 3, 8 3 ) ， 连接 FB 、 FE 。 则，所以 MD + MB = MF + MB ， 因为两点之间直线最短， 所以当 F 、 M 、 B 共线时， MF

18、+ MB 最短。 直线 BF 的斜率为 0(8 3) 5(3) = 1 3 ， 则直线 BF 的解析式为 y0 x5 = 1 3 ， 即 y = 1 3 x 5 3 ， 令 x = 0 ，得 y = 5 3 ， 所以 M 点坐标为 (0, 5 3 ) 。 【解析】 （1）利用待定系数法求解抛物线解析式。 （2）利用抛物线的解析式写出所求三角形面积的表达式，再根据 E 点的运动范围求出面 积的最大值即可。 （3）先找到 D 点关于 y 轴对称的点坐标，再利用两点之间线段最短确定 M 点的位置， 最后利用一次函数解析式求解 M 点坐标即可。 2. 【考点】利用矩形性质进行相关计算；二次函数的应用；

19、二次函数的图象与性质；矩形、菱 形、正方形；二次函数与最短路径问题；二次函数 y=ax2+bx+c 的平移 【答案】 （1）已知点 A 在线段 EO 上，因为 E(8,0) ， OA = 2 ，所以 A(2,0) ， 因为 OA:AD = 1:3 ，所以 AD = 3OA = 6 ，因为四边形 ABCD 是矩形， 所以 AB AD ，可得 D(2, 6) ，因为点 D ， E 在抛物线 y = ax2+ bx 上， 所以 4a + 2b = 6 64a + 8b = 0 ，解得 a = 1 2 b = 4 ，所以抛物线的解析式为 y = 1 2 x2 4x 。 （2）如图 1 ，作点 M 关于

20、 x 轴的对称点 M，作点 N 关于 y 轴的对称点 N， 连接 GN， FM， NM。因为 y = 1 2x 2 4x = 1 2 (x 4)2 8 ， 所以抛物线的对称轴为直线 x = 4 ，因为 C ， D 在抛物线上， CD/x 轴，且 D(2, 6) ， 所以 yC= yD= 6 ，即点 C ， D 关于对称轴 x = 4 对称， 所以 xC= 4 + (4 xD) = 4 + 4 2 = 6 ，即 C(6, 6) ，所以 CD = AB = 4 ， B(6,0) 。 因为 AM 平分 DAB ， ABM = DAB = 90 ，可得 BAM = 45 ， 所以 BM = AB =

21、4 ， 所以 M(6, 4) ， 因为点 M 关于 x 轴的对称点为 M， 点 F 在 x 轴 上， 所以 M(6,4) ， FM = FM，因为 N 为 CD 的中点，所以 N(4, 6) ， 因为点 N 关于 y 轴的对称点为 N，点 G 在 y 轴上，所以 N( 4, 6) ， GN = GN， 所以 C四边形 MNGF = MN + NG + GF + FM = MN + NG + GF + FM， 因为当 N、 G 、 F 、 M在同一直线上时， NG + GF + FM= MN最小， 所以 C四边形 MNGF = MN + MN=(6 4)2+ ( 4 + 6)2+(6 + 4)2

22、+ (4 + 6)2 = 2 2 + 10 2 = 12 2 ，所以四边形 MNGF 周长最小值为 12 2 。 (3）存在点 P ，使 ODP 中 OD 边上的高为 6 10 5 ， 过点 P 作 PQ/y 轴交直线 OD 于点 Q ，因为 D 点的坐标为 (2, 6) ， 所以 OD =62+ 22= 2 10 ，直线 OD 的解析式为 y = 3x ， 根据题意，设 P(t, 1 2 t2 4t) （ 0 t 8 ） ，则 Q(t, 3t) 。 如图 2 ，当 t(0,2) 时，点 P 在点 D 左侧。 此时 PQ = yQ yP= 3t ( 1 2 t2 4t) = 1 2 t2+ t

23、 ， 所以 SODP= SOQP+ SDPQ= 1 2 PQxP+ 1 2 PQ(xD xP) = 1 2 PQxD= PQ = 1 2t 2 + t ，因为 ODP 中 OD 边上的高 h 为 6 10 5 ， 所以 SODP= 1 2 ODh = 1 2 2 10 6 10 5 = 12 ，所以 1 2 t2+ t = 12 ， 方程无解。 如图 3 ，当 t(2,8) 时，点 P 在点 D 右侧。 此时 PQ = yP yQ= 1 2 t2 4t ( 3t) = 1 2 t2 t ， 所以 SODP= SOQP SDPQ= 1 2 PQxP 1 2 PQ(xP xD)= 1 2 PQxD

24、= PQ = 1 2 t2 t ， 所以 1 2t 2 t = 12 ，解得 t1= 4 （舍去） ， t2= 6 ，所以 P(6, 6) 。 综上所述，点 P 的坐标为 (6, 6) ，满足 ODP 中 OD 边上的高为 6 10 5 。 （4）设抛物线向右平移 m 个单位长度后与矩形 ABCD 有交点 K ， L 。 因为 KL 将矩形 ABCD 的面积平分， 所以如图 4 ，K 在线段 AB 上，L 在线段 CD 上。 所以 K(m,0) ， L(2 + m, 6) ，连接 AC 交 KL 于 H 。 因为 SADC= S四边形 ADLK = 1 2 S矩形 ABCD ，可得 SAKH=

25、 SCLH， 因为 AK/CL ，所以 AKH CLH ，所以 SAKH SCLH = ( AH CH )2= ( KH HL )2= 1 ， 所以 AH = CH ， HK = HL ，即点 H 为 AC 中点，也为 KL 中点， 所以 H(4, 3) ，所以 m+2+m 2 = 4 ，解得 m = 3 ， 即抛物线向右平移的距离为 3 个单位长度。 【解析】本题主要考查矩形、二次函数的图象与性质以及二次函数的应用。 （1）已知点 A 在线段 EO 上，因为 E(8,0) ， OA = 2 ，所以 A(2,0) ，由 OA = 2 ，且 OA:AD = 1:3 得 AD = 6 ，由于四边形

26、 ABCD 是矩形，所以 AB AD ，所以点 D 在第 四象限，横坐标与 A 的横坐标相同，进而得到点 D 坐标。由抛物线经过点 D 、 E ，用 待定系数法即求出其解析式。 （2）画出四边形 MNGF ，由于点 F 、 G 分别在 x 轴、 y 轴上运动，故可作点 M 关 于 x 轴的对称点 M，作点 N 关于 y 轴的对称点 N，得 FM = FM、 FM = FM。 易知当 N、 G 、 F 、 M在同一直线上时， NG + GF + FM= MN最小，故四边形 MNGF 周长最小值等于 MN + MN。根据矩形性质、抛物线线性质等条件求出点 M 、 M、 N 、 N坐标，即求得答案。

27、 （3）因为 OD 可求，且 ODP 中 OD 边上的高为 6 10 5 ，故可求 ODP 的面积。又 因为 ODP 的面积常规求法是过点 P 作 PQ 平行 y 轴交直线 OD 于点 Q ，把 ODP 拆分为 OPQ 与 DPQ 的和或差来计算，故存在等量关系。设 P(t, 1 2 t2 4t) （ 0 t 8 ） ， 用 t 表示 PQ 的长即可列方程。 求得的 t 值要讨论是否满足点 P 在 x 轴 下方的条件。 （4）因为 KL 将矩形 ABCD 的面积平分，所以 K 在线段 AB 上， L 在线段 CD 上。 画出平移后的抛物线可知， 点 K 由点 O 平移得到， 点 L 由点 D

28、平移得到， 所以 K(m,0) ， L(2 + m, 6) ，易证 KL 平分矩形面积时， KL 一定经过矩形的中心 H 且被 H 平分，求 出 H(4, 3) ，由中点坐标公式即求得 m 的值。 3. 【考点】二次函数的应用；二次函数的解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与 最短路径问题 【答案】 （1）如图 1 所示，过点 D 作 DD/MN ，且令 DD= MN = 2 ，连接 DM 。 过点 D作 DJ y 轴于点 J 。作直线 AP ，过点 M 作 MH AP 于点 H ， 过点 D作 DK AP 于点 K 。 根据题意，令 y = 3 3 x2+ 2 3 3 x 3= 0

29、， 解得 x1= 3 ， x2= 1 。 所以 A( 3,0) ， B(1,0) 。 当 x = 0 时， y = 3 3 x2+ 2 3 3 x 3=3 ， 所以 C(0, 3) ， 所以 OC =3 。 所以 OD = 2 3 OC = 2 3 3 。 所以 D(0, 2 3 3 ) 。 根据题意假设 P(t, 3 3 t2+ 2 3 3 t 3) ，其中 3 t 0 ， x 0 ，所以 x = 2m 。则 F(2m, 2m 2) ， 此时 BF =(2m + 2)2+ ( 2m 2)2= 2 2(m + 1) ，BE = 2 2 ，BC = m + 2 。又因为 BC2= BEBF ，所

30、以 (m + 2)2= 2 22 2(m + 1) 。解得 m = 2 + 2 2 或 m = 2 2 2 。因为 m 0 ，所以 m = 2 2 + 2 。 当 BEC FCB 时，如图 3 所示。此时 BC BF = EC BC ，即 BC2= ECBF 。因为 BEC FCB ， 所以 CBF = ECO 。 因为 EOC = FTE = 90 ， 所以 BTF COE ， TF BT = OE OC = 2 m 。设 F(x, 2 m (x + 2) ，又因为点 F 在抛物线上，则 2 m (x + 2) = 1 m (x + 2)(x m)，x 0，x + 2 0，x = m + 2

31、。 则F(m + 2, 2 m (m + 4)， EC =m2+ 4 ， BC = m + 2 。又因为 BC2= ECBF ，所以 (m + 2)2=m2+ 4 (m + 2 + 2)2+ 4(m+4)2 m2 。化简得： m3+ 4m2+ 4m = m3+ 4m + 4m2+ 16 ，即 0 = 16 ，故 此方程无解。 综上所述，在第四象限内，抛物线上存在点 F ，使得以点 B 、 C 、 F 为顶点的三角形 与 BCE 相似， m = 2 + 2 2 。 【解析】本题主要考查二次函数的图象与性质和相似三角形的判定与性质。 （1）将点 (2,2) 代入抛物线解析式，即可求出 m 的值。

32、（2）求出 B 、 C 、 E 的坐标，进而求得三角形的面积。 （3）根据轴对称以及两点之间线段最短的性质，可知点 B 、 C 关于对称轴 x = 1 对称， 连接 EC 与对称轴的交点即为所求的 H 点。 （4）分 BEC BCF 和 BEC FCB 两种情况进行讨论，根据相似三角形的对 应边成比例得出点 F 横坐标与纵坐标的关系，由于点 F 在抛物线上，代入抛物线解析式， 得出 m 的值。 7. 【考点】二次函数的应用；二次函数与最短路径问题 【答案】 （1）设抛物线的解析式为 y = ax2+ bx + c （ a 0 ） ，因为 A( 1,0) ， B(5,0) ， C(0, 5 2

33、) 三点在抛物线上，所以有 a b + c = 0 25a + 5b + c = 0 c = 5 2 ，解得 a = 1 2 b = 2 c = 5 2 ，所以抛物 线解析式为 y = 1 2 x2 2x 5 2 。 （2）如图 1 所示，连接 BC ，根据抛物线的对称性可知 AP = BP ，又因为两点之间线段 最短，所以此时为所求 P 的位置。因为抛物线的解析式为 y = 1 2 x2 2x 5 2 ，所以其对称 轴为直线， 因为 B(5,0) ， C(0, 5 2 ) ， 所以设直线 BC 的解析式为 y = kx + b （ k 0 ） ，将 B 、 C 点的坐标代入得，解得，所以直线

34、 BC 的解析式为 y = 1 2 x 5 2 ，当 x = 2 时， y = 1 5 2 = 3 2 ，所以 P 点的坐标为 P(2, 3 2 ) 。 （3） 存在。 如图 2 所示， 当点 N 在 x 轴下方， 因为抛物线的对称轴为直线 x = 2 ，C(0, 5 2 ) ，所以 N1(4, 5 2 ) 。 当点 N 在 x 轴上方时， 过点 N2作 N2D x 轴于点 D ， 在 AN2D 和 M2CO 中， N2AD = CM2O AN2= M2C AN2D = M2CO ，所以 AN2D M2CO(ASA) ，所以 N2D = OC = 5 2 ，即 N2 点的纵坐标为 5 2 ，所

35、以 1 2x 2 2x 5 2 = 5 2 ，解得 x = 2 +14 或 x = 2 14 ，所以 N2(2 + 14, 5 2 )，N3(2 14, 5 2 )。故符合条件的点N坐标 为 (4, 5 2 ) 、 (2 +14, 5 2 ) 、 (2 14, 5 2 ) 。 【解析】本题主要考查二次函数的应用。 （1） 设抛物线的解析式为 y = ax2+ bx + c （ a 0 ） ， 再把 A( 1,0) ，B(5,0) ，C(0, 5 2 ) 三点代入求出 a 、 b 、 c 的值即可。 （2） 因为点 A 关于对称轴对称的点 B 的坐标为 (5,0) ， 连接 BC 交对称轴直线于

36、点 P ， 求出 P 点坐标即可。 （3）分点 N 在 x 轴下方或上方两种情况讨论即可。 8. 【考点】二次函数与三角形问题综合；二次函数的应用；二次函数与最短路径问题；相似三 角形的应用 【答案】（1） 根据 A( 1,0) ，B(4,0) ， 设抛物线的解析式为 y = a(x + 1)(x 4) ， 将 C(0, 2) 代入解析式得 4a = 2 ，解得 a = 1 2 。故抛物线的解析式为 y = 1 2 (x + 1)(x 4) = 1 2 x2 3 2 x 2 。 （2）如图所示，连接 BC ， BC 和直线 l 的交点为 P ，连接 PA 。直线 l 的解析式为 ，因为点 A

37、、 B 关于直线 l 对称，所以 PA = PB ，所以 BC = PC + PB = PC + PA ，设直线 BC 的解析式为 y = kx + b （ k 0 ） ，将 B(4,0) ， C(0, 2) 代入可 得 4k + b = 0 b = 2 ， 解得， 所以直线 BC 的解析式为 y = 1 2 x 2 ， 将 x = 3 2 代入可知， y = 5 4 ，即 P 的坐标为 ( 3 2 , 5 4 ) 。 （3）存在。在 ABC 中， AB = 5 ， AC =12+ 22=5 ， BC =22+ 42= 2 5 ，所 以 AC2+ BC2= AB2，故 AC BC ，由 M(m

38、,0) 得 BM = 4 m 。如图所示，过点 Q 作 交 AB 于点 M ，因为，所以 Q 在以 CM 为直径的圆上，又因为 ， ABC = MBQ ，所以 MQB ACB ，故 BQ BC = BM BA 。 如图 1 所示，当 QB = QO 时，过点 Q 作 QN OB 交 OB 于点 N ，点 Q 在 OB 的 垂直平分线上，所以，所以 QN/CO ，根据“等腰三角形三线合一”得 点 N 是 BO 的中点，所以 QN 是 COB 的中位线，所以 Q 是 BC 的中点，因为 BQ BC = BM BA = 1 2 ，所以 BM = 1 2 BA = 5 2 ，即 4 m = 5 2 ，

39、故 m = 3 2 。 如图 2 所示，当 BQ = BO = 4 时， BQ BC = BM BA = 4 2 5 ，所以 BM = 2 5 BA = 2 5 ，即 4 m = 2 5 ，故 m = 4 2 5 。 根据题意，当 Q 在 BC 上时， OQ 0 ，所以两 边同时乘以 a 并化简得 12a = 48 ，解得 a = 4 。 （2）由（1）可得 a = 4 ，则抛物线解析式为 y = 1 4 (x + 2)(x 4) ，所以点 A 的坐标 为 (4,0) ，点 B 的坐标为 ( 2,0) ，当 x = 0 时， y = 1 4 2 ( 4) = 2 ，所以点 C 的 坐标为 (0

40、,2) 。 因为点 B 与点 A 关于对称轴对称， 所以 BH = AH ， 如图 1 所示， 连接 AC 交对称轴于点 H ，则 AC 为 BH + CH 的最小值。设直线 AC 的解析式为 y = kx + b ， 将点 A(4,0) 和 C(0,2) 代入可得，4k + b = 0 b = 2 ， 解得， 故直线 AC 的解析式为 y = 1 2 x + 2 ，因为抛物线的对称轴为 x = 2+4 2 = 1 ，将 x = 1 代入直线解析式得 y = 3 2 ，故 点 H 的坐标为 (1, 3 2 ) 。 （3） 存在。 当 ABC BFA 时， 如图 2 所示， 连接 AC ，BC

41、， 过点 B 作 BF/AC ， 则 BAC = FBA ，要使 ABC BFA ，则还需满足 AB BF = AC BA ，即 AB2= ACBF 。 当 1 a (x + 2)(x a) = 0 时， xA= a ，即 A(a,0) ， B( 2,0) ，则 AB = a + 2 ， 当 x = 0 时， y = 2 a ( a) = 2 ，所以 OC = 2 ，直线 AC 的解析式为 y = 2 a x + 2 。 在 Rt AOC 中，由勾股定理得 AC =OA2+ OC2=a2+ 4 。设直线 BF 的解析式为 y = 2 a x + b1，将点 B( 2,0) 代入得 4 a +

42、b1= 0 ，解得 b1= 4 a ，所以直线 BF 的解析式 为 y = 2 a x 4 a ，联立直线 BF 与抛物线的解析式可得，整理得 x2 ax (4 + 2a) = 0 ，解得 x1= 2 ， x2= 2 + a ， 因为点 F 在第四象限，所以 xF= 2 + a ， 则yF= 8 a 2，故 。因为 AB2= ACBF ，所以 (a + 2)2=a2+ 4(a + 4)2+ ( 8 a + 2)2，即 (a + 2)2= (a2+4)2(a+4)2 a2 ，化简得 16 = 0 ，故不存在点 F 。 当 ABC FBA 时，如图 3 所示，连接 AC ， BC 。由可得点 B

43、的坐标 为 ( 2,0) ， 点 C 的坐标为 (0,2) ， 则 OB = OC = 2 ， 故， 则过点 B 作 BF BC ，要使 ABC FBA ，则需满足 AB FB = BC BA ，即 AB2= BCFB 。因为 A(a,0) ， B(0,2) ， 所以 AB = a + 2 ； 在 Rt BOC 中，BC =OB2+ OC2= 2 2 ； 因为 B( 2,0) ， C(0,2) ，所以直线 BC 的解析式为 y = x + 2 ，则直线 BF 的解析式为 y = x + b2，将 点 B 的坐标代入得， 2 + b2= 0 ， 解得 b2= 2 ， 故直线线 BF 的解析式为

44、y = x 2 。 联 立 直 线BF和 抛 物 线 的 解 析 式 可 得， 整 理 得 x2+ (2 2a)x 4a = 0 ， 解得 x1= 2 ， x2= 2a ， 因为点 F 在第四象限， 所以 xF= 2a ， 则 yF= 2a 2 ， 故 BF =(2 + 2a)2+ (2a + 2)2。 因为 AB2= BC FB ， 所以 (a + 2)2= 2 2(2 + 2a)2+ (2a + 2)2， 整理得 (a + 2)2= 4(2a + 2) ， 解得 a1= 2 + 2 2 ，a2= 2 2 2 （不合题意，舍去） 。 综上所述， a 的值为 2 + 2 2 时，以 B 、 A

45、 、 F 为顶点的三角形与 ABC 相似。 【解析】本题主要考查相似三角形的应用和二次函数的应用。 （1）将点 N 的坐标代入抛物线解析式可得到关于 a 的方程并求解即可。 （2）将（1）中 a 的值代入抛物线解析式可得点 A 、 B 、 C 的坐标，根据对称性可得 则 AC 为 BH + CH 的最小值。 利用待定系数法可求得直线 AC 的解析式， 根据抛物线与 x 轴交点的坐标可求得对称轴所在的直线， 进而可求得点 H 的横坐标， 将其代入直线 AC 的 解析式即可求得点 H 的坐标。 （3）分别在 ABC BFA 和 ABC FBA 相似的情况下，根据相似三角形的判 定定理、勾股定理以及

46、待定系数法求直线 BF 的解析式，进而确定线段 BF 的长度，根据 AB2= ACBF 得到关于 a 的方程，求解即可。 10. 【考点】二次函数与三角形问题综合；二次函数的应用；二次函数与最短路径问题 【答案】 （1）因为二次函数对称轴为 x = 3 4 ，所以 b 2a = 3 4 ，又因为抛物线过点 A(2,1) ， 则联立得到方程组为，解得，所以抛物线的解析式为 y = x2 3 2 x 。 （2） (m, 1 2 m) ， (2m,0) ； m = 1 。 （3）由题意可知点 B 的坐标为 (m,0) ，在 Rt OBC 中， OC2= OB2+ BC2= m2+ ( m 2 )2=

47、 5 4 m2。又因为 O 、 D 关于直线 PC 对称，所以 CD = OC = 5 2 m 。在 Rt AOE 中，OA =OE2+ AE2=22+ 12=5 ， 所以 AC = OA OC =5 5 2 m 。 在 Rt ADE 中， AD2= AE2+ DE2= 12+ (2 2m)2= 4m2 8m + 5 。若 AC = CD ，即5 5 2 m = 5 2 m ，解得 m = 1 ，则 y = 1 3 2 = 1 2 ，所以点 P 的坐标为 (1, 1 2 ) 。 若 AC = AD ， 则有 AC2= AD2， 即 5 5m + 5 4 m2= 4m2 8m + 5 ， 化简得

48、 11 4 m2 3m = 0 ，解得 m = 0 或 12 11 。因为 0 m 2 ，所以 m = 12 11 。代入抛物线解得 y = 54 121 ，所 以点 P 的坐标为为 ( 12 11 , 54 121 ) 。 若 DA = DC ， 则有 DA2= DC2， 即 4m2 8m + 5 = 5 4 m2， 化简得 11 4 m2 8m + 5 = 0 ， 解得 m = 10 11 或 2 ， 因为 0 m 2 ， 所以 m = 10 11 ， 代入抛物线解得 y = 65 121 ， 所以点 P 的坐标为 ( 10 11 , 65 121 ) 。 综 上 所 述 ， 当 ACD为

49、 等 腰 三 角 形 时 ， 点P的 坐 标 为 (1, 1 2 ) 、 ( 12 11 , 54 121 ) 、 ( 10 11 , 65 121 ) 。 【解析】本题主要考查二次函数的应用。 （1）由二次函数对称轴可得到一个方程，再将点 A 坐标代入解析式，联立解得方程即可 求解。 （2）设 OA 所在直线解析式为 y = kx ，将点 A(2,1) 代入可得 2k = 1 ，解得 k = 1 2 ， 所以 OA 所在直线解析式为 y = 1 2 x 。因为 PC x 轴，所以点 C 的横坐标与点 P 的横 坐标相同，为 m ，令 x = m ，则 y = 1 2 m ，所以点 C 的坐标为 (m,