二次函数最值简单

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1、1. 函数 y = ax2+ bx + c （ a 0 ）图象与 x 轴交于点 (2，0) ，顶点坐标为 ( 1，n) ， 其中 n 0 ，以下结论正确的是（） 。 abc 0 ； 函数 y = ax2+ bx + c （ a 0 ）在 x = 1 ， x = 2 处的函数值相等； 函数 y = kx + 1 的图象与 y = ax2+ bx + c （ a 0 ）的函数图象总有两个不同的交点； 函数 y = ax2+ bx + c （ a 0 ）在 3x3 内既有最大值又有最小值。 A. B. C. D. 2. 如图， 在平面直角坐标系中， 抛物线 y = 1 2 x2+ bx + 3 2

2、与 x 轴正半轴交于点 A ， 且点 A 的坐标为 (3,0) ，过点 A 作垂直于 x 轴的直线 l ， P 是该抛物线上的任意一点，其横坐 标为 m ，过点 P 作 PQ l 于点 Q ， M 是直线 l 上的一点，其纵坐标为 m + 3 2 ， 以 PQ ， QM 为边作矩形 PQMN 。 （1）求 b 的值。 （2）当点 Q 与点 M 重合时，求 m 的值。 （3）当矩形 PQMN 是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求 m 的值。 （4）当抛物线在矩形 PQMN 内的部分所对应的函数值 y 随 x 的增大而减小时，直接写 出 m 的取值范围。 3. 如图，在平面直角坐标系中，抛

3、物线 y = x2+ bx + c 与 x 轴交于点 A ， B ，与 y 轴 交于点 C ， 且直线 y = x 6 过点 B ， 与 y 轴交于点 D ， 点 C 与点 D 关于 x 轴对称。 点 P 是线段 OB 上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 M ，交直线 BD 于点 N 。 （1）求抛物线的函数解析式。 （2）当 MDB 的面积最大时，求点 P 的坐标。 （3）在（2）的条件下，在 y 轴上是否存在点 Q ，使得以 Q ， M ， N 三点为顶点的 三角形是直角三角形，若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由。 4. 已知抛物线 y = ax2+ bx +

4、 c （ a 、 b 、 c 是常数， a 0 ）的自变量 x 与函数值 y 的部分对应值如下表： （1）根据以上信息，可知抛物线开口向_，对称轴为_。 （2）求抛物线的表达式以及 m 、 n 的值。 （3）请在图 1 中画出所求的抛物线，设点 P 为抛物线上的动点， OP 的中点为 P，描 出相应的点 P，再把相应的点 P用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线。 （4）设直线 y = m （ m 2 ）与抛物线及（3）中的点 P所在的曲线都有两个交点， 交点从左到右依次为 A1、 A2、 A3、 A4，请根据图象直接写出线段 A1、 A2、 A3、 A4之间的数量关系_。 5. 抛物线

5、y = 3(x + 1)2+ 2 的顶点坐标是（） 。 A.(1,2) B.(1, 2) C.( 1,2) D.( 1, 2) 6. 已知 y 是以 x 为自变量的二次函数，且当 x = 0 时， y 的最小值为 1 ，写出一个 满足上述条件的二次函数表达式_。 7. 抛物线 y = 3x2 2 的顶点坐标是（） 。 A.(3, 2) B.( 3,2) C.(0, 2) D.(3,0) 8. 二次函数 y = x2 ax + b 的图象如图所示，对称轴为直线 x = 2 ，下列结论不正确的是 （ ） 。 A.a = 4 B. 当 b = 4 时，顶点的坐标为 (2, 8) C. 当 x = 1

6、 时， b 5 D. 当 x 3 时， y 随 x 的增大而增大 9. 某灯饰商店销售一种进价为每件 20 元的护眼灯。 销售过程中发现， 每月销售量 y （件） 与销售单价 x （元）之间的关系可近似地看作一次函数 y = 10 x + 500 ，物价部门规定该 品牌的护眼灯售价不能超过 36 元。 （1）如果该商店想要每月获得 2000 元的利润，那么销售单价应定为多少元？ （2） 设该商店每月获得利润为 w （元） ， 当销售单价定为多少元时， 每月可获得最大利润？ 最大利润为多少元？ 【参考答案】 1. 【考点】二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴、顶点坐标、最值；二次函数图象与系

7、数符号的 关系；二次函数的图象与性质 【答案】C 【解析】本题主要考查二次函数的图象与性质。 如图所示，根据题意可判断 a 0 ， 所以 b 0 。故正确。 ，函数 y = ax2+ bx + c （ a 0 ）的对称轴为 x = 1 ，故该函数在 x = 0 ， x = 2 处 的函数值相等。故错误。 ，函数 y = kx + 1 的图象与 y = ax2+ bx + c （ a 0 ）的函数图象可能无交点。故错 误。 ，函数 y = ax2+ bx + c （ a 0 ）在 x = 3 出取到最小值，在 x = 1 处取到最大值。 故正确。 故正确的有。 故本题正确答案为 C。 2. 【考

8、点】二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴、顶点坐标、最值；利用正方形性质进行几何证 明；矩形、菱形、正方形；二次函数的图象与性质 【答案】 （1）将点 A(3,0) 代入 y = 1 2 x2+ bx + 3 2 ， 则可列方程 0 = 1 2 32+ 3b + 3 2 ， 解得 b = 1 。 （2）由（1）可得函数的解析式为 y = 1 2x 2 + x + 3 2 ， 所以 P(m, 1 2 m2+ m + 3 2 ) 。 因为 PQ l 于点 Q ， 所以 Q(3, 1 2m 2 + m + 3 2 ) 。 因为 M 是直线 l 上的一点，其纵坐标为 m + 3 2 ， 所以 M(

9、3, m + 3 2 ) 。 若点 Q 与点 M 重合， 则可列方程 1 2 m2+ m + 3 2 = m + 3 2 ， 解得 m1= 0 ， m2= 4 。 （3）由（2）可得 PQ = |3 m| ， MQ = |( m + 3 2 ) ( 1 2 m2+ m + 3 2 )| = | 1 2 m2 2m| ， 当矩形 PQMN 是正方形时， PQ = MQ ， 即 | 1 2m 2 2m| = |3 m| ， 即 1 2 m2 2m = 3 m 或 1 2 m2 2m = m 3 ， 解 1 2 m2 2m = 3 m 得 m1=7 + 1 ， m2=7 + 1 ， 解 1 2 m2

10、 2m = m 3 得 m3= 3 +3 ， m4= 3 3 。 又因为 y = 1 2x 2 + x + 3 2 = 1 2 (x 1) + 2 ， 所以抛物线的顶点为 (1,2) 。 因为抛物线的顶点在该正方形内部， 所以 P 点在抛物线对称轴左侧，即 m 2 。 解得 m 1 2 ， 故 m 的值为 7 + 1 。 （4）如图 1 ： 当 m1 时， 若抛物线在矩形 PQMN 内的部分所对应的函数值 y 随 x 的增大而减小， 则 M 点的纵坐标应该小于 P 点纵坐标，且 P 点应该在 x 轴上侧， 即 m + 3 2 0 ， 解 m + 3 2 1 2 m2+ m + 3 2 得 0

11、m 0 得 1 m 3 ， 所以。 如下图 2 ： 当 1 m 3 时， 若抛物线在矩形 PQMN 内的部分所对应的函数值 y 随 x 的增大而减小， 则 M 点的纵坐标应该小于 P 点纵坐标， 即 m + 3 2 1 2 m2+ m + 3 2 ， 解得 0 m 4 ， 所以 1 m 3 时， 若抛物线在矩形 PQMN 内的部分所对应的函数值 y 随 x 的增大而减小， 则 M 点的纵坐标应该大于 P 点纵坐标， 即 m + 3 2 1 2 m2+ m + 3 2 ， 解得 m 4 ， 故 m 4 。 综上所述 0 m 4 。 【解析】本题主要考查二次函数的图象与性质和正方形。 （1）将 A

12、 点坐标代入函数解析式即可求得 b 的值。 （2）分别表示出 P 、 Q 、 M 的坐标，根据 Q 、 M 的横坐标相同，它们重合时纵坐 标也相同，列出方程求解即可。 （3）分别表示出 PQ 和 MQ 的长度，根据矩形 PQMN 是正方形时， PQ = MQ ，即可 求得 m 的值，再根据顶点在正方形内部，排除不符合条件的 m 的值。 （4）分 m1 ， 1 m 3 四种情况讨论，结合图形分析即可。 3. 【考点】直角三角形；二次函数的解析式；综合利用相似三角形的判定；待定系数法求二次 函数解析式；二次函数的图象与性质；二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴、顶点坐标、最值； 利用直角三角形

13、性质进行的相关计算；相似三角形的判定与性质 【答案】 （1）因为直线 y = x 6 过点 B ，点 B 在 x 轴上， 令 y = 0 ，解得 x = 6 ；令 x = 0 ，解得 y = 6 。 所以 B(6,0) ， D(0, 6) 。 因为点 C 与点 D 关于 x 轴对称， 所以 C(0,6) 。 因为抛物线 y = x2+ bx + c 与 x 轴交于点 B ， C ，代入可得： 36 + 6b + c = 0 c = 6 ，解得 b = 5 c = 6 。 所以抛物线为 y = x2+ 5x + 6 。 （2）设点 P 坐标 (m,0) ， 则点 M 坐标为 (m, m2+ 5m

14、 + 6) ，点 N 坐标为 (m,m 6) 。 所以 MN = m2+ 5m + 6 m + 6 = m2+ 4m + 12 ， 所以 SBMD= SMNB+ SMND = 1 2 ( m2+ 4m + 12) 6 = 3m2+ 12m + 36 = 3(m 2)2+ 48 。 当 m = 2 时， SBMDmax= 48 。 此时点 P 的坐标为 (2,0) 。 （3）存在。点 Q 坐标为 (0,12) 或 (0, 4) 或 (0,4 + 2 15) 或 (0,4 2 15) 。 【解析】本题主要考查二次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、直角三角形以及二次 函数的图象与性质。 （1）根

15、据直线 y = x 6 求出点 B 和点 D 坐标，再根据 C 和 D 之间的关系求出点 C 坐标，最后运用待定系数法求出抛物线表达式。 （2）设点 P 坐标 (m,0) ，表示出 M 和 N 的坐标，再利用三角形面积求法得出 SBMD， 再求最值即可。 （3）由（2）可得： M(2,12) ， N(2, 4) 。 设点 Q 的坐标为 (0,n) ， 当 QMN = 90 时，即 QM MN ，如图 1 。 可得，此时点 Q 和点 M 的纵坐标相等，即 Q(0,12) 。 当 QNM = 90 时，即 QN MN ，如图 2 ， 可得，此时点 Q 和点 N 的纵坐标相等，即 Q(0, 4) 。

16、 当 MQN = 90 时， MQ NQ ，如图 3 。 分别过点 M 和 N 作 y 轴的垂线，垂足为 E 和 F 。 因为 MQN = 90 ， 所以 MQE + NQF = 90 ，又 MQE + QME = 90 ， 所以 NQF = QME 。 所以 MEQ QFN 。 所以 ME QF = EQ FN ，即 2 n+4 = 12n 2 。 解得 n = 4 + 2 15 或 4 2 15 。 所以点 Q(0,4 + 2 15) 或 (0,4 2 15) 。 综上所述，点 Q 坐标为 (0,12) 或 (0, 4) 或 (0,4 + 2 15) 或 (0,4 2 15) 。 4. 【

17、考点】二次函数的应用；二次函数的解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的 图象与性质；二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴、顶点坐标、最值；二次函数与一次函数问 题综合；二次函数图象与系数符号的关系 【答案】 （1）上；直线 x = 1 （2）由表格可知抛物线过点 (0, 3) ， 所以 y = ax2+ bx 3 ， 将点 ( 1,0)(2, 3) 代入抛物线可得： a b 3 = 0 4a + 2b 3 = 3 ，解得， 所以 y = x2 2x 3 。 当 x = 2 时， m = ( 2)2 2 ( 2) 3 = 5 ； 当 x = 1 时， n = 12 2 1 3 = 4

18、 。 （3）如图，点 P所在曲线是抛物线。 （4） A3A4 A1A2= 1 。 【解析】本题主要考查二次函数的图象与性质、二次函数的解析式以及二次函数的应用。 （1）根据表格中的信息，可知抛物线开口向上，且关于直线 x = 1 对称。 （2）由表格可知抛物线过点 (0, 3) ， ( 1,0) ， (2, 3) ，将坐标代入抛物线可得解析 式为 y = x2 2x 3 ，并且，令 x = 2 ， x = 1 ，分别求出 m 、 n 的值。 （3）根据题意将曲线画出，可知点 P所在曲线是抛物线。 （4）根据画出的图象，可知 A3A4 A1A2= 1 。 5. 【考点】二次函数 y=ax2+bx

19、+c 的对称轴、顶点坐标、最值；二次函数的图象与性质 【答案】C 【解析】本题主要考查二次函数的图象与性质。 抛物线 y = 3(x + 1)2+ 2 的顶点坐标是 ( 1,2) 。 故本题正确答案为 C。 6. 【考点】二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴、顶点坐标、最值；二次函数的图象与性质 【答案】 y = x2 1 （答案不唯一） 【解析】本题主要考查二次函数的图象与性质。 因为 y 是以 x 为自变量的二次函数，且当 x = 0 时， y 的最小值为 1 ， 所以二次函数的对称轴是 y 轴，且二次项系数是正数，其顶点坐标为 (0, 1) ， 所以满足上述条件的二次函数表达式可以为

20、： y = x2 1 。 故本题正确答案为 y = x2 1 （答案不唯一） 。 7. 【考点】二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴、顶点坐标、最值；二次函数的图象与性质 【答案】C 【解析】本题主要考查二次函数的图象与性质。 抛物线 y = 3x2 2 的顶点坐标为 (0, 2) 。 故本题正确答案为 C。 8. 【考点】二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴、顶点坐标、最值；二次函数的图象与性质 【答案】C 【解析】本题主要考查二次函数的图象与性质。 A 项，函数对称轴为 x = a 2 = 2 ，解得 a = 4 ，故 A 项结论正确； B项， 已得出 a = 4 ， 当 b =

21、4 时， 函数为 y = x2 4x 4= (x 2)2 8 ， 则顶点为 (2, 8) ，故 B 项结论正确； C 项，当 x = 1 时， y = 1 + 4 + b 0 ，解得 b 3 时， y 随 x 的增大而增 大，故 D 项结论正确。 因为是选择结论不正确的一项， 故本题正确答案为 C。 9. 【考点】二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴、顶点坐标、最值；二次函数图象上的点；二次 函数的图象与性质 【答案】 （1）设该商店每月获得 2000 元的利润时，销售单价是 x 元。 根据题意可得： (x 20)( 10 x + 500) = 2000 ， 解得 x1= 30 ， 因为物价部门规定该品牌的护眼灯售价不能超过 36 元， 所以（舍） ， x1= 30 ， 答：如果该商店想要每月获得 2000 元的利润，那么销售单价应定为 30 元。 （2）由题得， w = (x 20)( 10 x + 500) ， ， 因为 20 x36 ， 所以当时， w 取得最大值，此时 w = 2250 ， 即当销售单价定为 35 元时，每月可获得最大利润，最大利润为 2250 元。 【解析】本题主要考查二次函数的图象与性质。 （1）根据题意可以得到关于 x 的一元二次方程，从而可以解答本题。 （2）根据题意可以写出 w 关于 x 的函数关系式，从而求得函数的最大值，本题得以解决。