2020-2021学年河南省郑州市金水区九年级（上）期中数学试卷（含答案解析）

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1、2020-2021 学年河南省学年河南省郑州市金水区郑州市金水区九年级（上）期中数学试卷九年级（上）期中数学试卷 一、单选题（一、单选题（30 分）分） 1方程 x22x 的解是（ ） Ax2 Bx0 Cx12，x20 Dx1，x20 2下列说法： 四边相等的四边形一定是菱形 顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形 对角线相等的四边形一定是矩形 经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分 其中正确的有（ ）个 A4 B3 C2 D1 3小明将分别标有“爱” “我” “中” “华”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外都 相同，每次摸球前先搅拌均匀

2、，随机摸出一球记下汉字后放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉 字能组成“中华”的概率是（ ） A B C D 4如图，在平行四边形 ABCD 中，M、N 是 BD 上两点，BMDN，连接 AM、MC、CN、NA，添加一个条 件，使四边形 AMCN 是矩形，这个条件是（ ） AOMAC BMBMO CBDAC DAMBCND 5如图，在ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、AC、BC 边上，DEBC，EFAB，则下列比例式中错误 的是（ ） A B C D 6如图，在ABCD 中，用直尺和圆规作BAD 的平分线 AG 交 BC 于点 E，若 BF6，AB5，则 AE 的 长为（ ） A4

3、 B6 C8 D10 7如图，在菱形 ABCD 中，P 是对角线 AC 上一动点，过点 P 作 PEBC 于点 EPFAB 于点 F若菱形 ABCD 的周长为 20，面积为 24，则 PE+PF 的值为（ ） A4 B C6 D 8关于 x 的一元二次方程 x2（2m1）xm2m0 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D根的情况由字母 m 的取值确定 9如图，测量小玻璃管口径的量具 ABC，AB 的长为 12cm，AC 被分为 60 等份如果小玻璃管口 DE 正好 对着量具上 20 等份处（DEAB） ，那么小玻璃管口径 DE 是（ ） A8cm B

4、10cm C20cm D60cm 10如图，在正方形 ABCD 中，顶点 A，B，C，D 在坐标轴上，且 B（2，0） ，以 AB 为边构造菱形 ABEF， 将菱形 ABEF 与正方形 ABCD 组成的图形绕点 O 逆时针旋转， 每次旋转 45， 则第 2020 次旋转结束时， 点 F2020的坐标为（ ） A （2，2） B （2，2） C （2，2） D （2，2） 二、填空题（二、填空题（15 分）分） 11已知一元二次方程有一个根是 2，那么这个方程可以是 （填上一个符合条件的方程即可答案不 唯一） 12 如图， ABC 中， 点 D、 E 分别在边 AB、 BC 上， DEAC 若

5、BD4， DA2， BE3， 则 EC 13同时抛掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面分别刻有 1 到 6 的点数，朝上的面的点数中，一个点数 能被另一个点数整除的概率是 14 如图， 是一个长为 30m， 宽为 20m 的矩形花园， 现要在花园中修建等宽的小道， 剩余的地方种植花草 如 图所示，要使种植花草的面积为 532m2，那么小道进出口的宽度应为 米 15如图，有一张矩形纸条 ABCD，AB5cm，BC2cm，点 M，N 分别在边 AB，CD 上，CN1cm现将 四边形 BCNM 沿 MN 折叠，使点 B，C 分别落在点 B，C上，当点 B恰好落在边 CD 上时，线段 BM 的长为 cm

6、 三、解答题（三、解答题（75 分）分） 16解下列方程： （1）x22x240 （2）用配方法解方程：x2+6x10 17如图，在菱形 ABCD 中，AB2，DAB60，点 E 是 AD 边的中点点 M 是 AB 边上一动点（不与 点 A 重合） ，延长 ME 交射线 CD 于点 N，连接 MD、AN （1）求证：四边形 AMDN 是平行四边形； （2）填空：当 AM 的值为 时，四边形 AMDN 是矩形； 当 AM 的值为 时，四边形 AMDN 是菱形 18某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A篮球 B乒乓球 C羽毛球 D足 球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了

7、部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不 完整的统计图，请回答下列问题： （1）这次被调查的学生共有 人； （2）请你将条形统计图（2）补充完整； （3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加 乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答） 19已知关于 x 的一元二次方程 x2mx+m20 （1）若该方程有一个根为1，求 m 的值； （2）请判断这个方程根的情况 20某市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国首位，公共自行车车桩的截面示意图如 图所示，ABAD，ADDC，点 B，C 在 EF 上，EFHG，E

8、HHG已知 AB80cm，AD24cm，BC 25cm，EH4cm，求点 A 到地面的距离 21某商场今年年初以每件 25 元的进价购进一批商品当商品售价为 40 元时，三月份销售 128 件，四、 五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到 200 件假设四、五两个月 销售量的月平均增长率不变 （1）求四、五两个月销售量的月平均增长率； （2）从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降 1 元，销售量增加 5 件，当 商品降价多少元时，商场可获利 2250 元？ 22如图 1，在 RtABC 中，B90，BC2AB8，点 D、E 分别是边 BC、A

9、C 的中点，连接 DE，将 EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转，记旋转角为 （1）问题发现 当 0时， ；当 180时， （2）拓展探究 试判断：当 0360时，的大小有无变化？请仅就图 2 的情形给出证明 （3）问题解决 当EDC 旋转至 A，D，E 三点共线时，直接写出线段 BD 的长 23如图 1，在正方形 ABCD 中，P 是对角线 BD 上的一点，点 E 在 AD 的延长线上，且 PAPE，PE 交 CD 于 F （1）证明：PCPE； （2）求CPE 的度数； （3）如图 2，把正方形 ABCD 改为菱形 ABCD，其他条件不变，当ABC120时，连接 CE，试探究 线段 AP 与

10、线段 CE 的数量关系，并说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1方程 x22x 的解是（ ） Ax2 Bx0 Cx12，x20 Dx1，x20 【分析】先移项，再提公因式，解两个一元一次方程即可 【解答】解：移项得，x22x0， 提公因式得 x（x2）0， x0 或 x20， x10，x22， 故选：C 2下列说法： 四边相等的四边形一定是菱形 顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形 对角线相等的四边形一定是矩形 经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分 其中正确的有（ ）个 A4 B3 C2 D1

11、【分析】根据三角形的中位线性质、平行四边形的性质、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定逐个 判断即可 【解答】解：四边相等的四边形一定是菱形，正确； 顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是菱形，错误； 对角线相等的平行四边形才是矩形，错误； 经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分，正确； 其中正确的有 2 个 故选：C 3小明将分别标有“爱” “我” “中” “华”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外都 相同，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球记下汉字后放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉 字能组成“中华”的概率是（ ） A B C D 【分

12、析】列表得出所有等可能的情况数，找出能组成“中华”的情况数，即可求出所求的概率 【解答】解：列表得： 爱 我 中 华 爱 爱爱 爱我 爱中 爱华 我 我爱 我我 我中 我华 中 中爱 中我 中中 中华 华 华爱 华我 华中 华华 12 种可能的结果中，能组成“中华”有 2 种可能，共 2 种， 两次摸出的球上的汉字能组成“中华”的概率 故选：B 4如图，在平行四边形 ABCD 中，M、N 是 BD 上两点，BMDN，连接 AM、MC、CN、NA，添加一个条 件，使四边形 AMCN 是矩形，这个条件是（ ） AOMAC BMBMO CBDAC DAMBCND 【分析】由平行四边形的性质可知：OA

13、OC，OBOD，再证明 OMON 即可证明四边形 AMCN 是平 行四边形 【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形， OAOC，OBOD 对角线 BD 上的两点 M、N 满足 BMDN， OBBMODDN，即 OMON， 四边形 AMCN 是平行四边形， OMAC， MNAC， 四边形 AMCN 是矩形 故选：A 5如图，在ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、AC、BC 边上，DEBC，EFAB，则下列比例式中错误 的是（ ） A B C D 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，再分别对每一项进行判断即可 【解答】AEFAB，故本选项正确， BDEBC， ， EFAB，

14、DEBF， ， ， 故本选项正确， CEFAB， ， CFDE， ， 故本选项错误， DEFAB， ， ， 故本选项正确， 故选：C 6如图，在ABCD 中，用直尺和圆规作BAD 的平分线 AG 交 BC 于点 E，若 BF6，AB5，则 AE 的 长为（ ） A4 B6 C8 D10 【分析】由基本作图得到 ABAF，加上 AO 平分BAD，则根据等腰三角形的性质得到 AOBF，BO FOBF3，再根据平行四边形的性质得 AFBE，得出13，于是得到23，根据等腰 三角形的判定得 ABEB，然后再根据等腰三角形的性质得到 AOOE，最后利用勾股定理计算出 AO， 从而得到 AE 的长 【解答

15、】解：连接 EF，AE 与 BF 交于点 O，如图 ABAF，AO 平分BAD， AOBF，BOFOBF3， 四边形 ABCD 为平行四边形， AFBE， 13， 23， ABEB， 而 BOAE， AOOE， 在 RtAOB 中，AO4， AE2AO8 故选：C 7如图，在菱形 ABCD 中，P 是对角线 AC 上一动点，过点 P 作 PEBC 于点 EPFAB 于点 F若菱形 ABCD 的周长为 20，面积为 24，则 PE+PF 的值为（ ） A4 B C6 D 【分析】连接 BP，如图，根据菱形的性质得 BABC5，SABCS菱形ABCD12，然后利用三角形面 积公式，由 SABCSP

16、AB+SPBC，得到5PE+5PF12，再整理即可得到 PE+PF 的值 【解答】解：连接 BP，如图， 四边形 ABCD 为菱形，菱形 ABCD 的周长为 20， BABC5，SABCS菱形ABCD12， SABCSPAB+SPBC， 5PE+5PF12， PE+PF， 故选：B 8关于 x 的一元二次方程 x2（2m1）xm2m0 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D根的情况由字母 m 的取值确定 【分析】先计算判别式的值得到8m2+1，再利用非负数的性质得到0，然后根据判别式的意义判 断方程根的情况 【解答】解：（2m1）24（m2m） 4m

17、24m+1+4m2+4m 8m2+1， m20， 0， 方程有两个不相等的实数根 故选：A 9如图，测量小玻璃管口径的量具 ABC，AB 的长为 12cm，AC 被分为 60 等份如果小玻璃管口 DE 正好 对着量具上 20 等份处（DEAB） ，那么小玻璃管口径 DE 是（ ） A8cm B10cm C20cm D60cm 【分析】易知ABCDEC，利用相似三角形的相似比，列出方程求解即可 【解答】解：DEAB CD：ACDE：AB 40：60DE：12 DE8cm 故选：A 10如图，在正方形 ABCD 中，顶点 A，B，C，D 在坐标轴上，且 B（2，0） ，以 AB 为边构造菱形 AB

18、EF， 将菱形 ABEF 与正方形 ABCD 组成的图形绕点 O 逆时针旋转， 每次旋转 45， 则第 2020 次旋转结束时， 点 F2020的坐标为（ ） A （2，2） B （2，2） C （2，2） D （2，2） 【分析】先求出点 F 坐标，由题意可得每次 8 旋转一个循环，即可求解 【解答】解：点 B（2，0） ， OB2， OA2， ABOA2， 四边形 ABEF 是菱形， AFAB2， 点 F（2，2） ， 由题意可得每次 8 旋转一个循环， 202082524， 点 F2020的坐标与点 F 坐标关于原点对称， 点 F2020的坐标（2，2） 故选：D 二填空题（共二填空题（

19、共 5 小题）小题） 11已知一元二次方程有一个根是 2，那么这个方程可以是 x24 （填上一个符合条件的方程即可答案 不唯一） 【分析】设一元二次方程为 ax2+bx+c0（a0） ，把 x2 代入可得 a、b、c 之间的数量关系，只要满足 该数量关系的方程即为所求所以答案不唯一 【解答】解：设一元二次方程为 ax2+bx+c0（a0） ，把 x2 代入可得，4a+2b+c0 所以只要 a（a0） ，b、c 的值满足 4a+2b+c0 即可 如 x24 等 答案不唯一 12 如图， ABC 中， 点 D、 E 分别在边 AB、 BC 上， DEAC 若 BD4， DA2， BE3， 则 EC

20、 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可直接求解 【解答】解：DEAC， ， 即， 解得：EC 故答案为： 13同时抛掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面分别刻有 1 到 6 的点数，朝上的面的点数中，一个点数 能被另一个点数整除的概率是 【分析】列举出所有情况，看朝上的面的点数中，一个点数能被另一个点数整除的情况数占总情况 的多少即可 【解答】解：列表得： （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） （1，3） （2，3）

21、（3，3） （4，3） （5，3） （6，3） （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1） 由表可发现共有 36 种可能，由于没有顺序，因此发现，在这 36 种结果中，一个点数能被另一个点数整 除的情况出现了 22 次 所以一个点数能被另一个点数整除的概率是 故答案为： 14 如图， 是一个长为 30m， 宽为 20m 的矩形花园， 现要在花园中修建等宽的小道， 剩余的地方种植花草 如 图所示，要使种植花草的面积为 532m2，那么小道进出口的宽度应为 1 米 【分析】设小道进出口的宽度为 x

22、米，然后利用其种植花草的面积为 532 平方米列出方程求解即可 【解答】解：设小道进出口的宽度为 x 米，依题意得（302x） （20 x）532， 整理，得 x235x+340 解得，x11，x234 3430（不合题意，舍去） ， x1 答：小道进出口的宽度应为 1 米 故答案为：1 15如图，有一张矩形纸条 ABCD，AB5cm，BC2cm，点 M，N 分别在边 AB，CD 上，CN1cm现将 四边形 BCNM 沿 MN 折叠，使点 B，C 分别落在点 B，C上，当点 B恰好落在边 CD 上时，线段 BM 的长为 cm 【分析】由折叠的性质可得12，BMMB，可证 MBNB，由勾股定理可

23、求解 【解答】解：如图中， 四边形 ABCD 是矩形， ABCD， 13， 由翻折的性质可知：12，BMMB， 23， MBNB， NB（cm） ， BMNB（cm） ， 故答案为： 三解答题三解答题 16解下列方程： （1）x22x240 （2）用配方法解方程：x2+6x10 【分析】 （1）方程利用因式分解法求出解即可； （2）方程利用配方法求出解即可 【解答】解： （1）分解因式得： （x+4） （x+6）0， 可得 x+40 或 x+60， 解得：x14，x26； （2）x2+6x+910，即（x+3）210， 开方得：x+3， 解得：x13+，x23 17如图，在菱形 ABCD 中，

24、AB2，DAB60，点 E 是 AD 边的中点点 M 是 AB 边上一动点（不与 点 A 重合） ，延长 ME 交射线 CD 于点 N，连接 MD、AN （1）求证：四边形 AMDN 是平行四边形； （2）填空：当 AM 的值为 1 时，四边形 AMDN 是矩形； 当 AM 的值为 2 时，四边形 AMDN 是菱形 【分析】 （1）利用菱形的性质和已知条件可证明四边形 AMDN 的对边平行且相等即可； （2）有（1）可知四边形 AMDN 是平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形即DMA 90，所以 AMAD1 时即可； 当平行四边形 AMND 的邻边 AMDM 时，四边形为菱形，利用

25、已知条件再证明三角形 AMD 是等边 三角形即可 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是菱形， NDAM， NDEMAE，DNEAME， 又点 E 是 AD 边的中点， DEAE， NDEMAE， NDMA， 四边形 AMDN 是平行四边形； （2）解：当 AM 的值为 1 时，四边形 AMDN 是矩形理由如下： 四边形 ABCD 是菱形， ABAD2 AMAD1， ADM30 DAM60， AMD90， 平行四边形 AMDN 是矩形； 故答案为：1； 当 AM 的值为 2 时，四边形 AMDN 是菱形理由如下： AM2， AMAD2， AMD 是等边三角形， AMDM， 平行四边形 AM

26、DN 是菱形， 故答案为：2 18某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A篮球 B乒乓球 C羽毛球 D足 球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不 完整的统计图，请回答下列问题： （1）这次被调查的学生共有 200 人； （2）请你将条形统计图（2）补充完整； （3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加 乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答） 【分析】 （1）由喜欢篮球的人数除以所占的百分比即可求出总人数； （2）由总人数减去喜欢 A，B 及 D 的人

27、数求出喜欢 C 的人数，补全统计图即可； （3）根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出满足题意的情况数，即可求出所求的概率 【解答】解： （1）根据题意得：20200（人） ， 则这次被调查的学生共有 200 人； （2）补全图形，如图所示： （3）列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） 所有等可能的结果为 12 种，其中符合要求的只有 2 种， 则 P 19已知关于 x 的一元二次方程 x2mx+m20 （1）若该方程有一个根为1，求 m

28、 的值； （2）请判断这个方程根的情况 【分析】 （1）根据方程的解的概念将 x1 代入，解关于 m 的方程即可得； （2）根据m24m+8（m2）2+40 即可判断 【解答】解： （1）x1 代入 x2mx+m20 得：1+m+m20， 解得 m； （2）a1，bm，cm2， b24acm24m+8， b24ac（m2）2+4， （m2）20， （m2）2+40， 该方程有两个不相等的实数根 20某市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国首位，公共自行车车桩的截面示意图如 图所示，ABAD，ADDC，点 B，C 在 EF 上，EFHG，EHHG已知 AB80cm，AD24cm，B

29、C 25cm，EH4cm，求点 A 到地面的距离 【分析】分别过点 A 作 AMBF 于点 M，过点 C 作 CNAB 于点 N，利用勾股定理得出 BN 的长，再利 用相似三角形的判定与性质得出即可 【解答】解：过点 A 作 AMBF 于点 M，过点 C 作 CNAB 于点 N， AD24cm，则 NC24cm， BN7（cm） ， AMBCNB90，ABMCBN， BNCBMA， ， ， 则：AM， 故点 A 到地面的距离是：+4（cm） 答：点 A 到地面的距离是cm 21某商场今年年初以每件 25 元的进价购进一批商品当商品售价为 40 元时，三月份销售 128 件，四、 五月份该商品的

30、销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到 200 件假设四、五两个月 销售量的月平均增长率不变 （1）求四、五两个月销售量的月平均增长率； （2）从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降 1 元，销售量增加 5 件，当 商品降价多少元时，商场可获利 2250 元？ 【分析】 （1）由题意可得，3 月份的销售量为：128 件；设四、五月份销售量平均增长率为 x，则 4 月份 的销售量为：128（1+x） ；5 月份的销售量为：128（1+x） （1+x） ，又知 5 月份的销售量为：200 件，由此 等量关系列出方程求出 x 的值，即求出了平均增长率； （2）利

31、用销量每件商品的利润2250 求出即可 【解答】解： （1）设四、五月份销售量平均增长率为 x，则 128（1+x）2200 解得 x10.2525%，x2.25（舍去） 所以四、五月份销售量平均增长率为 25%； （2）设商品降价 m 元，则（40m25） （200+5m）2250 解得 m15，m230（舍去） 所以商品降价 5 元时，商场获利 2250 元 22如图 1，在 RtABC 中，B90，BC2AB8，点 D、E 分别是边 BC、AC 的中点，连接 DE，将 EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转，记旋转角为 （1）问题发现 当 0时， ；当 180时， （2）拓展探究 试判断：当

32、 0360时，的大小有无变化？请仅就图 2 的情形给出证明 （3）问题解决 当EDC 旋转至 A，D，E 三点共线时，直接写出线段 BD 的长 【分析】 （1）当 0时，在 RtABC 中，由勾股定理，求出 AC 的值是多少；然后根据点 D、E 分 别是边 BC、AC 的中点，分别求出 AE、BD 的大小，即可求出的值是多少 180时，可得 ABDE，然后根据，求出的值是多少即可 （2）首先判断出ECADCB，再根据，判断出ECADCB，即可求出的值是 多少，进而判断出的大小没有变化即可 （3）根据题意，分两种情况：点 A，D，E 所在的直线和 BC 平行时；点 A，D，E 所在的直线和 BC

33、 相交时；然后分类讨论，求出线段 BD 的长各是多少即可 【解答】解： （1）当 0时， RtABC 中，B90， AC， 点 D、E 分别是边 BC、AC 的中点， ， 如图 1， 当 180时， 可得 ABDE， ， 故答案为： （2）如图 2， 当 0360时，的大小没有变化， ECDACB， ECADCB， 又， ECADCB， （3）如图 3， AC4，CD4，CDAD， AD， ADBC，ABDC，B90， 四边形 ABCD 是矩形， 如图 4，连接 BD，过点 D 作 AC 的垂线交 AC 于点 Q，过点 B 作 AC 的垂线交 AC 于点 P， ， AC4，CD4，CDAD，

34、AD， 点 D、E 分别是边 BC、AC 的中点， DE2， AEADDE826， 由（2） ，可得 ， BD 综上所述，BD 的长为 4或 23如图 1，在正方形 ABCD 中，P 是对角线 BD 上的一点，点 E 在 AD 的延长线上，且 PAPE，PE 交 CD 于 F （1）证明：PCPE； （2）求CPE 的度数； （3）如图 2，把正方形 ABCD 改为菱形 ABCD，其他条件不变，当ABC120时，连接 CE，试探究 线段 AP 与线段 CE 的数量关系，并说明理由 【分析】 （1）先证出ABPCBP，得 PAPC，由于 PAPE，得 PCPE； （2）由ABPCBP，得BAPB

35、CP，进而得DAPDCP，由 PAPC，得到DAPE， DCPE，最后CPFEDF90得到结论； （3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论 【解答】 （1）证明：在正方形 ABCD 中，ABBC， ABPCBP45， 在ABP 和CBP 中， ， ABPCBP（SAS） ， PAPC， PAPE， PCPE； （2）由（1）知，ABPCBP， BAPBCP， DAPDCP， PAPE， DAPE， DCPE， CFPEFD（对顶角相等） ， 180PFCPCF180DFEE， 即CPFEDF90； （3）在菱形 ABCD 中，ABBC，ABPCBP60， 在ABP 和CBP 中， ， ABPCBP（SAS） ， PAPC，BAPBCP， PAPE， PCPE， DAPDCP， PAPC， DAPAEP， DCPAEP CFPEFD（对顶角相等） ， 180PFCPCF180DFEAEP， 即CPFEDF180ADC18012060， EPC 是等边三角形， PCCE， APCE