2021届中考数学压轴大题专项训练专题08:猜想与证明(含答案解析)
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1、 专题 08 猜想与证明 2021 届中考数学压轴大题专项训练(解析版) 1已知ABC在平面直角坐标系内的位置如图, ACB90,ACBC5,OA、OC的长满足关 系式 2 OA4OC30 (1)求OA、OC的长; (2)求点B的坐标; (3)在x轴上是否存在点P,使ACP是以AC为腰的等腰三角形若存在,请直接写出点P的坐标,若 不存在,请说明理由 【解析】解:由 2 OA4)OC 30(.可知, OA4030OC , OA43OC,. 作BDx轴与点 D, 180OCAACBBCD 90ACOBCD 90CBDBCD ACOCBD ACBC ()AOCCDB AAS 3BDOC 4CDOA
2、3 47ODOCCD (7 3)B, 存在. 当点 P 在 x轴的负半轴时,使 AP=AC,则ACP为等腰三角形,P 的坐标为( 3 0) ,; 当点P在x轴的负半轴时, 使CP=AC, 由勾股定理得, CP=AC=5, 则A C P为等腰三角形, P的坐标为( 2 0) , ; 当点 P 在 x轴的正半轴时,使 AC=CP,则ACP为等腰三角形,5CPAC 3 58OPOCCP , (8 0)P, ; 所以存在,点 P( 3 0) ,或( 2 0) ,或(8 )0, 2在平面坐标系xoy中,已知线段AB,且AB、的坐标分别为 (1,2),(4,2)AB ,点C为线段AB的中点. (1)线段A
3、B与x轴的位置关系是 (2)求点C的坐标。 (3)在y轴上是否存在点P,使得三角形PAC面积为 3.若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理 由. 【解析】解: (1)因为 A、B 点的纵坐标相同,所以线段AB与x轴平行; (2)1242AB(, ),( , ),C 是线段 AB的中点,C点坐标为: 5 ,2 2 (3)在y轴上存在点P,使得三角形PAC的面积为 3.其理由如下: 由(2)知: 5 (1,2),C,2 2 A , 53 1 22 AC 1 3 2 PACPA SACyy 即: 13 3 22 PA yy 24 P y 6 P y 或2 P y , P 点坐标为:0 6( ,
4、)或02(, )时,三角形PAC的面积为 3. 3探索与证明: (1)如图,直线m经过正三角形ABC的顶点A,在直线m上取点D,E,使得60ADB, 60AEC通过观察或测量,猜想线段BD,CE与DE之间满足的数量关系,并予以证明; (2)将(1)中的直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图的位置,120ADB, 120AEC通过观察或测量,猜想线段BD,CE与DE之间满足的数量关系,并予以证明 【解析】解: (1)DE=BDCE,证明如下 ABC为等边三角形 AB=CA,BAC=60 60ADB,60AEC ADBCEA ABDBAD=180 ADB=120 CAEBAD=180 BAC=
5、120 ABD=CAE 在 ABD和 CAE中 ADBCEA ABDCAE ABCA ABDCAE BD=AE,AD= CE DE=AEAD= BDCE; (2)CE =BDDE,证明如下 ABC为等边三角形 AB=CA,BAC=60 120ADB,120AEC ADBCEA ABDBAD=180 ADB=60 CAEBAD=BAC=60 ABD=CAE 在 ABD和 CAE中 ADBCEA ABDCAE ABCA ABDCAE BD=AE,AD= CE AD= AEDE CE= BDDE 4如图,钝角ABC中,ABAC,D为上AC一点, 60ADB,E为BD上一点,30BCE (1)作AFB
6、C于F,BGCE交CE的延长线于G 判断BF与BG的大小关系,并说明理由 求证BFABGE ; (2)若7BE ,1DE ,求CE的长 【解析】解: (1)BFBG,理由是: ABAC,AFBC于F, 1 2 BFBC, 作BGCE于G, 30BCE, 1 2 BGBC, BFBG ABAC, AABCCB, 19029030603ABCACB , 1434 ,即ABFEBG, 由知,BFBG, ABFEBG(ASA) (2)作BHDA交射线DA于H,CMBD交BD的延长线于M 7BE ,1DE , 8BD,由(1)ABFEBG可知,7ACABBE, 60ADB, 30DBH, 1 4 2 D
7、HBD, 由勾股定理,得 222 48BHBDDH, 22 1AHBABH , 4 1 3ADDHAH ,7 34CDACAD , 1 2 2 DMCD, 2 3CM ,3EM , 22 21CECMEM , CE的长为 21 5如图,在ABC中,45ABC,点P为边BC上的一点,3BC BP,且15PAB,点C关 于直线PA的对称点为D,连接BD,又APC的PC边上的高为AH (1)求BPD的大小; (2)判断直线BD,AH是否平行?并说明理由; (3)证明:BAPCAH 【解析】 (1)15PAB, 45ABC, 154560APC, 点C关于直线PA的对称点为D , PDPC,ADAC,
8、 ADPACP, 60APCAPD, 18012060BPD; (2)直线BD,AH平行理由: 3BCBP, 11 22 BPPCPD, 如图,取PD中点E,连接BE,则BEP为等边三角形,BDE为等腰三角形, 60BEP, 1 30 2 BDEBEP, 90DBP,即BDBC 又APC的PC边上的高为AH , AHBC,/BD AH; (3)如图,过点A作BD、DP的垂线,垂足分别为G、F APCAPD,即点A在DPC的平分线上, AAF 90CBD,45ABC, 45GBACBA, 即点A在GBC的平分线上, AGAH,AGAF, 点A在GDP的平分线上 又 30BDP,150GDP, 1
9、 15075 2 ADP , 75CADP, Rt ACH中,15CAH,BAPCAH 6 如图, 边长为2 2的正方形ABCD中, P 是对角线AC上的一个动点 (点 P与 A、 C 不重合) , 连接BP, 将BP绕点 B 顺时针旋转 90 到BQ, 连接QP,QP与BC交于点 E,QP延长线与AD(或AD延长线) 交于点 F (1)连接CQ,证明:CQAP; (2)设,APx CEy,试写出 y关于 x的函数关系式,并求当 x为何值时, 3 8 CEBC; (3)猜想PF与EQ的数量关系,并证明你的结论 【解析】 (1)证明: 线段 BP 绕点 B顺时针旋转90得到线段 BQ, BP=B
10、Q, 90PBQ, 四边形 ABCD是正方形, BA=BC,90ABC , =ABCPBQ, ABCPBCPBQPBC ,即ABPCBQ , 在 BAP 和 BCQ中, BABC ABPCBQ BPBQ , BAPBCQ(SAS) , CQ=AP (2)如图, 四边形 ABCD是正方形, 1 45 2 BACBAD, 1 45 2 BCABCD, +=180 -45 =135APBABP, DC=AD=2 2, 由勾股定理可得: 22 2 2+ 2 2=4AC , AP=x, PC=4-x, PBQ是等腰直角三角形, 45BPQ, 18045135APBCPQ , CPQABP , 45BAC
11、ACB, APBCEP, APAB CECP , 2 2 4 x yx , 2 12 420 4 4 2 2 yxxxxx , 由 333 2 2 2 884 CEBC , 2 23 2 2 44 yxx , 得到 2 430 xx, 310 xx, 得 x=3或 x=1 当 x=3或 1 时, 3 8 CEBC (3)结论:PF=EQ,理由是: 如图,当 F在边 AD上时,过 P 作PGFQ,交 AB于 G,则90GPF, 45BPQ, 45GPB, 45GPBPQB , PB=BQ,ABP CBQ , PGBQEB(SAS) , EQ=PG, 90BAD, F、A、G、P 四点共圆, 连接
12、 FG, 45FGPFAP, FPG 是等腰直角三角形, PF=PG, PF=EQ 当 F在 AD的延长线上时,如图所示,同理可得:PF=PG=EQ 7问题提出: (1)同一平面内的两条线段AB和BC,已知3AB ,2BC ,则线段AC最大值是_;最小值是 _ 问题探究: (2)如图,四边形ABCD中,4AB ,2AD ,CBCD,且60BCD,问AC是否存在最大 值?若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由 问题解决: (自行作图并解决) (3)在ABE中, 3AE , 6BE ,以AB为一边作正方形ABCD,连接CE,问CE是否存在最 大值或者最小值?若存在,求出相应最值;若不存在,请说明
13、理由 【解析】 (1)由题意,分以下两种情况: 当点 , ,A B C不在同一条直线上时, 由三角形的三边关系定理得:ABBCACABBC, 3 23 2AC ,即15AC; 当点 , ,A B C在同一直线上时, 点 B 在点,A C的中间时,则3 25ACABBC , 点 C 在点,A B的中间时,则3 2 1ACABBC , 综上,线段 AC的取值范围为15AC, 则线段AC最大值是 5,最小值是 1, 故答案为:5,1; (2)存在,求解过程如下: 如图,连接 AC,将ACD绕点 C逆时针旋转60,点 A 的对应点为点 E,连接 AE、BE、CE, ,60CBCDBCD, 旋转后点 D
14、的对应点为点 B, 由旋转的性质得:2,60BEADACECACE, ACE是等边三角形, AEAC, 当点, ,A B E不在同一条直线上时, ABBEAEABBE,即4242AE, 26AC ; 当点, ,A B E在同一条直线上时, 4 26AEABBE , 6AC, 综上,当点, ,A B E在同一条直线上时,AC有最大值,最大值为 6; (3)如图,将ABE绕点 B逆时针旋转90,点 E 的对应点为点 F,连接 EF、BF、CF, 四边形 ABCD 是正方形, ,90ABBCABC, 旋转后点 A的对应点为点 C, 由旋转的性质得:6,3,90BFBECFAEEBF, 在RtBEF中
15、, 22 2 3EFBEBF , 当点, ,C F E不在同一条直线上时, EFCFCEEFCF, 2 332 33CE ,即 33 3CE ; 当点, ,C F E在同一条直线上时, 2 333 3CEEFCF , 综上,当点, ,C F E在同一条直线上时,CE有最大值,最大值为3 3 8 如图, 在直角ABC中,90ACB,4AC ,60BAC ,CD是边AB上的中线, 直线/BMAC, E是边CA延长线上一点, 连接ED并延长交直线BM于点F, 将E D C沿CD翻折得EDC, 射线 DE 交直线BM于点G (1)如图 1,当CDEF时,求BF的长 (2)如图 2,当点G在点F的上方时
16、,求证:BDFBGD (3)如果DFG的面积为6 3,求AE的长 【解析】解:(1)90ACB, 60BAC 90906030ABCBAC, 在Rt ACB 中:28ABAC, CD是边AB上的中线, 1 4 2 CDBDADAB, ADC是等边三角形,4ACADCD,60ECD CDEF, 90906030CEDECD, 在Rt EDC 中:28CECD,8 44AECEAC , /BMAC,FBDEAD , 在 FBD和EAD中, FBDEAD BDAD BDFADE , 4BFAE, 故答案为:4 (2)由(1)可知:ADC为等边三角形,60ACDADC 180120BDCADC, ED
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